资源简介

2023届高考数学复习专题 ★★
必修一知识点汇编
一、集合
元素与集合 集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性
集合间的基本关系 子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A B(或B A)
真子集:若A B,且B中至少有一个元素不属于A,则A B(或B A)
相等:若A B,且B A,则A=B
结论:若有限集A中有n(n∈N*)个元素,则A的子集有2n个,真子集有(2n-1)个
集合的基本 运算 并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B},A B A∪B=B
交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B},A B A∩B=A
补集: UA={x|x∈U,且x A},A B UA UB
二、充分条件与必要条件
命题真假 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题
推出关系 由p能推出q,记作p q 由p不能推出q,记作p /q
条件关系 p是q的充分条件 p不是q的充分条件
q是p的必要条件 q不是p的必要条件
三、充要条件
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p q,又有q p,就记作p q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.概括地说,如果p q,那么p与q互为充要条件.
四、全称量词与全称量词命题
全称量词 全称量词命题 全称量词命题 的真假判断
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “ ”表示 含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为 x∈M,p(x) 全真为真,一假为假
五、存在量词与存在量词命题
存在量词 存在量词命题 存在量词命题的真假判断
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示 含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为 x∈M,p(x) 一真为真,全假为假
六、全称量词命题和存在量词命题的否定
命题的类型 命题的符号表示 命题的否定 的符号表示 命题的否定 的类型
全称量词命题 p: x∈M,p(x) p: x∈M, p(x) 存在量词命题
存在量词命题 p: x∈M,p(x) p: x∈M, p(x) 全称量词命题
七、不等式的主要性质
1.对称性:a>b b2.传递性:a>b,b>c a>c.
3.加法法则:a>b a+c>b+c;a>b,c>d a+c>b+d.
4.乘法法则:a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 aca>b>0,c>d>0 ac>bd.
5.倒数法则:a>b,ab>0 <.
6.乘方法则:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).
7.开方法则:a>b>0 >(n∈N,n≥2).
八、基本不等式
如果a,b是正数,那么≤(当且仅当a=b时,等号成立).
九、二次函数与一元二次方程、不等式
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根为x1、x2,且x1≤x2,Δ=b2-4ac,则不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集的各种情况如下表:
Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1十、函数的概念及其表示
函数 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
表示法 解析法、列表法和图象法
十一、函数的单调性与奇偶性
1.函数的单调性
增函数 减函数
设函数f(x)的定义域为I,区间D I:如果 x1,x2∈D
当x1f(x2),那么就称f(x)在区间D上单调递减,D叫做f(x)的递减区间
2.函数的最大(小)值
前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件 x∈I,都有f(x)≤M; x0∈I,使得f(x0)=M x∈I,都有f(x)≥M; x0∈I,使得f(x0)=M
结论 那么称M是函数f(x)的最大值 那么称M是函数f(x)的最小值
3.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果 x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果 x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
十二、幂函数
定义 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数
常见五 种幂函 数的图象
性质 幂函数在(0,+∞)上都有定义
当α>0时,图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增
当α<0时,图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减
十三、指数与指数函数
1.正数的分数指数幂
定义 =(a>0,m,n∈N*,n>1) ==(a>0,m,n∈N*,n>1)
运算性质 aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q
2.指数函数及其性质
概念 一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R
底数的 范围 a>1 0图象
性质 定义域:R;值域:(0,+∞)
过定点(0,1),即x=0时,y=1
x>0时,y>1;x<0时,01;x>0时,0在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数
十四、对数与对数函数
1.对数的概念与运算(a>0,且a≠1,M>0,N>0)
定义 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN
常用对数 以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg N
自然对数 以无理数e=2.718 28…为底的对数叫做自然对数,并把logeN记为ln N
结论 loga1=0;logaa=1;=N;logaab=b
运算性质 ①loga(MN)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R)
换底公式 logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)
2.对数函数及其性质
概念 一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞)
底数的 范围 a>1 0图象
性质 定义域:(0,+∞);值域:R
过定点(1,0),即x=1时,y=0
x>1时,y>0;01时,y<0;00
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
十五、函数与方程
1.函数的零点
概念 对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
等价关系 方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点
函数零点 存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解
2.二分法求函数的零点
二分法 的概念 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法
步骤 (给定精 确度ε) (1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;②若f(a)f(c)<0(此时零点x0∈(a,c)),则令b=c;③若f(c)f(b)<0(此时零点x0∈(c,b)),则令a=c. (4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4)
十六、三角函数
1.同角三角函数的基本关系
(1)sin2α+cos2α=1;
(2)tan α=.
2.诱导公式
记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.
公式一:
sin(2kπ+α)=sin α(k∈Z);cos(2kπ+α)=cos α(k∈Z);tan(2kπ+α)=tan α(k∈Z).
公式二:
sin(π+α)=-sin α;cos(π+α)=-cos α;tan(π+α)=tan α.
公式三:
sin(-α)=-sin α;cos(-α)=cos α;tan(-α)=-tan α.
公式四:
sin(π-α)=sin α;cos(π-α)=-cos α;tan(π-α)=-tan α.
公式五:
sin=cos α;cos=sin α.
公式六:
sin=cos α;cos=-sin α.
3.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β;
(2)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
(3)tan(α±β)=.
4.二倍角公式
(1)sin 2α=2sin αcos α;
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)tan 2α=.
5.辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ).
6.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R R xx≠kπ+,k∈Z
值域 [-1,1] [-1,1] R
单调性 单调递增区间:2kπ-,2kπ+,k∈Z; 单调递减区间:2kπ+,2kπ+,k∈Z 单调递增区间:[2kπ-π,2kπ],k∈Z; 单调递减区间: [2kπ,2kπ+π], k∈Z 单调递增区间:kπ-,kπ+,k∈Z
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心: (kπ,0),k∈Z 对称中心:kπ+,0,k∈Z 对称中心: ,k∈Z
对称轴: x=kπ+,k∈Z 对称轴: x=kπ,k∈Z
周期 2π 2π π
7.三角函数的图象变换
