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2021-2022学年高三数学上学期期中山东各地真题汇编
专题8导数（解答）
一、解答题
1．（2021·山东济宁·高三期中）已知函数．
(1)若函数在点处的切线斜率为，求的值．
(2)若函数存在减区间，求的取值范围．
(3)求证：若，，都有．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导得到导函数，计算，解得答案.
（2）题目转化为有解，即，利用均值不等式计算最值得到答案.
（3）题目转化为，设，，求导得到函数单调递增，计算最值得到证明.
(1)
，，，.
(2)
有解，即，设，，
，当，即是等号成立.
故.
(3)
，即，即，
设，，，，
故函数在上单调递增，故，
故在恒成立.
2．（2021·山东济宁·高三期中）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点.
（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据函数解析式先求得导函数，由极值点存在条件可知，可得；再求得导函数的极值点，即可由导函数的极值点是的零点代入求得等量关系，结合不等式求得定义域.
（2）利用分析法分析可知，若证明，只需证明，利用换元法转化并求得导函数，结合导函数的单调性和最值证明不等式成立即可.
【详解】（1）函数,
则，
因为有极值点，所以，
化简可得，
导函数的极值点是的零点.
而导函数的极值点为二次函数顶点的横坐标，所以是的零点.
即，
代入可得，化简可知，
又，即，解得，
，
（2）证明:要证，，
只要证，
只要证，
只要证，
设，，则，
所以，，
，
，
原式得证.
3．（2021·山东枣庄·高三期中）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，求证：对，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导分，，讨论求解；
（2）由小，结合，得到在上单调递减，进而得到，再用导数法证明.
(1)
解:
当时，，
所以的单调增区间是；
当 时，由，得或，
所以的增区间是，减区间是；
当 时，由，得或，
所以的增区间是，减区间是；
(2)
当时，，
则在上单调递减，
，
，
当 时， ，当 时， ，
所以在上递减，在上递增，
所以
所以当时，对，.
4．（2021·山东枣庄·高三期中）已知函数.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若时，，求实数的取值范围.
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）由，求导， 由，，得到函数的单调性求解；
（2）将，，转化为(*)，令，用导数法证明即可.
(1)
解：当时，函数的解析式为，
则，
由，得，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
函数的最小值为．
(2)
若时，，
即(*)，
令，
则
令，则
，
∴函数在区间上单调递增，

①若，由于，
∴函数在区间上单调递增，
∴，∴（*）式成立；
②若，由于，
，
故，使得，
则当时，，即，
∴函数在区间上单调递减，
∴，即（*）式不恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是
5．（2021·山东·新泰市第一中学高三期中）若．
(1)当，时，讨论函数的单调性；
(2)若，且有两个极值点，，证明．
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对分类讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）首先求出函数的导函数，依题意方程有两个正根，利用韦达定理得到不等式组，即可求出参数的取值范围，从而得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可得证；
(1)
解：因为
当时，所以，
令，解得或2，
当时，则当或时，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，，故函数在上单调递增；
当时，当或时，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增；
(2)
证明：当时，．
函数有两个极值点方程有两个正根，
且，解得，
由题意得
，
令．
则在上单调递椷，
，
．
6．（2021·山东威海·高三期中）已知函数在处的切线与直线平行．
(1)求的值，并求此切线方程；
(2)证明：．
【答案】(1)；；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据导数几何意义可知，解方程求得，进而得到切线方程；
（2）当时，由，知不等式成立；当时，令，利用导数可求得在上单调递增，从而得到，由此可得结论.
(1)
，，
在处的切线与直线平行，即切线斜率为，
，解得：，，，
所求切线方程为：，即；
(2)
要证，即证；
①当时，，，，即，
；
②当时，令，
，，
当时，，，，，即，
在上单调递增，，
在上单调递增，，
即在上恒成立；
综上所述：.
7．（2021·山东威海·高三期中）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)设，若对都有成立，求a的最大值．
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)1
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导函数的符号求出函数的单调区间，从而可得出答案；
（2）由题意知，，即对恒成立，令，求出函数的最小值，即可得出答案.
(1)
解：函数的定义域为，
因为，令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值；
(2)
解：由题意知，，
即对恒成立，
令，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
又因为，
所以在内必存在，使得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以，
因为，即，
所以，
因为在上单调递增，所以，
又因为，所以，所以，
所以a的最大值为1．
8．（2021·山东省青岛第五十八中学高三期中）已知函数.
(1)若，求函数的极值点；
(2)若函数存在两个不同的零点，，证明：.
【答案】(1)极大值点，没有极小值点
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得到，设，求导得到函数单调递减，根据得到当时，单调递增，当时，单调递减.，得到极值点.
（2）根据得到，故题目转化为求，设，，求导得到函数单调递增，计算最值得到答案.
