资源简介

3.2函数与方程、不等式之间的关系(1)
【学习目标】
1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．
2．会求函数的零点．
3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1) 函数零点的定义是什么？
(2) 函数零点存在性定理要具备哪两个条件？
二、课前小测
1．下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)
A　 　　 B　　 　C　 　D
2．函数y＝2x－1的零点是(　　)
A. B. C. D．2
3．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为(　　)
A．(0,1) B．(－1,0) C．(2,3) D．(1,2)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
三、新知探究
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？
提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
2．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
思考2：该定理具备哪些条件？
提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
四、题型突破
题型一 求函数的零点
【例1】　(1)求函数f(x)＝的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
【反思感悟】
函数零点的求法
1代数法：求方程fx＝0的实数根.
2几何法：对于不能用求根公式的方程fx＝0，可以将它与函数y＝fx的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
【跟踪训练】
1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝.
题型二 判断函数零点所在的区间
【例2】　(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(3,4)　　　　　　 B．(2，e)
C．(1,2) D．(0,1)
(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是(　　)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08
x＋3 2 3 4 5 6
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
【反思感悟】
判断函数零点所在区间的三个步骤
1代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.
2判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.
3结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.
【跟踪训练】
2．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　)
A．－2　　　　　 B．0
C．1 D．3
题型三 函数零点的个数
[探究问题]
1．方程f(x)＝a的根的个数与函数y＝f(x)及y＝a的图象交点个数什么关系？
提示：相等．
2．若函数g(x)＝f(x)－a有零点，如何求实数a的范围？
提示：法一：g(x)＝f(x)－a有零点可知方程
f(x)－a＝0有解，即a＝f(x)有解．
故a的范围为y＝f(x)的值域．
法二：g(x)＝f(x)－a有零点，等价于函数y＝a与函数y＝f(x)的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可．
【例3】　已知0A．1　　　　B．2 C．3　　　　 D．4
[思路点拨]　→→
【多维探究】
1．把本例函数“y＝a|x|－|logax|”改为“y＝2x|logax|－1”，再判断其零点个数．
2．若把本例条件换成“函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围．
【反思感悟】
函数图象的变换规律
1一般地，函数y＝fx±a＋ba，b为实数的图象是由函数y＝fx的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a|的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象与y＝fx的图象在fx≥0的部分相同，在fx<0的部分关于x轴对称.
五、达标检测
1．思考辨析
(1)f(x)＝x2的零点是0.(　　)
(2)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．(　　)
(3)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(　　)
(4)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)
2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1)　　　 B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(　　)
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
4．已知函数f(x)＝x2－x－2a.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．
六、本课小结
1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时也可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
参考答案
二、课前小测
1．D
结合函数零点的定义可知选项D没有零点．
2．A
由2x－1＝0得x＝.
3．D
由f(－1)＝－<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，得f(x)的零点所在区间为(1,2)．
4．2
由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．
四、题型突破
【例1】解：
(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)的零点为0和－.
【跟踪训练】
1．解：
(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
【例2】答案：(1)C　(2)C
(1)因为f(1)＝ln 2－<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.
(2)构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，
f(0)＝1－3＝－2<0，
f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，
f(2)＝7.39－5＝2.39>0，
f(3)＝20.08－6＝14.08>0，
f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.
【跟踪训练】
2．A
f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]
f(x)－a＝0有解，即a＝f(x)有解．
故a的范围为y＝f(x)的值域．
法二：g(x)＝f(x)－a有零点，等价于函数y＝a与函数y＝f(x)的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可．
【例3】答案：B　
函数y＝a|x|－|logax|(0画出函数f(x)＝a|x|(0观察可得函数f(x)＝a|x|(0【多维探究】
1．解：由2x|logax|－1＝0得|logax|＝x，作出y＝x及y＝|logax|(0由图可知，两函数的图象有两个交点，
所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点．
2．解：　由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
则当0五、达标检测
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．B
∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，
∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
3．D
∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．
4．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.
令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2.
即函数f(x)的零点为－1和2.
(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－，
所以a的取值范围是.

展开更多......

收起↑