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解答题篇 专题03 数列
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2021 全国甲卷 等差、等比数列基本量以及证明等差数列 数列求和以及证明等差数列
全国乙卷 等差、等比数列基本量以及证明等差数列 证明等差数列
新高考1卷 等差、等比数列基本量 数列的求和
2022 新高考1卷 等差、等比数列基本量 裂项相消法
一、数列通项公式an求法
⑴ 前n项和法：
⑵ 累加法：形如
⑶ 累乘法：形如
⑷ 构造法：形如，又叫待定系数法，构成一个新的等差或等比数列
⑸ 倒数法：形如
二、数列前n项和Sn 求法
1、裂项相消法1：若，则有
裂项相消法2：若，则有
裂项相消法3：若，则有
裂项相消法4：若，则有
裂项相消法5
裂项相消法6
2、整体裂项：（1） =－]
（2）=－
3、错位相减法求和通式：形式：或（其中，为等差数列，为等比数列）
将上式两边同乘以得：
两式相减得：
第一问
题型一. 公式法
（1）等差数列的单调性与最值
已知成等差数列，求的最值问题：
若,d<0且满足,则最大；②若,d>0且满足,则最小.
例1-1等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；
变式1-1 若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是 ________
变式1-2 （2021·江苏·高二单元测试）已知是公差为的等差数列， 为数列的前n项和，若成等比数列，则________
（2）求等差等比数列的通项公式
例1-2. 已知数列中，，且是等比数列．求数列的通项公式；
变式1-3 ：等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.
变式1-4（2020浙江高考真题）已知等比数列的公比q>1,且a3+a4+as=28,a4+2是a3，a5的等差中项.数列｛bn｝满足b1＝1，数列(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.
（1）求q的值；
（II）求数列｛bn｝的通项设式。
题型二. 与的关系
，即已知数列前n项和，求通项。
例：(1)已知下列两数列的前n项和的公式，求的通项公式。
① ②
(2)数列满足，求
针对训练:
1. 已知数列的前项和为,且满足,求数列的通项公式.
2.已知各项均为正数的数列的前项和为满足．_______________.
3.设数列的前n项和为,若且当时,,则的通项公式为_______________.
题型三.累加法
递推公式为=+f(n)或=+f(n)，通常把原递推公式转化为-=f(n) 或-=f(n)，利用逐差相加法求解。
例3. 若在数列中，，，求通项。
针对性训练：已知数列中，求的通向公式
题型四.累乘法
递推公式为=f(n)或=f(n)，通常把原递推公式转化为=f(n) 或=f(n)，利用逐商相乘法求解。
例4 .已知数列满足，求的通向公式。
针对性训练：设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.
题型五.构造法
一、形如
（其中p，q均为常数，），一般采用待定系数法将原递推公式转化为：，其中，构造等比数列求解。
例5-1.已知数列满足,且.求数列的通项公式.
〖变式5-1〗、在数列中，，当时，有，求的通项公式。
二、形如 型数列，
一般地，对于型如型数列可化为的形式来求通项。
〖例5-2〗、设数列中，，求的通项公式。
三、形如 （A、B、C为常数，）型数列
一般地，对于型如（A、B、C为常数，）型数列，可化为=）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求，当A=C时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以Cn +1,重新构造数列，来求。
〖例5-3〗已知数列满足,求.
变式5-3.在数列中,, .求:数列的通项公式;
四、形如 或型数列
一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
〖例5-4〗.已知数列满足：，求的通项公式。
〖变式5-4〗在数列中，=，=（），求数列通项公式.
〖变式5-5〗 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2);a1=,求通项an.
〖变式5-6〗 在数列｛an｝中，Sn是其前n项和，且Sn≠0，a1=1，an=(n≥2)，求Sn与an。
五、形如型数列
这种类型我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次等式两边取对数后转化为，再利用构造新数列（待定系数法）求解。
〖例5-5〗若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁
〖练习〗：已知数列｛｝中，，求数列。
六、形如（其中p，q均为常数）型数列。
〖例5-6〗: 数列满足，,
（1）求证：数列为等比数列
（2）求
〖练〗数列满足，，求证数列等比数列
七、证明类型题
〖例5-7〗7、已知数列满足，，．
求证：数列是等差数列；
〖练〗已知数列中，，().
证明：数列是等比数列，并求前项的和；
八 周期数列
1．已知数列中，，()，则等于______
2．已知数列满足，且，则 ______
3．设数列满足:,,则______.
4．数列中，，，（），则______.
九、型数列
1．（2021·江苏·海门中学高三期中）已知数列满足，则_________．
2．（2013·江苏启东·高三期中）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，则{an}的前60项和为_______．
数列第二问
①裂项相消法
考点1、普通裂项
已知公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列
（1）求的通项公式
（2）令，求数列的前项和
考点2、整体裂项
1、已知各项均为正数的数列 满足，且．
(1) 证明：数列是等差数列；
(2) 设 ， 的前 项和为 ，求证：．
2、已知数列 的通项 ，求它的前项和．
②错位相减法
1、已知等差数列的首项，公差，前项和为 ，若成等比数列，求数列的前项和
2.已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且
（1）求数列与的通项公式
（2）记，求证：
③带有绝对值的数列求和
已知数列{}的前n项和Sn=2n+1-2.
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设bn=|-100|，求数列{bn}的前n项和Tn
④奇偶项讨论
考点一　an＝类型
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝记bn＝a2n，
求证：数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
考点二　an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)类型
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n．
(1)求数列{an}的前100项和S100；
(2)求数列{an}的通项公式．
(3)求Sn．
考点三　含有(－1)n的类型
(1)数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)
A．200　　　　　　　　B．－200　　　　　　　　C．400　　　　　　　　D．－400
(2)若数列{an}的通项公式an＝(－1)n，则它的前n项和Sn＝________．
1、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.
3、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
4、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
5、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
6、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））数列中，，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
8、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
9、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
10、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
11、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．
12、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
13(2021全国新高考1卷）. 已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
14．(2022全国新高考1卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
15、[2022·全国甲卷(理)，17]记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．

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