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第一章　集合与常用逻辑用语
第2节　集合间的基本关系
1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2．理解子集、真子集的概念；
3．能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想。
教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念；
教学难点：属于关系与包含关系的区别．
一、集合间的基本关系基本概念
1. 如果集合A中 元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集。符号表示为 。
2. 如果集合A B，但存在元素 ，则称集合A是集合B的真子集。符号表示为 。
3. Venn图：用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图．
4. 集合的相等：若 且B A，则A＝B。
5.空集： 元素的集合，叫做空集．符号表示为： .
规定：空集是任何集合的 。
二．子集的性质
1.任何一个集合是它本身的 ，即A A；
2.对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么
探究一 子集
1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：
① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};
② A为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合, B为这个班全体学生组成的集合;
③ A={x| x＞2}, B={x | x＞1}。
2.子集定义：
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中 都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的 .
记作：
读作： (或“ ”)
符号语言：任意 有 则 。
3.韦恩图（Venn图）：
用一条封闭曲线（圆、椭圆、长方形等）的内部来代表集合叫集合的韦恩图表示.
牛刀小试1：
图中A是否为集合B的子集？
(
B
) (
A
B
)
(
A
)
牛刀小试2
判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（ ）打√，若不是则在（ ）打×:
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( )
②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ( )
③A={0}, B={x | x2+2=0} ( )
④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( )
思考2：与实数中的结论 “若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”。相类比，在集合中，你能得出什么结论
探究二 集合相等
1.观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系
（1）A＝｛x｜x是两条边相等的三角形｝，B＝｛x｜x是等腰三角形｝；
2.定义：如果集合Ａ的 都是集合Ｂ的元素，同时集合Ｂ 都是集合Ａ的元素，我们就说集合Ａ等于集合Ｂ，记作 。
牛刀小试3：
探究三 真子集
1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：
A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6}；
A={四边形}, B={多边形}。
2.定义：如果集合A B,但存在元素 ，且 ，称集合A是集合B的真子集．
记作： （或 ）
读作：“A真含于B”（或B真包含A）。
探究四 空 集
1.我们把 的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集。
空集是任何非空集合的真子集。即B，（B）
例如:方程x2+1=0没有实数根,所以方程 x2+1=0的实数根组成的集合为。
问题：你还能举几个空集的例子吗？
2.深化概念：
（1）包含关系与属于关系有什么区别？
（2）集合 AB 与集合有什么区别 ？
（3）.0，{0}与 Φ三者之间有什么关系
3.结论：
由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论：
（1）任何一个集合是它本身的子集，即 。
（2）对于集合A、B、C，若则 （类比，则）。
例1. 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
例2.判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由。
1．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中含有元素0的子集共有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
2．已知集合M＝{x|－3A．P＝{－3,0,1}
B．Q＝{－1,0,1,2}
C．R＝{y|－πD．S＝{x||x|≤，x∈N}
3．①0∈{0}，② {0}，③{0,1} {(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}
5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
答案
学习过程：
探究一
集合A的元素都属于集合B。
任何一个元素 子集 集合A含于集合B 集合B包含集合A
牛刀小试1 集合A不是集合B的子集
牛刀小试2 ① √ ②× ③ × ④√
探究二 集合相等
1.（1）中集合A中的元素和集合B中的元素相同．
2.任何一个元素 任何一个元素 Ａ＝Ｂ
牛刀小试3 A=B。
探究三 真子集
1.集合A中元素都是集合B的元素，但集合B有的元素不属于集合A。
2.x∈B xA AB BA
探究四 空 集
1.不含任何元素
2.（1）前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系.
（2） A = B或A B.
（3）{0}与Φ ：{0}是含有一个元素0的集合， Φ是不含任何元素的集合。如 Φ{0}不能写成Φ ={0}，Φ ∈{0}
3.（1） （2）
例1.解：集合{a，b}的子集：，{a},{b} ,{a, b}。
集合{a，b}真子集：，{a},{b}。
例2.解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集。
达标检测
1.【解析】 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}四个，故选B.
【答案】 B
2.【解析】 集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3 M，集合Q中的元素2 M，集合R中的元素－3 M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S M.故选D.
【答案】 D
3.【解析】 ①正确，0是集合{0}的元素；②正确， 是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.
【答案】 B
4.【解析】 由A＝{x|1【答案】 D
5.【解】 因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
所以A的子集有： ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
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