(1)
（1）由题易知，函数的定义域为，
当时，，
令函数，则.
因为，所以，故函数在上单调递减，
又，
所以当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减.
所以函数只有一个极大值点，没有极小值点.
(2)
（2）由函数的两个零点分别为，，不妨令.
所以，即，即，
所以，.
要证明，即证，即证.
因为，所以即证，
即证，也就是证.
令，则，即证.
令，
则，
故函数在上单调递增，
所以，即，
所以.
9．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三期中）已知函数.
（1）证明：当时，在上单调递增；
（2）当时，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）先求导函数，，再判断当时，恒成立，最后证明结论成立.
（2）先参变分离得到，再构建新函数并求导判断，接着得到，最后得到即可解题.
【详解】（1）证明：因为，所以，，
当时，恒成立，在上单调递增.
（2）.
设，则，
∴在区间上递增，即，
∴.
而，
∴实数的取值范围是.
10．（2021·山东菏泽·高三期中）已知函数（是自然对数的底数，且）.
(1)若是在上唯一的极值点，求实数的取值范围；
(2)当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）对进行求导得，令，结合是在上唯一的极值点，可知在内无变号零点，对进行求导，分类讨论当且和当时，利用导数研究的单调性，从而求得实数的取值范围；
（2）由题意得当时，，令，利用导数研究函数的单调性，进而得出的单调性和最值，再由函数有两个不同的零点，从而得出实数的取值范围.
(1)
解：，，
令，
是函数在上唯一的极值点，
在内无变号零点，
由，，
当且时，，在上单调递增，
，符合条件；
当时，令，解得：，
当，，递减，
当，，递增，
又，，即；
综上所述，的取值范围是.
(2)
解：由题意得当时，，
令，则，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，，则，
，
在上单调递增，
当时，，则，
，
，，，
在上单调递减，，
函数有两个不同的零点，，即，
而当时，当时，，
，故在内有个零点，
当时，，
，故在内有个零点，
当时，有两个不同的零点，故的取值范围是.
11．（2021·山东青岛·高三期中）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，进而得到，，写出切线方程；（2）将不等式在恒成立，转化为恒成立，令，，求得其最小值即可.
(1)
解:，
，
，
，
切线方程为.
(2)
不等式在恒成立，
即恒成立，
令，，
，
令，
在区间为增函数，且，
，满足，
则为减函数，
为增函数，
所以，，
又因为，
，·
又因为在为增函数
所以，，，
，
12．（2021·山东聊城一中高三期中）已知函数（其中为自然对数的底数）
(1)若，求函数在区间上的最大值；
(2)若对任意的，不等式均成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）、将代入解析式中并求出，然后求出函数的单调区间，结合从而求出函数最大值即可；
（2）、先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，然后根据不等式构造两个函数，转化为函数的单调性问题，利用分离常数法求出的取值范围.
(1)
，时，，
，，，，
令，则，或，在上单调递增；
令，则，，在上单调递减；
，函数在单调递减，在单调递增.
时，时，.
又，函数在区间上的最大值.
故函数在上的最大值是1；
(2)
设，因为在单调递增，,
,,
，且时，恒成立，
，，在，且时恒成立，
和均在单调递增，
设，，，
在上恒成立，在上恒成立，
在单调递减，的最大值为，；
设，,,
在上恒成立，在上恒成立，
设，，.
令，,在单调递增;
令，,在单调递减;
时，取，
综上：.
13．（2021·山东聊城一中高三期中）已知函数，
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求证函数的最小值不大于.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导函数，再对进行分类讨论即可.
(2)先求，再令，并求，再令
，再求，得在上单调递增，逐步分析得，，由即,带入得，即证.
(1)
由已知，由于，
当时，恒有成立，的增区间为；
当时，由得，解得，即的增区间为；综上，当时的增区间为；
当时的增区间为；
(2)
易知，
令，注意此时把加上，便于后面分析说明；
则；再令，则
所以在上单调递增，又，
故使，
由得，由得由得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
又因为，
故使，
由得，由得，又
即且在上单调递减，在上单调递增；
所以
又由即得
代入得
令，则，又，
所以，在上单调递增.
所以.即证函数的最小值不大于.
注意：方法不唯一，可以对进行变形得
，再分析这是分参意识!
14．（2021·山东临沂·高三期中）已知函数在处的切线与直线平行.
(1)求a；
(2)设，若函数存在单调递减区间，求b的取值范围.
【答案】(1)3
(2)
【分析】(1)结合已知条件，求出直线的斜率，然后利用导数的几何意义和两直线平行时斜率相等即可求解；(2)结合(1)中结论求出解析式，由已知条件可知在上有解，然后结合均值不等式即可求解.
