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3.2函数与方程、不等式之间的关系(2)
【学习目标】
1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．
3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)二分法的定义是什么？用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？
(2)利用二分法求方程的近似解时，函数零点所在的区间应满足什么条件？如何根据精确度确定符合要求的近似值？
二、课前小测
1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　)
A．|a－b|<0.1　　　 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
三、新知探究
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
2．二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
四、题型突破
题型一 二分法的概念
【例1】　已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
【反思感悟】
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.
【跟踪训练】
1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
A　 　B　　　 　C　　 　　D
题型二 用二分法求函数零点的近似值
[探究问题]
1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？
提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．
2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？
提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．
【例2】　求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．
【多维探究】
1．(变条件)求本例函数f(x)在区间[－2，－1]上精确度为0.1的一个零点近似值．
2.若将本例函数改为“f(x)＝x3＋2x2－3x－6”，如何求该函数的正数零点？(精确度0.1)
【反思感悟】
利用二分法求方程近似解的过程图示
五、达标检测
1．思考辨析
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　)
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　)
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　)
2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是(　　)
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
3．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
4．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9
由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．
六、本课小结
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)<0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
参考答案
课前小测
1．A
∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
2．B
据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．
3．x3
因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．
4．(0，0.5)　f(0.25)
∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．
题型突破
【例1】D
图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.
【跟踪训练】
1．B
二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．
【例2】解：确定一个包含负数零点的区间(m，n)，
且f(m)·f(n)<0.因为f(－1)>0，f(－2)<0，
所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间
f(－1)>0，f(－2)<0 (－2，－1)
x0＝＝－1.5 f(x0)＝4.375>0 (－2，－1.5)
x1＝＝－1.75 f(x1)≈2.203>0 (－2，－1.75)
x2＝＝－1.875 f(x2)≈0.736>0 (－2，－1.875)
x3＝＝－1.937 5 f(x3)≈－0.097 4<0 (－1.937 5，－1.875)
x4＝＝－1.906 25 f(x4)≈0.3280>0 (－1.9375，－1.90625)
x5＝＝－1.921 875 f(x5)≈0.1174>0 (－1.9375，－1.921875)
x6＝＝－1.929 687 5 f(x6)≈0.0105>0 (－1.9375，－1.9296875)
由于|－1.9296875＋1.9375|＝0.0078125<0.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.929 6875.
【多维探究】
1．解：因为f(－1)>0，f(－2)<0，且函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的图象是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间
f(－1)>0，f(－2)<0 (－2，－1)
x0＝＝－1.5 f(x0)＝4.375>0 (－2，－1.5)
x1＝＝－1.75 f(x1)≈2.203>0 (－2，－1.75)
x2＝＝－1.875 f(x2)≈0.736>0 (－2，－1.875)
x3＝＝－1.937 5 f(x3)≈－0.097 4<0 (－1.937 5，－1.875)
由于|－1.875＋1.9375|＝0.0625<0.1，所以函数在区间[－2，－1]内的一个近似零点可取为－1.9375.
2. 解：确定一个包含正数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)<0.
因为f(0)＝－6<0，f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，
所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间，
用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间
f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0 (1,2)
x1＝＝1.5 f(1.5)＝－2.625<0 (1.5,2)
x2＝＝1.75 f(1.75)≈0.234 4>0 (1.5,1.75)
x3＝＝1.625 f(1.625)≈－1.302 7<0 (1.625,1.75)
x4＝＝1.687 5 f(1.687 5)≈－0.561 8<0 (1.687 5,1.75)
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，所以函数的正数
零点的近似值可取为1.687 5.
达标检测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．D
二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.
3．(2,3)
因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．
4．解：因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．

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