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贵阳市 2023 届高考适应性月考卷（一）
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B C C A C D A B B A
【解析】
1．因为 M {x | x 2n，n Z} ，N {x | x 2n 1，n Z} ，P {x | x 4n，n Z} ，所以 P M，
则 P M P ，故选 B．
2．化简复数 z (2 ai)i 2i a ，因为“等部复数”的实部和虚部相等，复数 z 为“等部复数”，
所以 a 2 ，所以 a 2 ，则 z 2 2i ， z 2 2i ，故选 D．
3．由题意，随机数中满足两只豚鼠被感染的有 192 ，271，932 ，812，393， 127，共 6 个，
故三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为 0.3，故选 B．
2
4．因为 | a | 4 ， | b | 2 ， a (a b) 20 ，所以 a (a b) a a b | a |2 a b 20 ，所以
a b 4
1

a b 4 ，设向量 a 与b 的夹角为 ，则cos ，因为 [0，π] ，所
| a | | b | 4 2 2
以 2π ，故选 C．
3
5
5
． x2 1 展开式的通项为T 1 k 1 k x10 3k Ck x2(5 k ) x k Ck ，令10 3k 1 ，解得 k 3 ，
2x
k 1 5
2
5
2
3
所以二项式展开式中，x 的系数为C3 1 5 5 ，故选 C．
2 4
6. 因为 a c cos B ，由正弦定理可得， sin A sin C cos B ，即 sin(B C) sin C cos B ，所以
sin B cos C sin C cos B sin C cos B ，所以sin B cos C 0 ．因为0 A π ， 0 B π ， 所
以 sin B 0 ， cos C 0 π ，则C ， △ABC 为直角三角形，但△ABC 为直角三角形时不一
2
定是C π ，所以 a c cos B 是△ABC 为直角三角形的充分不必要条件，故选 A．
2
7. 由图象对称性可知： f (x) 应为偶函数，对于 B，∵ f ( x) cos 3x
4x 4 x
f (x) ，∴ f (x) 为奇
函数，B 错误；对于 D，∵ f ( x) sin 3x sin 3x f (x) ，∴ f (x) 为奇函数，
| 4 x 4x | | 4x 4 x |
D 错误；由图象可知：当 x 从正方向无限接近 0 时， f (x) 0 ；对于 A，当 x 从正方向无
限接近 0 时， sin 3x 0 ， 4 x 4x 0 ， f (x) 0 ，A 错误，故选 C．
8. △ABC 是边长为 6 的等边三角形，点 D，E 分别在边 AC，BC 上，
且 DE BC 则以 C 为原点，CB 所在的直线为 x 轴，平面内过 C 垂直
于 CB 的直线为 y 轴，如图 1 所示，则C(0，0) ，A(3，3 3) ，B(6，0) ．因
图 1
为点 D，E 分别在边 AC，BC 上，且 DE BC ．设 E(m，0) 且 0 m≤3 ，则 D(m， 3m) ，
3 23m) 3m2 9m 3 m 27 3，故当 m
所以 DA DE (3 m，3 3 3m) (0， 27 2 4 2

时， DA DE 的最小值为 ，故选 D．
4
9. 取 AB 的中点 F，连接 EF，如图 2，因为 E 为 BC 的中点，所以点E，
F 关于平面 BDD1B1 对称，所以 PE PC1 PF PC1 ，最小值为
FC 2 1 2 42 42 6 ，故选 A．
图 2
10 ．将函数 f (x) 左移一个单位， 得 g(x) f (x 1) ln 2 x (x2 1) sin x 2x 2 a ，
2 x
x [ 1，1] ，则 g( x) g(x) 4 2a ，所以函数 g(x) 关于 (0，2 a) 对称，故最大值与最
小值也关于(0，2 a) 对称，其和为 8，则a 2 ，故选 B．
11．因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长b 2 ，在△ABC 中，
2a 4 a 6由 正 弦 定 理 得 ， 解 得 2 ， 则
sin(60 45 ) sin 60 3
2
2
b
e2 1 1
2
3 3 5 ，故选 B． a 6 2
3


12 ．设 f (x) kex ，则 f (x) 满足 f (x) f (x) ，而 f (0) 2 ，∴ k 2 ，∴ f (x) 2ex ，
∴ g(x) 2ex ln(2ex )3 2ex 3(x ln 2) ，∴ g(0) 2 3ln 2 0 ， g(1) 2e 3 3ln 2 0 .
易知 g(2) 0 ， g(3) 0 ， g(4) 0 ，即 g(x) 在 (0，1) 上存在零点，故选 A．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
1
答案 72 21π ②③④
2
【解析】
13
y x33 ， 1 3 1 ．由 x 0， x 1， xdx x
3dx
解得 或 所以阴影部分的面积为 S
y x， y 0 y 1， 0 0
x≥0，
3 x 43 |1 1 3 1 1 x4 |1 ，正方形的面积为 1，所以质点落在非阴影部分区域的概率为
4 0 4 0 4 4 2
1 1 1 ．
2 2
14. 分别将隶书、草书、楷书当作整体，排法总数为A3 6 ，隶书内部顺序A2 2 ，草书内
3 2
部顺序 A3 6 ，故方法总数为A3A2 A3 72 种．
3 3 2 3
15. 如图 3，易得 AD BC ，则 AB 22 ( 5)2 3 ，

