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《集合的基本运算》能力探究
分析计算能力交集、并集、补集的基本运算方法
1.求集合补集的基本方法及处理技巧
（1）基本方法:定义法.
（2）两种处理技巧.
①当集合用列举法表示时,可借助Venn图求解.
②当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解.
2.集合交、并、补运算的方法
（1）集合的交、并、补运算是同级运算,因此在进行集合的混合运算时,有括号的先算括号内的,然后按照从左到右的顺序进行计算.
（2）当集合是用列举法表示时,如数集,可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时,如不等式形式的集合,则可借助数轴求解.
典例1[直观想象、数学运算]全集,,求集合.
点拨:本题为利用集合的基本性质来进行运算.
解析:
方法一:根据题意作出Venn图(如图所示).由图可知.
方法二:∵,
∴,又,
∴.
∵.
分析计算能力集合计算中的求参数问题
求集合运算中参数的思路:
（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系.
（2）将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集求参数问题
（3）解方程（组）或解不等式（组）来确定参数值或取值范围.解题时,需注意两点:
.①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性,因此,在求解参数的问题时,要注意隐含的条件.
②对于涉及或的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的包含关系求解,注意空集的特殊性
典例2.[逻辑推理、数学运算]设,,.
(1)若,求;
(2)若,求实数的取值范围.
点拨:本题为求集合运算中的参数间题,解决本题需灵活掌握集合运算的公式,对于,可利用集合运算性,转化为集合间的包含关系运算求解.
解析:(1)若,.
(2)由,得,而.
当,即时,,符合.
当,即时,,符合.
当,即时,中有两个元素,而,得.综上,实数的取值范围是或.
简单问题解决能力图示法在集合运算中的应用
图示法求解集合运算的方法:
（1）有限集的混合运算涉及交、并、补及其关系的问题常用Venn图法处理
（2）涉及有交叉的有限集的元素个数问题用Venn图法处理较为方便.
解题时,先利用Venn图表示集合的交、并、补运算的结果,确定该部分区域表示的集合与已知中的哪些集合有关,是在已知集合内还是在已知集合外,如果在已知集合外,那么与该集合的补集有关,然后利用集合间的交集、并集、补集运算确定所求的集合.
典例3[直观想象]如图所示,是全集,是的3个子集,则阴影部分表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析:本题为利用Venn图表示集合之间的关系,解决本题需先观察图形,再分析关系.观察Venn图,可知阴影部分既在表示集合的区域中又在表示集合的区域中,即在表示集合的公共区域中,且在表示集合的区域外,即在集合中.根据集合运算的概念,可得阴影部分表示的集合为.
答案:
推测解释能力补集思想在解题中的应用
1.运用补集思想解题的条件当从正面考虑情况较多,问题较复杂时,往往考虑运用补集思想
2.运用补集思想解题的步骤
典例4[数学运算]若集合中至多有1个元素,则实数的取值范围为________.
解析:本题要求“至多有1个元素”,若采用分类讨论比较麻烦,所以可构造“补集”进行运算,化繁为简.设集合中含有2个元素,即有两个不相等的实数根,则,解得且,则此时实数取值范围是.在全集中,集合的补集是,所以满足题意的实数的取值范围是.
答案:
发现创新能力与集合运算相关的迁移题
1.集合的创新题,其创新性主要体现在新定义与新运算上.通过给出一个新概念或约定一种新运算或给出几个新的模型等,创设一种全新的问题情境,以达到独立获取信息、加工信息的目的.
2.此类题型主要的解题策略是:在认真阅读理解题意的基础上,紧扣条件,理解题意,抓住关键,实现新的信息向已有的集合知识的转化,从而达到解题的目的.
3.创新型数学试题大致为新概念、新情境问题,是指试题中自定义一个概念、一种运算、一个规定等,再提出一个与此相关的问题,要求考生结合所学数学知识进行解答.解题时首先必须深刻理解新概念的内涵,再利用新概念将所研究的问题转化为常规的数学问题来解决,而集合中的新定义运算题,要求学生在理解题意的基础上,联系所学的知识,实现信息的迁移.
典例5.[数学抽象、逻辑推理]已知有限集,.如果中元素,满足,就称为“复活集”,给出下列结论:(1)集合是“复活集”.(2)若,且是“复活集”,则.(3)若,则不可能是“复活集”.其中正确的结论是________(填上你认为所有正确的结论序号)
解析:(1)因为.(2)设,则由根与系数的关系知是一元二次方程的两个不等实根,由,可得或.(3)设中,由,得,当时,,所以,于是无解,即不存在满足条件的“复活集”,故(3)正确.
答案:(1)(3)
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