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2023届高考数学复习专题 ★★
选择性必修一
第一章　空间向量与立体几何
一、共线向量、共面向量定理
　　1.共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
二、空间向量基本定理
　　如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
三、空间向量运算的坐标表示
　　1.空间向量运算的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
运算 坐标表示
加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘 λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R
数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3
　　2.空间向量常用结论的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
结论 坐标表示
共线 a∥b(b≠0) a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0
向量长度 |a|==
向量夹 角公式 cos==
　　3.空间两点间的距离公式
设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则P1P2=||=.
四、空间向量
　　1.设直线l,m的方向向量分别为μ,v,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
线线平行 l∥m μ∥v μ=λv,λ∈R
线面平行 l∥α μ⊥n1 μ·n1=0
面面平行 α∥β n1∥n2 n1=λn2,λ∈R
线线垂直 l⊥m μ⊥v μ·v=0
线面垂直 l⊥α μ∥n1 μ=λn1,λ∈R
面面垂直 α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0
线线夹角 l,m的夹角θ∈,cos θ=
线面夹角 l,α的夹角为θ∈,sin θ=
面面夹角 α,β的夹角为θ∈,cos θ=
　　2.点到直线的距离
设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u,点P到直线l的距离PQ==.
3.点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离PQ===.
第二章　直线和圆的方程
一、直线的倾斜角与斜率
　　1.直线的倾斜角
定义 当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角
规定 当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°
范围 [0,π)
　　2.直线的斜率
定义 当直线l的倾斜角α≠时,其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan α
斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=
　　3.直线的方向向量
直线的方向向量 设A,B为直线上的两点,则就是这条直线的方向向量
方向向量的坐标 设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),则直线AB的一个方向向量为=(x2-x1,y2-y1)
方向向量与斜率 若直线l的斜率为k,则直线l的一个方向向量为(1,k)
　　4.两条直线平行和垂直的判定
对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2.
位置关系 判定 特例
平行 l1∥l2 k1=k2 直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行
垂直 l1⊥l2 k1k2=-1 一直线斜率为零,另一直线斜率不存在时,两条直线垂直
二、直线的方程
　　直线方程的五种形式及适用范围:
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 y=kx+b 与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 y-y0=k(x-x0)
两点式 过两点 = 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 横、纵截距 +=1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 所有直线
三、直线的交点坐标与距离公式
　　1.两条直线的交点坐标
直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标就是方程组的解.
位置关系 方程组的解的个数
相交 方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解
平行 方程组无解
重合 方程组有无数个解
　　2.距离公式
距离类型 已知几何元素 距离公式
两点间的距离 两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) |P1P2| =
点到直线的距离 点P0(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0 d=
两条平行直线 间的距离 两条平行直线l1: Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0 d=
四、圆的方程
圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合
圆 的 方 程 标准式 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心坐标:(a,b)
半径为r
一般式 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 圆心坐标:
半径r=
五、直线与圆、圆与圆的位置关系
　　1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系判断;
(2)代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,利用判别式Δ判断.
位置关系 几何法 代数法
相交 d0
相切 d=r Δ=0
相离 d>r Δ<0
　　2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).
