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小结与复习
第二十四章 圆
1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识.
2.进一步巩固圆的概念及有关性质，掌握点和圆、直线和圆的位置关系，知道正多边形和圆的关系，会计算弧长和扇形面积.（重点）
3.能综合运用圆的知识解决问题.（难点）
复习目标
·
一、与圆有关的概念
1.圆：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦：连接圆上任意两点的线段.
3.直径：经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.
4.劣弧：小于半圆周的圆弧.
5.优弧：大于半圆周的圆弧.
要点梳理
6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
7.圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交.
8.圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交.
[注意](1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
·
9.外接圆、内接正多边形：将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫做这个圆的内接正多边形，
这个圆是这个正多边形的外接圆．
10.三角形的外接圆
外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心．
[注意](1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．
(2)一个三角形的外接圆是唯一的．
11.三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心.
[注意](1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．
(2)一个三角形的内切圆是唯一的.
12.正多边形的相关概念
(1)中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.
(2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3)边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距(边心距对于该正多边形内切圆的半径).
(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、 圆的基本性质
1. 圆的对称性：
圆是轴对称图形，它的任意一条_______所在的直线都是它的对称轴.
直径
2. 有关圆心角、弧、弦的性质：
(1)在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
三、与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系：
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到．
设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
点P在圆内；
d＜r
点P在圆上；
d=r
点P在圆外.
d＞r
[注意]点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．
2.直线与圆的位置关系：
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
直线与圆的
位置关系
图形
d与r的关系
公共点个数
公共点名称
直线名称
2个
交点
割线
1个
切点
切线
0个
相离
相切
相交
d＞r
d=r
d＜r
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
四、 有关定理及其推论
1.垂径定理：
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的　 　.
[注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
两条弧
2.圆周角定理：
(1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
(3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径.
[注意]“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
(2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.
3.与切线相关的定理：
(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
五、圆中的计算问题
1.弧长公式：
半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=________.
2.扇形面积公式：
半径为R，圆心角为n°的扇形面积S= ____________.
或
3.弓形面积公式：
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
(3)圆锥的侧面积为　 　.
(4)圆锥的全面积为　 　.
4.圆锥的侧面积：
(1)圆锥的侧面展开图是一个　 　.
(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为　　，扇形的弧长为　 　.
扇形
l
5.圆内接正多边形的计算：
(1)正n边形的中心角为 .
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
其中l为正n边形的周长.
例1 如图，在☉O中，BC是☉O的直径，若∠D=36°，则∠ACB的度数是（ ）
A. 72° B. 54° C. 45° D. 36 °
A
B
C
D
B
解析：根据圆周角定理的推论得到∠B=∠D=36°，又BC是直径，即可得∠BAC=90°，则∠B+∠ACB=90°，从而可求出∠ACB的度数.
考点一 圆周角、圆心角及垂径定理
O
考点讲练
1.如图，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B，C重合），则∠BPC的度数是 .
135°
C
D
B
A
P
O
针对训练
例2 如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，
BC=CD，在下列四个说法中：① ；②AC=2CD；
③OC⊥BD；④∠AOD=3∠BOC，正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由OB⊥AC可知OB垂直平分AC，则AB=BC=CD.∴
点C是 的中点，易得OC⊥BD，∠AOB=∠BOC=∠COD，即∠AOD=3∠BOC.
易知AB+BC＞AC，即2CD＞AC.综上可知，
正确的说法有3个.
C
针对训练
2.如图，AB，CD是⊙O的直径， ，若∠AOE=32°，则∠COE的度数是（　　）
A．32° B．60° C．68° D．64°
D
例3 如图，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB.
（2）若AB=16，OC=10，那么CE 的长是 ；
（1）若OC=13，CE=8，那么AB的长是_______；
（3）若AB=8，CE=2，那么⊙O的半径长是_______．
提示：连接OA，结合垂径定理与勾股定理求有关线段的长，其中(3)需运用方程思想求解.
24
4
5
针对训练
3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
8mm
A
B
8
C
D
O
解析：设圆心为O，连接AO，作出过点O的弓形高CD，垂足为D，可知AO=5mm，OD=3mm，利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.
A
B
C
D
P
O
D′
P
4.如图，AB是⊙O的直径，且AB=2，C，D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的所对的圆心角的度数分别是96°和36°，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是 .
（
（
解析：作D点关于AB的对称点D′，连接CD′，与AB交于点P，此时PC+PD的最小值即为CD′的长度.
考点二 与圆有关的位置关系
例4 ☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关系是（ ）
A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上
C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上
解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与☉O的关系.