设△BCD 外接圆圆心为O1 ，外接圆半径为 r，三
棱锥 A BCD 外接球球心为 O，外接球半径为 R， 图 3
连接 OD，OA， OO1 ， O1D ，由 BDC 120 ，易得 BC 3BD 2 3 ，由正弦定理得
2r 2 3 4 ，解得 r 2 ， AD DB ， AD DC ．又 DB DC D ，DB， DC 平
sin120
面 BCD ，则 AD 平面 BCD ，又 OO1 平面 BCD ，则 AD∥OO1 ． 又 OA OD ，则
OO 1 AD 5 R 21 ，则 r 2 O O2 ，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为1 2 2 1 2
4πR2 21π .
16. 对于①，易得函数的定义域为 R，若 a b ，则 f (x) a(ex e x ) a(e x ex ) f ( x) ，函
数 f (x) 为偶函数；若函数 f (x) 为偶函数，则有 f (x) aex be x f ( x) ae x bex ，则
(a b)ex (a b)e x 对一切 x R 都成立，则 a b ，即 a b 是函数 f (x) 为偶函数的充要
条件，①不正确；对于②，易得函数定义域为 R，若 a b 0 ，则 f (x) a(ex e x )
a(e x ex ) f ( x) ，函数 f (x) 为奇函数；若函数 f (x) 为奇函数，则有 f (x) aex
be x f ( x) ae x bex ，则(a b)ex (a b)e x 对一切 x R 都成立，则a b 0 ，
即 a b 0 是函数 f (x) 为奇函数的充要条件，②正确；对于③，f (x) aex be x ，若 a 0 ，
b 0 ，则 f (x) aex be x 0 ，f (x) 单增；若 a 0 ，b 0 ，则 f (x) aex be x 0 ，f (x)
ae2 x x x b 1 b
单减，故③正确；对于④， f (x) ae be ，令 f (x) 0 ，可得 x ln ，
ex 2 a
若 a 0 b 0 f (x) ， 1 ln b 1 ， ，则 在 上单减，在 ln
b
， 上单增；若 a 0 ，b 0 ，
2 a 2 a
f (x) ， 1 ln b 1 则 在 上单增，在 ln
b
， 上单减；则函数 f (x) 存在极值点，④正
2 a 2 a
确. 故答案为：②③④．
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
解：（1）设[60，70] 的小矩形的高为 h，
则10 (0.005 0.010 h 0.015 0.025 0.030) 1，
解得： h 0.015 ，所以补充频率分布直方图如图 4 所示：
图 4
平均数为
x 10 (0.005 45 0.015 55 0.015 65 0.030 75 0.025 85 0.01 95) 73.5 ，
所以平均数为 73.5 ．...................................................（6 分）
（2）根据题中数据得到 2 2 列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男同学 40 30 70
女同学 20 30 50
合计 60 60 120
2 120 (40 30 30 20)
2
所以 K 3.429 2.706 ，
60 60 70 50
依据小概率值 2.706 的独立性检验，能在犯错概率不超过 0.100 的条件下，认为对新
菜品的喜爱程度跟性别有关． ..........................................（12 分）
18．（本小题满分 12 分）
1 1 解：（ ）由已知 a 1 a 1 a 1 … a n ，①
2 1 4 2 8 3 2n n
1
当 n 2 1 1 ≥ 时， a a 1 a … a n 1 ，②
2 1 4 2 8 3 2n 1 n 1
1 ① ② a 1 ，
2n n
∴ a 2n n (n≥2) ，
1
而当 n 1 时， a 1， a 2 也满足上式，
2 1 1
∴ a 2n n ．...........................................................（6 分）
（2）由（1）知b log a log 2n n 2 n 2 n ，
1 1 1 1 ．
bnbn 1 n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 1
T 1 … 1 ．
n 2 2 3 n n 1 n 1
…………………………………………………（12 分）
19．（本小题满分 12 分）
（1） 证明：∵ AD CD ， DA DC 2 ，
∴ AC 2 2 ．
又∵ EA EC 2 2 ，
∴△AEC 为等边三角形，
又∵ DA DE 2 ，M 是 EA 的中点，
∴ AE DM ， AE MC ， DM 2 ．
又∵ DM MC M ，DM， MC 平面 MDC，
∴ AE ⊥ 平面 MCD，故平面 AED⊥ 平面 MCD． ...........................（6 分）
（2） 解：因为平面 EAB 平面 ECD l ，
所以l 平面 ECD．
又 l∥AB ， AB 平面 ECD，
所以 AB∥ 平面 ECD．
又 AB 平面 ABCD，平面 ABCD 平面 ECD CD ，
所以 AB∥CD ．
∵ AE ⊥ 平面 MCD，
∴ AE CD .
又∵ AD CD ， AD AE A ，AD， AE 平面 ADE，
∴ CD 平面 ADE．
又∵ DM 平面 ADE，∴ CD DM ．
∵ CD∥AB ，∴ AB DM ．
又∵ AE DM ， AB AE A ，AB， AE 平面 ABE，
∴ DM 平面 ABE．
∵ CD∥AB ，
∴C 点到平面 ABE 的距离等于 D 点到平面 ABE 的距离，
∴VM BCE VC BME VD BME .
1 1 1 1 1 1
又∵V S DM S DM 2 2 AB 1，
D BME 3 △BME 3 2 △ABE 23 2 2
解得 AB 3 ．........................................................（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
解：（1）因为直线 AB 过抛物线C1 的焦点 F，
所以| AB | | AF | | BF | ，
p
抛物线C 的准线方程为 x ，焦点 F p ，0 ．
1 2 2
设点 A，B 的坐标分别是(x1，y1 ) ， (x2，y2 ) ，
则 | AB | | AF | | BF | x p x p x x p ．
1 2 2 2 1 2
因为双曲线C2 ： x2 y2 1 的渐近线方程为 y x ，所以直线 l 的方程为 y x ，
所以直线 AB 的方程为 y x p ，
2
y p x ，

