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3.1.1函数及其表示方法(3)
【学习目标】
1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．
2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？
(2)怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？
二、课前小测
1．已知函数f(x)＝，则f(1)等于(　　)
A．0　　　B．1　　　　C.　　　　D．2
2．函数f(x)＝的定义域为________．
3．函数f(x)＝|x－2|的图象为(　　)
4．设函数f(x)＝，则f(f(3))＝(　　)
A. B．3 C. D.
三、新知探究
分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
思考：分段函数是一个函数还是几个函数？
提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数
四、题型突破
题型一　分段函数的求值问题
【例1】　已知函数f(x)＝.
(1)求f(－5)，f(－)，f的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
【方法总结】
1．分段函数求函数值的方法：
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤：
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
跟踪训练　
1．函数f(x)＝，则f(7)＝________.
题型二　分段函数的解析式
【例2】　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
[思路点拨]　可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解．
【反思感悟】　
1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．
跟踪训练
2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
题型三　分段函数的图象及应用
[探究问题]
1．函数f(x)＝|x－2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？
提示：能．f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示．
2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？
提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
【例3】　已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示f(x)；
(2)画出f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
[思路点拨]　(1)分－2(2)利用(1)的结论可画出图象；
(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．
【多维探究】
把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3个问题．
【反思感悟】
分段函数图象的画法
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
五、达标检测
1．思考辨析
(1)分段函数由几个函数构成．(　　)
(2)函数f(x)＝是分段函数．(　　)
2．设函数f(x)＝ ，则f(f(6))＝(　　)
A. 　　　 B．1　　　 C. 　　　 D.
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________．
4．已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域．
六、本课小结
1．分段函数是一个函数，而不是几个函数．
2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
3．分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．
参考答案
课前小测
1．答案：B
2．函数f(x)＝的定义域为________．
答案：[1，＋∞)
3．答案：B
4．答案：D
题型突破
【例1】　
[解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵f＝－＋1＝－，
而－2<－<2，
∴f＝f＝2＋2×＝－3＝－.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，
即a＝2>－2，不合题意，舍去．
当－2即a2＋2a－3＝0.
∴(a－1)(a＋3)＝0，
解得a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3 (－2,2)，
∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
跟踪训练　
1．8　 ∵函数f(x)＝
∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.
【例2】
[解]　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图象如图所示．
跟踪训练
2．[解]　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式如下：
y＝
函数图象如图所示：
【例3】　
[解]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2f(x)＝1＋＝1－x，
∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
【多维探究】
[解]　(1)f(x)＝|x|－2＝
(2)函数的图象如图所示．
(3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．
达标检测
1．答案：(1)×　(2)√
2．答案：C　
∵f(6)＝ ＝ ≤1，
∴f(f(6))＝()2 1＝
3．答案：f(x)＝　
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；
当1综上f(x)＝
4．解：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，
当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1]．

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