D
针对训练
5.平面直角坐标系中，M点坐标为（－2，3），以2为半径画⊙M，则以下结论正确的是（　　）
A．⊙M与x轴相交，与y轴相切
B．⊙M与x轴相切，与y轴相离
C．⊙M与x轴相离，与y轴相交
D．⊙M与x轴相离，与y轴相切
D
考点三 切线的判定与性质
例5 如图，线段AB是直径，点D是☉O上一点， ∠CDB=20 °，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于 .
O
C
A
B
E
D
50°
提示：遇切线，通常连接圆心和切点，构造直角三角形求解.
6.如图，BE是⊙O的直径，点A是圆上一点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C，若AB=AC，CE=2，⊙O的半径为_____．
2
针对训练
例6 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB=2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连接AC.
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．
∴∠COB=2∠ACO．
又∵∠COB=2∠PCB，∴∠ACO=∠PCB．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
7.如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，求证：OA是⊙D的切线．
针对训练
证明：过点D作DF⊥OA于F，
∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，
∴DF=DE，
即D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，
∴⊙D与OA相切．
F
无切点，
作垂直，
证半径
8.如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（1）证明：连接OB.
∵PO⊥AB，∴AC=BC. ∴PA=PB.
∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠OBP=∠OAP.
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°.
∴∠OBP=90°. ∴PB是⊙O的切线.
有交点，
连交点，
证垂直
（2）若AP=5，PE=13，求DE的长．
解：在Rt△APE中，
由勾股定理易得AE=12．
由(1)知AP=BP=5，则BE=8．
∵PB为的切线，∴∠OBE=90°.
设OB=r,则OE=12-r.
在Rt△OBE中，由勾股定理得r2+82=(12-r)2.
解得r= .
例7 已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过 上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.
(1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；
解：(1)连接OA、OB、OC，
∴∠DOE＝ ∠AOB.
∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，BE＝CE，
∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°，∠DOE＝55°.
(2)∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C，
(2)若PA＝4 cm，求△PDE的周长．
∴AD＝CD，BE＝CE.
∴△PDE的周长＝PD＋PE＋CD+CE
＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)
9.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，BC=40cm，现利用该三角形裁剪一个最大的圆，则该圆半径是_________cm．
10
归纳：已知三角形面积，求三角形内切圆的半径，可利用公式:
解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，则可以根据
求△ABC的内切圆半径.
针对训练
例8 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上，OA=1，∠AOC=120°，∠1=∠2，求扇形OEF的面积.
解：∵四边形OABC为菱形，
考点四 圆中的计算问题
∴OC=OA=1.
∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2，
∴ ∠FOE=120°.
又∵点C在以点O为圆心的圆，
10.(1) 扇形的弧长为10π cm，面积为120π cm2，则扇形的半径是_______;
(2)如果圆锥的母线长为6 cm，底面半径为3 cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角为_______°.
(3)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠C=140°，则弧BD的长为
____．
针对训练
180
24 cm
11. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形．
(1)求正方形EFGH的面积；
解：(1)∵正六边形的边长与其半径相等，∴EF=OF=5.
∵四边形EFGH是正方形，
∴FG=EF=5，
∴正方形EFGH的面积是25.
(2)∵正六边形的边长与其半径相等，∴∠OFE=60°.
∴正方形的内角是90°，
∴∠OFG=∠OFE +∠EFG=60°+90°=150°.
由(1)得OF=FG，
∴∠OGF= (180°－∠OFG)
= ×(180°－150°)
=15°.
(2)连接OF、OG，求∠OGF的度数．
例9 如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于_______．
针对训练
12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为
_________.
考点五 与圆有关的作图
·
a
b
c
d
a
例10 如何解决“破镜重圆”的问题：
O
·
作图方法：首先，在碎片a的圆弧上找A、B、C三点，连AB、BC；然后分别作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点O.即为原来圆镜的圆心，原来的镜子是以O为圆心，OA为半径的圆镜.
A
B
C
针对训练
13.在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺在图中以BC为边作一个45°的圆周角（保留画图痕迹）．
A
B
C
D
解：如图所示，∠CBD即为所求.
圆
弧长和扇形面积
圆的对称性
圆锥的侧面积和全面积
切线
点和圆的位置关系
圆的有关性质
点、直线和圆
的位置关系
正多边形和圆
弧、弦、圆心角之间的关系
同弧所对的圆周角和它所对的圆心角的关系
直线和圆的位置关系
三角形的
内切圆
等分圆周
弧长
扇形面积
三角形的外接圆
课堂小结

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