(1)
由题意，，直线的斜率为，
因为函数在处的切线与直线平行，
所以，解得.
(2)
由(1)中结论可知，，从而，
故，
因为函数存在单调递减区间，
所以在上有解，即在上有解，
当时，由均值不等式可知，，
当且仅当时，即时，取得最小值，
从而，即，
故b的取值范围为.
15．（2021·山东临沂·高三期中）已知函数，.
(1)当时，求的值域；
(2)讨论极值点的个数.
【答案】(1)
(2)当或时，无极值点，当 时，有1个极大值点，无极小值点.
【分析】（1）通过求导判断出的单调性，即可求出的值域；
（2）对参数进行讨论，通过讨论每种情况下的单调性，进而判断出极值的情况.
(1)
因为，所以，
设，，
因为，所以，单调递减，
则，即，
所以在上单调递减，
，
所以的值域为：
(2)
因为，所以，
设，，
因为，则，
（1）当，即时，，单调递减，，
即，单调递减，无极值，
（2）当，即时，，单调递增，，
即，单调递增，无极值，
（3）当 即时，在上单调递减，
则存在，使得，即，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，所以，，
①当，即时，，即恒成立，
即，单调递增，无极值，
②当，即时，，
则存在，使得，
时，，，单调递增，
时，，，单调递减，
是的极大值点，
综上所述，当或时，无极值点，
当 时，有1个极大值点，无极小值点.
16．（2021·山东聊城·高三期中）已知函数．
(1)论函数的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求得导函数，由导函数的正负即可判断原函数的增减；
（2）由，得，令，，则，是的两根，其中不妨令，，要证，即证，即，构造函数通过导数证明在上单调递减，且，即证得结果．
(1)
，，
所以，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减．
(2)
（2）由，得，
令，，
则，是的两根，其中
不妨令，，则，，
要证，即证，即，
令
则，
，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以
17．（2021·山东省实验中学高三期中）已知函数
（1）若，证明：；
（2）若在上有两个极值点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】(1) 令,利用导数求出的最小值为1,而的最大值为1,所以;
(2)将问题转化为在上有两个不同的实数根,然后构造函,数利用导数研究函数的单调性,根据单调性求得函数的最小值,根据最小值和端点值可以得到答案.
【详解】(1)证明:时,,令,则,
当时,,在上为递减函数,
当时,,在上为增函数,
所以,而,且,
所以,即.
(2)在上有两个极值点等价于在上有两个不同的实数根,
等价于,设,
,令,得,
当时,,在上为减函数,
当时,,在上为增函数,
又,,
所以当时,方程在上有两个不同的实数根,
所以的取值范围是.
18．（2021·山东省实验中学高三期中）已知函数.
(1)函数在定义域内恒成立，求实数的取值范围：
(2)求证：当时，；
(3)若有两个不同的零点，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）在定义域内恒成立只需要在定义域内满足，对进行分类讨论；（2）取时，，然后将待证不等式的左边取对数，让左边的式子结构能和产生联系；（3）由题知 ，联立该两个方程，由于待求证表达式不含有，故想办法消去参数，只保留的关系，然后构造函数进行解决.
（1）
函数定义域为，，当时，，不满足题设；当时，，，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以，解得.综上：的取值范围是.
（2）
证明：由（1）得，当时，当且仅当时等号成立，所以，结合对数的运算法则可得
，
所以.所以.
（3）
由题意，，两式相减得，即，故要证明，即证明，
即证明，不妨设，令，，
令，，
所以在上单调递减，，所以在上单调递减，
，在上成立，
令，得，所以.
19．（2021·山东·枣庄市第三中学高三期中）设函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求在上的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）对函数求导，然后求出，，运用点斜式即可求出切线方程；
（2）利用导数研究出函数在区间的单调性，即可求出函数在区间上的最大值与最小值．
(1)
，，，
所以在点处的切线方程为，
即.
(2)
，
因为，所以与同号，
令则，
由，得，此时为减函数，
由，得，此时为增函数，
则，
故，在单调递增，
所以，．
20．（2021·山东·枣庄市第三中学高三期中）已知函数．
(1)证明：当时，；
(2)设，若对任意实数x，都有，求a的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先求出，，利用导数与函数单调性之间的关系证明函数为单调递增，从而证出即可.
（2）构造，求出导函数，，分情况讨论、、、，进而讨论或时，利用导数求出符号，进而证明，即可求出.
