2023届高考复习专题——数列与数学文化讲义(含答案)

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2023届高考复习专题——数列与数学文化讲义(含答案)

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2023届高考复习专题——数列与数学文化
(解析版)
新课程标准(2017版)进一步明确了数学文化在教学中的地位,数学文化作为素养考查的四大内涵之一,以数学文化为背景的试题将是新高考的考察内容,数列与数学文化有着紧密的联系,本文总结了近年来数学文化在数列中出现的真题和模拟题。
一、中华传统文化中的数列问题
1、(2022·鹤壁市高三模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数,如1,3,6,10,15,….我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”,其中的“落—形”堆垛就是每层为“三角形数”的堆垛(如图所示,顶上一层1个球,下一层3个球,再下一层6个球,…).若一“落—形”三角堆垛有10层,则该堆垛总共球的个数为(  )
A.55 B.220
C.285 D.385
【解析】 “三角形数”的通项公式an=,
前n项和公式为Sn=1+3+6+…+=+=+,
当n=10时,S10=+=220.故选B.
2、(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(  )
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
[解析]由题意知,由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列,记为{an},易知其首项a1=9,公差d=9,所以an=a1+(n-1)d=9n.设数列{an}的前n项和为Sn,由等差数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等差数列,所以2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n,所以(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=S2n-2Sn=-2×=9n2=729,得n=9,所以三层共有扇面形石板的块数为S3n===3 402,故选C.
二、源于世界数学名题的高考试题
(湖北高考)已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=若a6=1,则m所有可能的取值为________.
[解析] 因为a1为正整数,由数列{an}的递推公式可得数列{an}各项均为正整数.所以a6=1 a5=2 a4=4 a3=8或a3=1,当a3=8时,可知a2=16 a1=32或a1=5.当a3=1时,可知a2=2 a1=4,因此a1即m所有可能的取值为4,5,32.
跟踪练习
1、我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”上述问题中,两鼠在第几天相逢?(  )
A.2 B.3
C.4 D.6
解:(2)不妨设大老鼠和小老鼠每天穿墙的厚度为数列{an}和{bn},
则由题意可知,数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
数列{bn}是首项为1,公比为的等比数列,
设前n天两鼠总共穿墙的厚度之和为Sn,
则Sn=+=2n-+1,
当n=3时,S3=<10,
当n=4时,S4=>10,
故两个老鼠在第4天相逢.
2、(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(  )
A.1盏       B.3盏
C.5盏 D.9盏
解:每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列,记为{an},则前7项的和S7=381,公比q=2,依题意,得S7==381,解得a1=3.
3、(多选)(2022·福州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图,有一列曲线P0,P1,P2,…,Pn,….已知P0是边长为1的等边三角形,Pk+1是对Pk进行如下操作而得到的:将Pk的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,…).记Pn的周长为Ln,面积为Sn.对于n∈N,下列结论不正确的是(  )
A.为等差数列 B.为等比数列
C. M>0,使Ln0,使Sn解析:ABC 易知封闭曲线的周长数列{Ln}的首项L0=3,公比为,故Ln=3×n.易知Pk的边数为3×4k,边长为,故Pk+1的面积比Pk的面积增加了3×4k××2=×k,所以Sk+1=Sk+×k(k=0,1,2,…),所以Sn=-×n.所以=,所以不为等差数列也不为等比数列,所以A、B均错误;当n→+∞时,Ln=3×n→+∞,所以C错误;而Sn<,所以D正确.故选A、B、C.
4、五位同学围成一圈依次循环报数,规定:
①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;
②若报出的数为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次.
已知甲同学第一个报数,当五位同学依次循环报到第100个数时,甲同学拍手的总次数为________.
解析:先列出前若干个数:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,可以发现第4个、第8个、第12个数能被3整除.由此猜想第4k(k∈N*,k≤25)个数能被3整除.因为依次循环报数中,甲同学为第一个报数,故甲同学所报的数为第1个,第6个,…,第(5t-4)(t∈N*,t≤20)个,…,第96个数,令4k=5t-4,得4(k+1)=5t,故t只能取4,8,12,16,20,即甲同学拍手的总次数为5.
5、Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b1,b11,b101;
(2)求数列{bn}的前1 000项和.
解:(1)设数列{an}的公差为d,由已知得7+21d=28,解得d=1.
所以数列{an}的通项公式为an=n.
b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.
(2)因为bn=
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.
6、设x∈R,记不超过x的最大整数为[x],{x}=x-[x],则,,(  )
A.是等差数列但不是等比数列
B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
解析:因为=,=1,于是根据等比中项有2=·.
7、满足a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3)的数列{an}称为斐波那契数列,又称黄金分割数列.依次以斐波那契数列{an}各项为边长作正方形,在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧,依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线(也称“黄金螺旋线”).如图,圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段,则阴影部分面积与扇形OAB面积的比值为(  )
A.   B.   C.   D.
解析:由题意得,a1=a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,则阴影部分面积为(a+a+a+a+a)=×(12+12+22+32+52)=10π,扇形OAB的面积为=16π,所以所求比值为=.
8、(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了球体堆垒的形状,后人称为“三角垛”(其平面图形如图所示),其中最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,….设从上到下各层球数构成数列{an},则下列说法正确的是(  )
A.a4=12 B.an+1=an+n+1
C.a100=5 050 D.2an+1=an·an+2
