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《集合的基本运算》知识探究
探究点1 并集的定义与基本运算
一般地,由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合,称为集合与的并集(unionset),记作（读作“并”),即,或,用Venn图表示为:
【要点辨析】
1.符号语言中的“或”字与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一；而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互相排斥的,“,或包括下列三种情况:
(1),但;(2),但;(3)且.
2.概念中的“所有”二字,不能认为是由的所有元素和的所有元素简单拼凑而成的集合,要满足集合中元素的互异性.如:,,而不能写成,.
3.求两个集合的并集的方法
(1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的并集定义求解,但要注意集合中元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合,进行并集运算时,可借助数轴求解,注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围.
学科素养:用集合的语言表述并集的运算，提升直观想象、数学运算核心素养.
典例1[观察记忆能力、分析计算能力](1)(2019-北京夏季会考)已知集合,那么等于( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知集合或,则( )
A.或
B.
C.
D.或
点拨:观察给定集合中元素的特点,正确选择表示集合的方法,并根据并集的定义进行分析计算是解决本题的关键.
解析:(1)已知是数集,可以选用列举法解题.表示属于或属于的元素组成的集合,要注意集合中元素的互异性,即不可重复,所以.
答案:B
（2）已知分别表示一个区间,用数轴描述更直观.表示属于或属于的元素组成的集合,要注意其元素是不可重复的,所以先在数轴上表示集合,如图所示,则或.
答案:
探究点2 交集的定义与基本运算
一般地,由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合,称为集合与的交集(intersectionset),记作(读作“交”),即,且,用Venn图表示为:
【要点辨析】
1.两集合求交集的结果仍然是一个集合.
2.概念中的“且”即“同时”的意思，即两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素.
3.概念中的“所有”两个字的含义:,且,不能仅认为中的任一元素都是与的公共元素,同时还有与的公共元素都属于,如:,,而不是或.
4.当集合和集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而要说集合的交集为空集.如:,则.
学科素养:用集合的语言表述交集，提升数学运算、数学抽象核心素养.
典例2[概括理解能力、分析计算能力(1)已知集合,则( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知集合,则( )
A.
B.
C.
D.
(3)已知集合,集合为整数集,则( )
A.
B.
C.
D.
点拨:根据交集的定义进行分析计算是解决本题的关键.如果所给集合是数集,应用列举法;如果所给集合是个范围，应用描述法;如果所给集合是无限集，则常借助数轴.
解析:
(1)∵是由和中公共元素组成的集合,∴.
(2)∵.
(3)先求集合,由题意可知,集合,所以.
答案:(1)A(2)C(3)D
探究点3 全集与补集
1.全集
一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(universeset).通常记作.
2.补集
对于一个集合,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集(complementaryset).简称为集合的补集,记作.即,且,用图表示为:
【要点辨析】
1.全集含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素.
2.补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算,还是一种数学思想.
3.表示为全集时的补集,如果全集换成其他集合(如)时,则符号中“U”也必须换成相应的集合(即.
学科素养:用集合的语言表述全集与补集，提升数学运算、逻辑推理核心素养.
典例3[推测解释能力、分析计算能力]（1）已知全集,若,则( )
A.
B.
C.
D.
(2)若全集,则集合的补集为( )
A.
B.
C.
D.
(3)已知全集,如果,则__________.
点拨:根据补集的定义和性质进行分析计算可以解答本题.
解析:由于补集是在全集中去掉集合中的元素剩下的所有元素组成的集合,所以(1)用列举法表示.
(2)借助数轴(如图)得.
(3)把集合化简为,根据补集的定义,,且,因此,故填2.
答案:(1)D(2)C(3)2
探究点4 集合的运算性质
由并集、交集、全集和补集的概念及Venn图,可以得到以下性质：
1.交换律:.
2.结合律:.
3.分配律:.
4.任何集合与其本身的并集或交集都等于这个集合的本身.
5.任何集合与空集的并集（或交集）都等于这个集合本身(或空集).
6.任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集,两个集合的交集是其中任一集合的子集,即.
7.任何集合与它子集的并集（或交集)都是它本身（或合子集),反之亦然.
集合的基本运算包括集合的交、并、补,解决此类运算问题一般应注意以下几点:一是看元素的构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成人手是解决运算问题的前提;二是对集合进行化简,利用化简,可使问题变得简单明了,易于解决;三是注意数形结合思想的应用,集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和纬恩图.
【要点辨析】
空集在运算中的重要性
1.利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到等这类问题,解答时常借助于交集、并集的定义及以上集合间的关系去分析并灵活处理,如等.
2.当集合时,如果集合是一个确定的集合,而集合不确定,运算时要考虑的情况,切不可漏掉.
学科素养:利用集合的运算性质，解决集合问题，提升数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养.
典例4[简单问题解决能力]（1）已知集合,,则等于( )
A.0或
B.0或3
C.1或
D.1或3
(2)已知集合,若,则符合条件的实数的值组成的集合为( )
A.
B.
C.
D.
(3)已知集合,,且都是全集的子集,则图中阴影部分表示的集合为( )
A.
B.
C.
D.
点拨：本题可以利用并集的性质及子集的含义求解,也题可以用排除法.
解析：(1)∵.又,或.由得或.但不满足集合中元素的互异性,故舍去,故或.
(2)当时,;当时,,要使,则或,即或.
(3)图中阴影都分表示的集合是集合的子集,又阴影部分在表示集合的区城外,所以阴影部分表示的集合是,根据补集和交集的运算,在集合中去掉集合与集合的公共元素,即得阴影部分表示的集合是.
答案：(1)B(2)C(3)C
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