联立 2
2
y 2 px，
p22
消去 y 得 x 3 px 0 ，
4
则 9 p2 p2 0 ，所以 x x 3 p ，
1 2
所以| AB | 4 p 16 ，所以 p 4 ，
故抛物线C1 的方程为 y
2 8x ． ..........................................（6 分）
（2）设直线 m 的方程为 y x t ，
y x t，
联立
y2 8x，
消去 y 得 x2 (2t 8)x t 2 0(x 0) ，
因为直线 m 与抛物线C1 相切，
所以 1 (2t 8)2 4t 2 64 32t 0 且2t 8 0 ，
解得t 2 ，
代入方程 x2 (2t 8)x t2 0 得 x2 4x 4 0 ，
解得 x 2 ，
所以切点 P 的坐标为(2，4) ．
联立直线 AB 的方程 y x 2 与抛物线C1 的方程 y2 8x ，
消去 x 得 y2 8 y 16 0 ，则 2 8
2 4 16 128 0 ． 设
A(x1，y1 ) ， B(x2，y2 ) ，
则 y1 y2 8 ， y1 y2 16 ，
2
则 x x y y 4 12 ， x x (1 2y y 4) ，
1 2 1 2 1 2 64
则 k k ( y1 4)( y2 4) y1 y2 4( y1 y2 ) 16 PA PB (x 2)(x 2) x x 2(x x ) 4
16 32 16
4 24 4 2 ．
1 2 1 2 1 2
……………………………………………（12 分）
21．（本小题满分 12 分）
解：（1） f (x) 的定义域为(0， ) ，
对函数求导得 f (x) lnx 1 k (x 0) ，
令 f (x) 0 ，得 x ek 1 ，
当0 x ek 1 时， f (x) 0 ，此时函数 f (x) 单调递减；
当 x ek 1 时， f (x) 0 ，此时函数 f (x) 单调递增，
所以函数 f (x) 的单调递减区间是(0，ek 1 ) ，单调递增区间是(ek 1， ) ，
故函数 f (x) 的极小值点为 x ek 1 ，无极大值点．
……………………………………………（4 分）
（2）不等式 f (x) 2k 1 0 ，对任意的 x (2， ) ， k Z 恒成立，

∴ k x lxn x 2 1 x ln x 1 ，即 k x 2 ．
min
g(x) x ln x 1 设 (x 2) ，则 g (x) x 2 ln x 3 ，
x 2 (x 2)2
令 h(x) x 2 ln x 3 ，则 h (x) 1 2 x 2 0 ，函数 h(x) 在(2， ) 上单调递增，
x x
又 h(6) 6 2 ln6 3 ln e3 ln 36 0，h(7) 7 2 ln 7 3 ln e4 ln 49 0 ，
所以存在唯一的 x0 (6，7) ，使得 h(x0 ) 0 ，即 x0 2 ln x0 3 0 ，
当 x (2，x0 ) 时， h(x) 0 ， g (x) 0 ，
所以函数 g(x) 单调递减；
当 x (x0， ) 时， h(x) 0 ， g (x) 0 ，所以函数 g(x) 单调递增，
所以当 x x0 时，函数 g(x) 有极小值 g(x0 ) ，同时也为最小值，
g(x ) x0 ln x0 1 x因为 0 1 ，
0 x0 2 2
又 x0 (6，7) ，
x0 1 5 3 ∴ ， ，
2 2
所以整数 k 的最大值是 2． ............................................（12 分）
22．（本小题满分 10 分）【选修 4 4：坐标系与参数方程】
解：（1）因为 sin2 a cos ，两边同时乘以 ，可得 y2 ax ，
所以曲线 C 的普通方程为 y2 ax(a 0) ．
2
x 1 t，