解析:由题意归纳可知,an=.则a4==10,故A错误.an+1=an+n+1,故B正确.a100==5 050,故C正确.2an+1=(n+1)·(n+2),an·an+2=,显然2an+1=an·an+2不恒成立,故D错误.
9、一百零八塔,位于宁夏吴忠青铜峡市,是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群.该塔群随山势凿石分阶而建,依山势自上而下,第一阶1座,第二阶3座,第三阶3座,第四阶5座,第五阶5座,从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列,总计108座,故名一百零八塔.则该塔的阶数是(  )
A.10 B.11
C.12 D.13
解析:由第一阶1座,第二阶3座,第三阶3座,第四阶5座,则前四阶共12座.则从第五阶后共有108-12=96座.设第五阶塔的数目为a1,则a1=5,设从第五阶开始自上而下,每一层的塔的数目为an,由从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列.所以an=a1+(n-1)d=5+2(n-1)=2n+3,所以Sn= =n2+4n,所以由Sn=n2+4n=96,解得n=8或n=-12 (舍去).所以该塔的阶数是4+8=12.
10、我国古代名著《九章算术》中有这样一段话:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.”意思是:现有一根金箠,长5尺,头部1尺,重4斤,尾部1尺,重2斤.若该金箠从头到尾,每一尺的质量构成等差数列,则该金箠共重为(  )
A.6斤 B.7斤
C.9斤 D.15斤
解析:设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{an},
则有a1=4,a5=2,
所以a1+a5=6,
数列{an}的前5项和为S5=5×=5×3=15,即该金箠共重15斤.
11、(2022·安徽淮北模拟)定义:若数列{an}对任意的正整数n,都有|an+1|+|an|=d(d为常数),则称{an}为“绝对和数列”,d叫作“绝对公和”.已知“绝对和数列”{an}中,a1=2,绝对公和为3,则其前2 023项的和S2 023的最小值为(  )
A.-2 023 B.-3 010
C.-3 031 D.-3 027
解析:选C.依题意,要使S2 023的值最小,只需每一项的值都取最小值即可.因为a1=2,绝对公和d=3,所以a2=-1或a2=1(舍去),所以a3=-2或a3=2(舍去),所以a4=-1或a4=1(舍去),…,所以满足条件的数列{an}的通项公式an=所以S2 023=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 022+a2 023)=2+(-1-2)×=-3 031.2023届高考复习专题——数列与数学文化
新课程标准(2017版)进一步明确了数学文化在教学中的地位,数学文化作为素养考查的四大内涵之一,以数学文化为背景的试题将是新高考的考察内容,数列与数学文化有着紧密的联系,本文总结了近年来数学文化在数列中出现的真题和模拟题。
一、中华传统文化中的数列问题
1、(2022·鹤壁市高三模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数,如1,3,6,10,15,….我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”,其中的“落—形”堆垛就是每层为“三角形数”的堆垛(如图所示,顶上一层1个球,下一层3个球,再下一层6个球,…).若一“落—形”三角堆垛有10层,则该堆垛总共球的个数为(  )
A.55 B.220
C.285 D.385
2、(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(  )
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
二、源于世界数学名题的高考试题
1、(湖北高考)已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=若a6=1,则m所有可能的取值为________.
跟踪练习
1、我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”上述问题中,两鼠在第几天相逢?(  )
A.2 B.3
C.4 D.6
2、(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(  )
A.1盏       B.3盏
C.5盏 D.9盏
3、(多选)(2022·福州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图,有一列曲线P0,P1,P2,…,Pn,….已知P0是边长为1的等边三角形,Pk+1是对Pk进行如下操作而得到的:将Pk的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,…).记Pn的周长为Ln,面积为Sn.对于n∈N,下列结论不正确的是(  )
A.为等差数列 B.为等比数列
C. M>0,使Ln0,使Sn4、五位同学围成一圈依次循环报数,规定:
①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;
②若报出的数为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次.
已知甲同学第一个报数,当五位同学依次循环报到第100个数时,甲同学拍手的总次数为________.
5、Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b1,b11,b101;
(2)求数列{bn}的前1 000项和.
6、设x∈R,记不超过x的最大整数为[x],{x}=x-[x],则,,(  )
A.是等差数列但不是等比数列
B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
7、满足a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3)的数列{an}称为斐波那契数列,又称黄金分割数列.依次以斐波那契数列{an}各项为边长作正方形,在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧,依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线(也称“黄金螺旋线”).如图,圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段,则阴影部分面积与扇形OAB面积的比值为(  )
A.   B.   C.   D.
8、(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了球体堆垒的形状,后人称为“三角垛”(其平面图形如图所示),其中最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,….设从上到下各层球数构成数列{an},则下列说法正确的是(  )
A.a4=12 B.an+1=an+n+1
C.a100=5 050 D.2an+1=an·an+2
9、一百零八塔,位于宁夏吴忠青铜峡市,是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群.该塔群随山势凿石分阶而建,依山势自上而下,第一阶1座,第二阶3座,第三阶3座,第四阶5座,第五阶5座,从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列,总计108座,故名一百零八塔.则该塔的阶数是(  )
A.10 B.11
C.12 D.13
10、我国古代名著《九章算术》中有这样一段话:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.”意思是:现有一根金箠,长5尺,头部1尺,重4斤,尾部1尺,重2斤.若该金箠从头到尾,每一尺的质量构成等差数列,则该金箠共重为(  )
A.6斤 B.7斤
C.9斤 D.15斤
11、(2022·安徽淮北模拟)定义:若数列{an}对任意的正整数n,都有|an+1|+|an|=d(d为常数),则称{an}为“绝对和数列”,d叫作“绝对公和”.已知“绝对和数列”{an}中,a1=2,绝对公和为3,则其前2 023项的和S2 023的最小值为(  )
A.-2 023 B.-3 010
C.-3 031 D.-3 027

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