资源简介

1.1.3　集合的基本运算（2）
【学习目标】
1．了解全集的含义及其符号表示．
2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．
3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1) 全集与补集的含义是什么？
(2) 如何用Venn图表示给定集合的补集？
二、课前小测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全集一定包含任何元素(　　)
(2)同一个集合在不同的全集中补集不同(　　)
(3)不同的集合在同一个全集中的补集也不同．(　　)
2．已知全集U＝{0,1,2}，且 UA＝{2}，则A＝(　　)
A．{0}　　 B．{1}　　 　C． 　　 　D．{0,1}
3．设全集为U，M＝{0,2,4}， UM＝{6}，则U等于(　　)
A．{0,2,4,6}　　　　　　　　　 　B．{0,2,4}
C．{6} D．
4．全集U＝{x|0三、新知探究
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
思考：全集一定是实数集R吗？
提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
2．补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
四、题型突破
题型一　补集的运算
【例1】　(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}， UB＝{1,4,6}，则集合B＝________；
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则 UA＝________.
[感悟反思]
求集合的补集的方法
1定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.
2Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.
3数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.
跟踪训练1　
(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则 AB等于(　　)
A．{2,4}　　　　 B．{0,1,3,5}
C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6}
(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则 UA＝______.
题型二 集合交、并、补集的综合运算
【例2】　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2[感悟反思]
解决集合交、并、补运算的技巧
1如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.
2如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
跟踪训练2　
全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A U，B U，( UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，( UA)∩( UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.
题型三 与补集有关的参数值的求解
[探究问题]
1．若A，B是全集U的子集，且( UA)∩B＝ ，则集合A，B存在怎样的关系？
提示：B A.
2．若A，B是全集U的子集，且( UA)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？
提示：A B.
【例3】　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[多维探究]
1．(变条件)将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
2．(变条件)将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
[感悟反思]
由集合的补集求解参数的方法
1如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.
2如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.
五、达标检测
1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩( UB)＝(　　)
A．{x|0≤x＜1}　　　　　 B．{x|0C．{x|x<0} D．{x|x>1}
2.设全集U＝R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1A．{x|－2≤x＜1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1＜x≤2} D．{x|x<2}
3．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则( UA)∪( UB)＝________.
六、本课小结
1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．
2．补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.
参考答案
课前小测
1．(1)×　(2)√　(3)√
2．D
3．A
4．{x|5≤x<10}
题型突破
【例1】
答案：(1){2,3,5,7}　(2){x|x<－3或x＝5}　
(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又 UB＝{1,4,6}，
所以B＝{2,3,5,7}．
法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
由补集的定义可知 UA＝{x|x<－3或x＝5}．
跟踪训练1　
答案：(1)C　(2){x|0(1)因为A＝{x∈N*|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4}，所以 AB＝{1,3,5,6}．故选C.
(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知， UA＝{x|0【例2】　
解析：把集合A，B在数轴上表示如下：
由图知 RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2因为 RA＝{x|x<3，或x≥7}，
所以( RA)∩B＝{x|2跟踪训练2　
解析：法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．
由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．
法二(定义法)：( UB)∩A＝{1,9}，( UA)∩( UB)＝{4,6,7}，∴ UB＝{1,4,6,7,9}．
又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴B＝{2,3,5,8}．
∵( UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，
∴A＝{1,3,9}．
【例3】　
解析：法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
法二(集合间的关系)：由( UA)∩B＝ 可知B A，
又B＝{x|－2结合数轴：
得－m≤－2，即m≥2.
[多维探究]
1．解析：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以 UA＝{x|x<－m}，又(( UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.
2．解析：由已知A＝{x|x≥－m}，
( UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又( UB)∪A＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
达标检测
1．解析：画出数轴，如图所示，
UB＝{x|x≤1}，
则A∩( UB)＝{x|0＜x≤1}．
答案：B
2.解析：
阴影部分所表示集合是N∩( UM)，
又∵ UM＝{x|－2≤x≤2}，
∴N∩( UM)＝{x|1＜x≤2}．
答案：C
3．解析：依题意得知， UA＝{c，d}， UB＝{a}，( UA)∪( UB)＝{a，c，d}．
答案：{a，c，d}

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