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函数的概念与性质难题挑战
一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
定义域是的函数满足，当时，若时，有解，则实数的取值范围是( )
A. B. ，
C. ， D. ，
已知二次函数，若对任意的，，有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
若函数，在区间和上均为增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
若其中为整数，则叫做离实数最近的整数，记作设函数，下列结论正确的为( )
A.
B.
C.
D. 函数的图像关于对称
已知函数，以下结论正确的是( )
A. 的值域是
B. 对任意，都有
C. 对任意，都有
D. 若规定，，其中，则
已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，当时，都有；则下列选项成立的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. ，，使得
三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
定义在上的函数满足，且当时，若不等式在区间上恒成立，则实数的最小值是 ．
设函数，均是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，则 ．
四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
定义域为的单调函数满足，且，
求，；
判断函数的奇偶性，并证明；
若对于任意都有成立，求实数的取值范围．
本小题分
已知函数且．
当的定义域为时，求函数的值域；
设函数，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知函数是上的奇函数，画出函数在上的大致图象，得到当时，，由题意可知，从而求出的取值范围．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是较难题．
【解答】
解：定义域是的函数满足，
函数是上的奇函数，
又当时，
利用函数的奇偶性画出函数在上的大致图象，如图所示：，
当时，，
若时，有解，
，即，
解得或，
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数的性质及其最值．
根据二次函数的性质得到其对称轴，然后讨论其在上的单调性，使其在上的最值之差的绝对值小于等于即可．
【解答】
解：函数的对称轴是，
当时，即，在上单调递增，
要使任意的，，有，
只需，解得，
；
当时，即，
在上单调递减，在上单调递增，
要使任意的，，有，
只需，解得，
；
当时，即，在上单调递减，
要使任意的，，有，
只需，即，解得，
；
综上所述，
故选C

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数单调性及其奇偶性的性质，是较难题．
由函数为上的偶函数知，只需考察在上的单调性，在上为增函数，在上为减函数，则只需函数的对称轴，由此求得实数的取值范围．
【解答】
解：，
，
为上的偶函数，由在区间和上均为增函数，
知在上为增函数，在上为减函数，
函数的对称轴，得．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查对于新定义的理解与运用，涉及函数的值、函数的值域、对称性，难度较大题．
在理解新定义的基础上，求出对应的整数，进而利用函数可判断的正误，立足题设条件运用函数图像可判定选项D．
【解答】
解：选项，由 则，故 A错误；
选项，由，故B正确
选项，由题知函数的定义域是，
由离实数最近的整数的定义知：当为整数时，
当为两相邻整数的平均数即两相邻整数的正中间时，
当为两相邻整数之间靠右侧位置时，
当为两相邻整数之间靠左侧位置时，
故值域是故C正确．
选项，如图，化简函数解析式可得，
作出函数图像，
函数图像关于对称，故D正确．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题的真假判断，函数的单调性及值域，考查归纳法与推理运算能力，属于难题．
由题意，分与，讨论，可得函数的值域是，从而可判断；可举反例，，得出不正确：分析时，函数单调递增，从而可判断；依题意，可求得，，利用归纳法，代入可判断，即得答案．
【解答】
解：由题意，对各选项进行分析：
对，，函数是奇函数，
当时，，
当时，，时，，
，即函数的值域为，故A正确；
对，取，，得到，
，故B不正确；
对，若对任意，都有，则等价为函数为增函数，
当时，，
则为减函数，为减函数，则为增函数，
是奇函数，，在上为增函数，故C正确；
对，由题意，可得，，
，，且，
，
，
且，
对任意的恒成立，
即得，，即D正确．
故本题选ACD．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抽象函数，不等式求解，函数的最值，函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性和数形结合思想．
结合题目条件得函数为偶函数，在上单调递减，利用偶函数在上单调递减对进行判断，利用偶函数在上单调递减，结合题目条件得，再利用不等式求解，对进行判断，利用题目条件作出函数的图象，再利用数形结合和不等式求解，对进行判断，利用的图象，结合函数的最值，对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：因为函数定义在上的函数，
所以由：，得函数为偶函数．
又因为由知：，，当时，都有，
因此，，不妨设 ，有，即，
所以函数在上单调递减．
对于、因为函数为偶函数，所以，
而函数在上单调递减，因此，
即，因此A正确；
对于、因为定义在上的偶函数在上单调递减且连续，且，
所以，解得或，因此不正确；
对于、因为，函数为偶函数，所以．
因为函数为偶函数，在单调递减，
所以作函数的草图如下：
所以由，得或，因此C正确；
对于、由知：是函数的最大值，
因此，，使得，因此D正确，
故选ACD．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数解析式的求解及图象应用，不等式的恒成立问题，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，属于较难题．
由已知可得，当时，，作出图象，数形结合可得 ，由此可得满足条件的实数的最小值．
【解答】
解：根据题设可知，当时，，故，
当时，，
故，
同理可得：当时，，
当时，．
作函数的图象，如图所示．
在 上，由，得，
由图象可知当时，，
故的最小值为．
故答案为：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性及函数的解析式，属于拔高题．
根据定义域关于原点对称先得到的值，用替换，列出方程由奇偶性求出的解析式，进而计算的值．
【解答】
解：因为函数，均是定义在上的偶函数和奇函数，
则定义域关于原点对称，所以，解得，
因为，
所以，
即，
联立，解得，
则．
故答案为．

9.【答案】解：Ⅰ取，得，
即，，
，
又，
，
；
Ⅱ取，得，
，
函数是奇函数；
Ⅲ是奇函数，且在上恒成立，
在上恒成立，
又是定义域在的单调函数，且，
是定义域在上的增函数．
在上恒成立．
在上恒成立．
令，
由于，．
，
．
则实数的取值范围为．
【解析】本题给出抽象函数，求特殊的函数值并讨论函数的单调性与奇偶性，考查了抽象函数的理解与处理、函数的单调性与奇偶性和不等式恒成立问题的处理等知识，属于难题．
Ⅰ取代入函数满足的等式，整理可得再根据，结合定义和，算出；
Ⅱ以取代，代入函数满足的等式，可得，由此可得是奇函数；
Ⅲ根据函数是单调函数且，得是定义域在上的增函数．再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出的取值范围．
10.【答案】解：，
因为的定义域为
所以，
，
所以函数的值域为．
函数
，
函数图象如图
所以．
【解析】本题考查了函数值域问题，考查了函数最值问题，属于较难题．
分离常数，根据反比例函数性质求解；
将化简为分段函数的形式，分类讨论求解．
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