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2.2.1不等式及其性质（2）
【学习目标】
1．掌握不等式的性质．
2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
1..不等式的性质有哪几条？
2.如何用不等式的性质证明不等式？
二、课前小测
1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是(　　)
A．a－b＞d－c　　 B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d
2．与a>b等价的不等式是(　　)
A．|a|>|b| B．a2>b2
C．>1 D．a3>b3
3．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
三、新知探究
不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c.
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0 an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
四、题型突破
题型一　利用不等式性质判断命题真假
【例1】　对于实数a，b，c下列命题中的真命题是(　　)
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b＜0，则＞
D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
【反思感悟】
运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
【跟踪训练】
1．下列命题正确的是(　　)
A．若a2＞b2，则a＞b
B．若＞，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b
D．若＜，则a＜b
题型二 利用不等式性质证明简单不等式
【例2】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
【多维探究】
本例条件不变的情况下，求证：＞.
【反思感悟】
利用不等式的性质证明不等式注意事项
1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
【跟踪训练】
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac题型三 不等式性质的应用
[探究问题]
1．小明同学做题时进行如下变形：
∵2∴<<，
又∵－6∴－2<<4.
你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－62．由－6提示：不正确．因为同向不等式具有可加性．但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？
∵2∴－4又∵－2∴0∴－3这怎么与－2提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2【例3】　已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．
【反思感悟】
求含字母的数或式子的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.
【跟踪训练】
3．已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．
五、达标检测
1．思考辨析
(1)若a>b，则ac>bc一定成立．(　　)
(2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　)
2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是(　　)
A．a－d＞b－c　　　 B．－＜－
C．a＋d＞b＋c D．ac＞bd
3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是(　　)
A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1
C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1
4．若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
六、本课小结
1．在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性.
参考答案
课前小测
1．答案：B　 根据不等式的性质．
2．答案：D　 可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.
3．答案：B　 ∵xa2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.
【例1】　
答案：D　
法一：∵c2≥0，∴c＝0时，
有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0 ＞ ＞，
故B为假命题；
＞，
故C为假命题；
ab＜0.
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．
取a＝2，b＝1，则＝，＝1.
有＜，故B错．取a＝－2，b＝－1，
则＝，＝2，有＜，故C错．
【跟踪训练】
1．答案：D　 A错，例如(－3)2＞22；B错，例如＞；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.
【例2】　
[证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以，
得＜.
又e＜0，∴＞.
【多维探究】
[证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜，
又∵e＜0，∴＞.
【跟踪训练】
2．[证明]　∵a>b，c>0，∴ac>bc.
又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，
∴e－bc>f－ac，∴f－ac【例3】
[解]　因为1＜a＜4,2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2.
所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2.
又因为＜＜，所以＜＜＝2，
即＜＜2.
【跟踪训练】
3．[解]　∵已知－≤α＜β≤，
∴－≤＜，－＜≤，
两式相加，得－＜＜.
∵－＜≤.
∴－≤－＜.
∴－≤＜，
又知α＜β，∴＜0.
故－≤＜0.
达标检测
1. 答案：(1)×　(2)×
解析：(1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．
(2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.
2. 答案：C　
解析：由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，
即a－d＞b－c，所以A正确；由c＞d＞0，得＞＞0.
又a＞b＞0，所以＞，－＜－即B正确；
显然D正确，因此不正确的选项是C.
3. 答案：A　
解析：由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1.
∴－2＜α－β＜2，但α＜β.
故知－2＜α－β＜0.
4. 证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤.

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