由函数y=sin x的图象通过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法:
必修二知识点汇编
第六章　平面向量及其应用
一、平面向量的线性运算
定义 法则(或几何意义) 运算律
加 法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律: a+b=b+a; (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
减 法 向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差 ——
数 乘 实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa (1)模:|λa|=|λ|·|a|; (2)方向: 当λ>0时,λa与a的方向相同; 当λ<0时,λa与a的方向相反; 当λ=0时,λa=0 设λ,μ是实数. (1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb
二、向量共线定理
　　向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
三、平面向量基本定理
　　如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
四、平面向量的坐标表示
　　设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=,a·b=|a|·|b|·cos θ=x1x2+y1y2(θ为a与b的夹角).
五、余弦定理及其推论
　　1.余弦定理
三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C.
2.推论
cos A=,cos B=,cos C=.
六、正弦定理及其常见变形
　　1.正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即===2R(R为△ABC外接圆半径).
2.常见变形
a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,
sin A=,sin B=,sin C=,
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,
=2R.
第七章　复数
一、复数的有关概念及代数表示
　　1.复数
把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部.把z=a+bi(a,b∈R)这一表示形式叫做复数的代数表示式,简称代数形式.
2.复数集
全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.
3.复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:
a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.
4.复数的分类
复数z=a+bi
(a,b∈R)
二、复数的几何意义
三、复数的四则运算
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
(1)z1±z2=(a±c)+(b±d)i;
(2)z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
(3)==+i(z2≠0).
对任意z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
第八章　立体几何初步
一、常见几何体的面积
　　多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
圆柱的侧面积S侧=2πrl,表面积S=2πr(r+l).
圆锥的侧面积S侧=πrl,表面积S=πr(r+l).
圆台的侧面积S侧=π(r'+r)l,表面积S=π(r'2+r2+r'l+rl).
球的表面积S=4πR2.
其中r',r分别为上、下底面半径,l为母线长,R为球的半径.
二、常见几何体的体积
柱体的体积V=Sh;
锥体的体积V=Sh;
台体的体积V=(S'++S)h;
球的体积V=πR3.
其中S',S分别为上、下底面面积,h为高,R为球的半径.
三、平面的基本事实
　　基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.
基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.
四、空间点、直线、平面之间的位置关系
　　1.空间中直线与直线的位置关系
2.空间中直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内——有无数个公共点;
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点;
(3)直线与平面平行——没有公共点.
当直线与平面相交或平行时,直线不在平面内,也称为直线在平面外.
3.空间中平面与平面的位置关系
(1)两个平面平行——没有公共点;
(2)两个平面相交——有一条公共直线.
五、空间平行关系的判定及性质
　　1.直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
2.直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
3.平面与平面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
4.平面与平面平行的性质定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.
六、空间垂直关系的判定及性质
　　1.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.
2.直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
3.平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.
4.平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直.
第九章　统计
一、随机抽样
简单随 机抽样 从总体中逐个抽取样本的方法,分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样
分层随 机抽样 将总体分层,按照比例从各层中独立抽取样本的方法
二、用样本估计总体
频率分布 样本中某个数据(范围)在总体中占有的比例称为这个数据(范围)的频率,使用频率分布表、频率分布直方图表达样本数据的频率分布
样 本 的 数 字 特 征 百分位数 一组数据的第p百分位数使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值
众数 样本数据中出现次数最多的数据
中位数 从小到大排序后,中间的数或者中间两数的平均数
平均数 x1,x2,…,xn的平均数是=(x1+x2+…+xn)
方差、 标准差 s2=(xi-)2=-, s=
三、频率分布直方图的特征
　　1.各个小矩形的面积和为1.
2.纵轴的含义为,矩形的面积=组距×=频率.
3.样本数据的平均数的估计值等于各个小矩形的面积乘该矩形底边中点横坐标之和.
4.众数为最高矩形的底边中点的横坐标
第十章　概率
一、有限样本空间与随机事件
　　1.随机试验:把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验.
2.样本点:把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点,一般用ω表示.
3.样本空间:全体样本点的集合称为试验的样本空间,一般用Ω表示.
4.有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,}为有限样本空间.
5.随机事件:把样本空间的子集称为随机事件,简称事件,把只包含一个样本点的事件称为基本事件.
6.必然事件:Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.
7.不可能事件:空集 不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称 为不可能事件.
二、事件的关系和运算
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 B A(或A B)
相等 A发生导致B发生,B发生也导致A发生 A=B
并事件(和事件) A与B至少有一个发生 A∪B(或A+B)
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B(或AB)
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∪B=Ω,且A∩B=
三、古典概型
　　1.特征(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
2.概率公式
设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==.其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
四、概率的基本性质
　　性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0.
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P( )=0.
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
推广:如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
性质5:如果A B,那么P(A)≤P(B).
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
五、事件的相互独立性
　　1.概念对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
2.性质A与B是相互独立事件,则A与,与B,与也都相互独立.
六、频率与概率
　　1.频率与概率的关系(1)频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.
(2)频率是随机的,概率是确定的,可以用频率f(n)(A)来估计概率P(A).
2.随机模拟
利用计算器或计算机软件产生随机数做模拟试验,由模拟试验得到频率来估计概率,这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.

展开更多......

收起↑