　　　　　方法位置关系　　 几何法:根据圆心距d=|O1O2|与r1+r2或|r1-r2|的大小关系进行判断 代数法:根据两圆方程组成的方程组解的个数进行判断
外离 d>r1+r2 无解
外切 d=r1+r2 一组实数解
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解
第三章　圆锥曲线的方程
一、椭圆
　　1.椭圆的定义
定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
符号语言 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数
轨迹类型 a>c 点M的轨迹为椭圆
a=c 点M的轨迹为线段
a　　2.椭圆的标准方程及其几何性质
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
图形
性 质 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点坐标 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a,a为长半轴长;短轴B1B2的长为2b,b为短半轴长
焦距 |F1F2|=2c
离心率 e=,e∈(0,1),其中c=
a,b,c的关系 a2=b2+c2
二、双曲线
　　1.双曲线的定义
定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
符号语言 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0
轨迹类型 aa=c 点M的轨迹为两条射线(不含绝对值时为一条射线)
a>c 点M不存在
　　2.双曲线的标准方程及其几何性质
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
性 质 范围 x≤-a或x≥a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a
对称性 对称轴:坐标轴　对称中心:原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=,e∈(1,+∞),其中c=
轴 实轴A1A2的长为2a,a为实半轴长; 虚轴B1B2的长为2b,b为虚半轴长
a,b,c的关系 c2=a2+b2
三、抛物线
　　1.抛物线的定义
定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线
符号语言 集合P={M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离)
特例 当F∈l时,动点M的轨迹是过F点垂直于l的直线
　　2.抛物线的标准方程及其几何性质
图形
标准方程 y2= 2px(p>0) y2= -2px(p>0) x2= 2py(p>0) x2= -2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
性 质 顶点 O(0,0)
对称轴 y=0 x=0
焦点 F F F F
离心率 e=1
准线方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
选择性必修二
一、等差数列
1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
2.等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项,且2A=a+b.
3.通项公式:等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
4.前n项和公式:Sn==na1+d(n∈N*).
5.性质:(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(m,n∈N*).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有am+an=ap+aq.(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(4)数列{an}是等差数列 Sn=An2+Bn(A,B为常数).
(5)在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
二、等比数列
　　1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.
2.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab.
3.通项公式:等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为an=a1qn-1.
4.前n项和公式:Sn=
5.性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m(m,n∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an.(3)当q≠-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn.
三、求一元函数的导数
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=0
f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x f'(x)=cos x
f(x)=cos x f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a
f(x)=ex f'(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
　　2.导数的四则运算法则
已知两个函数f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x).若f'(x),g'(x)存在,则有:
(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
(3)'=(g(x)≠0).
3.简单复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x.
四、导数在研究函数中的应用
　　1.函数的单调性与导数
一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;
在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
2.函数的极值与导数
条件 f'(x0)=0
x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0 x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0
图象
极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
　　3.函数的最大(小)值与导数
(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.
(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
选择性必修三
一、计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
3.排列与排列数
(1)排列
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.
4.组合与组合数
(1)组合
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.
5.二项式定理
(1)二项式定理:(a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn,n∈N* .
(2)二项展开式的通项:Tk+1=an-kbk,通项为展开式的第k+1项.
6.各二项式系数的和
(1)(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n,即+++…+=2n.
(2)在(a+b)n的展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即+++…=+++…=2n-1.
二、随机变量及其分布
　　1.条件概率
一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,则称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A),称此公式为概率的乘法公式.
2.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai),称此公式为全概率公式.
3.离散型随机变量的分布列、期望与方差
名称 表现形式(或公式) 性质
分布列 Xx1x2…xnPp1p2…pn
pi≥0,i=1,2,3,…,n; p1+p2+…+pn=1
期望 E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn= xipi E(aX+b)=aE(X)+b
方差 D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=(xi-E(X))2pi (1)D(aX+b)= a2D(X); (2)D(X)=E(X2)-[E(X)]2
　　4.几种常见的概率分布
名称 概念(或公式) 数字特征
二项分布 P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.记作X~B(n,p) E(X)=np; D(X)=np(1-p)
超几何分布 P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M} E(X)=
正态分布 随机变量X服从正态分布记为X~N(μ,σ2),特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布 若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2; P(X≤μ)=P(X≥μ)=0.5
三、成对数据的统计分析
　　1.样本相关系数
r=.
2.经验回归方程
方程=x+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程,其中,是待定参数,其最小二乘估计分别为
3.2×2列联表
Y=0 Y=1 合计
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合计 a+c b+d a+b+c+d
　　4.独立性检验:χ2=,其中n=a+b+c+d.

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