由 2 可得直线 l 的直角坐标方程为 x y 1 0 ．.................（5 分）
y 2 t，
2
2
x 1
2
t，
2 2
（2）直线 l 的参数方程可写为 代入 y ax ，得t 2at 2a 0 ①．
y 2 t，
2
可知方程①必有两个实根．
设t1 ， t2 分别为 P，Q 对应的参数，且 P 在 Q 的下方，
则t1 t2 2a ， t1t2 2a ．
由参数 t 的几何意义可知， | MP | | t1 | t1 ，| MQ | | t2 | t2 ，| PQ | | t2 t1 | t2 t1 ．
因为| MP | ，|MQ| ，|PQ| 成等差数列，所以2| MQ | | MP | | PQ | ，
故有2t2 t1 (t2 t1 ) ，整理得t2 2t1 ，
把上式代入t1 t2 2a ， t1t2 2a ，
1
解得 a ．.........................................................（10 分）
2
23．（本小题满分 10 分）【选修 4 5：不等式选讲】

（1）解：由已知可知， f (x) | 2x 2 | | 2x 1| 1| x 1 2 x 1 x 1 3 ，
2 | x ≥
2


2
1
当且仅当 ≤x≤1 时取等号，
2
所以， f (x) 的最小值为 3． .............................................（5 分）
（2）证明：由已知，得 a 2b 4c 3 ，
由柯西不等式可知(a2 2ab 2b2 c2 )(12 12 42 ) [(a b)2 b2 c2 ](12 12 42 )
≥[(a b) 1 b 1 c 4]2 (a 2b 4c)2 9 ，
所以 a2 2ab 2b2 c2 1 ( a 0 b 1 c 2 ≥ 当 ， ， 时取等号)． .............（10 分）
2 6 3秘密★启用前
6.已知△ABC的三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c,则“a=ccosB”是“△ABC为直角
三角形”的
理科数学试卷
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔
注意事项：
裂分家万事休”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上
填写清楚
用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的L0C0为忍，可抽象为如图1
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需放动，用橡皮
所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达
擦千净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效·
这条曲线的函数是
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟
A.()=sin3
4*-4
B.f(x)=cos3
4*-4
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
cos3x
sin3x
图1
合题目要求的)
C.)=4-4可
D.fx)=4-4
1.设集合M={xx=2n,neZ},N={xx=2n+1,neZ},P={xx=4n,n∈Z},则
8.△ABC是边长为6的等边三角形，点D,E分别在边AC,BC上，且DE⊥BC,则DA·DE的
A.M∩P=M
B.POM=P
最小值为
C.N∩P≠O
D.M∩N≠
2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=(2+i)i(其中
8
C.、27
8
a∈R)为“等部复数”，则复数z在复平面内对应的点在
9.在正方体ABCD-AB,C,D1中，棱长为4，E为BC的中点，点P在平面BDD1B,内运动，则
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
PE+PC,的最小值为
3.在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠
A.6
B.43
C.62
D.10
中被感染的概率：先由计算机产生出[0,9]之间整数值的随机数，指定1,2,3,4表示
10.函数代x)=n3+(2-2x)sin(x-1)+2x+a在[0,2]上的最大值与最小值的和为8，则a的值为
被感染，5,6,7,8,9,0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
t+1
192907966925271932812458569683
A.-2
B.2
C.4
D.6
257393127556488730113537989431
11.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历
据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为
史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.5
展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放
4.已知平面向量a,6满足|a=4,1b=2,d.(a-b)=20,则向量d与6的夹角为
在户外展览场地上，如图2所示，该伞伞沿是一个
半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与
图2
A
6
B.
03x
3
陪
地面夹角为60时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，
5.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，
若该椭圆的离心率为e,则e=
我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则.在：+2
的二项式展
号
B.V33-5
C.√3-22
D.√7-23
开式中，x的系数为
12.已知f'(x)是函数f(x)(xeR)的导数，满足f'(x)=f(x),且f(0)=2,设函数g(x)=f代x)
-nf3(x)的一个零点为x,则x,所在的区间为
A.10
5
5
B.
2
D.
8
A.(0,1)
B.（1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
理科数学·第1页（共4页)
理科数学·第2页（共4页）

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