(1)
证明：，．
因为，∴，，从而在区间上单调递增，
又因为，∴在区间上恒成立，
在区间上单调递增，因为，
∴成立．
(2)
（2），
，，
，．
（ⅰ）当时，．
当时，在区间上单调递增，
又因为，∴，从而在区间上单调递增，
因为，∴，
∴在区间上单调递增，因为，∴恒成立，符合题意．
当时，，∴在区间上单调递减，
因为，∴，从而在区间上单调递增，
因为，∴恒成立，符合题意．
（ⅱ）当时，若，则，．
∴在区间上单调递增，
因为，，
∴，使．
当时，，
当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
又因为，∴．
当时，在上单调递减，
因为，∴当时，这与矛盾．
（ⅲ）当时，，
令得：，
∴当时，，
∴在上单调递减，因为，
∴在上恒成立，
∴在上单调递减，因为，
∴，这与矛盾．
（ⅳ）当时，若，则，，
∴在上单调递增，因为，，
∴，使．当时，，
当时，，∴在上单调递减，因为，
∴，在上单调递减，因为，
∴，这与矛盾．
综上，.
21．（2021·山东潍坊·高三期中）已知，函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数；
(3)若函数的图象与轴交于两点，，且．设，其中常数、满足条件，，试判断函数在点处的切线斜率的正负，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3)函数在点处的切线斜率为正．理由见解析．
【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，得单调区间；
（2）由导数求得的斜率，从而得的斜率为，设的切点坐标为，利用导数几何意义得得出关于的方程，再引入新函数，利用导数证明此方程有正数解；
（3）求出，，由得出用表示的式子，中就消去了，通过设，得到关于的函数，而且，利用不等式的性质和导数的知识确定其正负即可．
(1)
的定义域是，，
时，恒成立，在递增，
时，时，，时，，
的增区间是，减区间是．
(2)
，，
设的切线方程是，则，显然，，切点为，
于是，解得，
所以的斜率为，于是的斜率为
设的切点坐标为，
由，，
又，所以，整理得，
设，，
当时，，递增，而，所以 ，
时，，递减，又，
所以存在，使得，
因此关于的方程有正数解．
所以存在，使得切线和的斜率互为倒数；
(3)
，，
因为函数的图象与轴交于两2点，，且．
所以，两式相减得：，
，
因为，，所以，又，，
所以，
下面考虑即的符号，
令，，
设，，
，
因为，所以，，
所以在上恒成立，
所以在上是增函数，所以，即，
又，所以，
所以，即，
所以函数在点处的切线斜率为正．
22．（2021·山东师范大学附中高三期中）已知函数，，.
(1)求函数的极值；
(2)当时，证明：在上恒成立.
【答案】(1)极小值为，无极大值；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据导函数的正负可确定的单调性，由极值点的定义可求得结果；
（2）由可将问题转化为证明，利用导数可求得单调性，进而确定，由此可得结论.
(1)
，
令，即，又，，
则，，变化情况如下表，
极小值
极小值为，无极大值.
(2)
证明：，，，
令，
则，
令，，
在上单调递增，，即，
，则在单调递增，，
，即在上恒成立.
23．（2021·山东师范大学附中高三期中）已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，判断函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)两个
【分析】（1）由题设可得，根据导数的几何意义求处切线的斜率，即可写出切线方程.
（2）求的导函数，讨论、、、判断的符号，进而确定单调性.
（3）由题设得，法一：构造，利用导数研究的单调性，并确定最值的符号，结合零点存在性定理判断的零点个数；法二：将问题转化为与的交点个数，利用导数研究的性质，应用数形结合法判断交点个数即可.
(1)
当时，，则，又，则，
∴切线方程为.
(2)
定义域为，，
当时，，
∴时，单调递增；时，单调递减；
当时恒成立，即单调递减；
当时，，单调性如下表：
1
－ ＋ －
减 增 减
∴在和单调递减；在上单调递增；
当时，，单调性如下表：
1
－ ＋ －
减 增 减
∴在和单调递减，在单调递增；
综上：时，在单调递增，在单调递减；
时，在单调递减；
时，在和单调递减，在单调递增；
时，在和单调递减，在单调递增；
(3)
当时，，
法一：若，则，
∴在单调递增，且，，
∴使，即（※），
当时，即，则单调递减；
当时，即，则单调递增；
∴，
由（※）式得：，则，
令，，
由，则，故在上单调递减，又，
∴在成立，
易证在单调递减，在单调递增，则，
取，设，则，
∴存在使得，故在内有一零点，
取，设，
∴存在，使得，故在内有一零点，
综上，在定义域内有两个零点.
法二：（※），
令，则（※）式化为，
设，直线：，问题转化为讨论与直线的交点个数，
，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
，
当时，；
当时，；
由，，则图像大致如下：
由图知：直线与交点有两个，
∴在定义域内有两个零点.
24．（2021·山东·胶州市教育体育局教学研究室高三期中）已知函数，.
(1)若，求的最大值；
(2)若，求证：有且只有一个零点；
(3)设且，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由，得到，求导，然后得到函数的单调性求解；
（2）求导，结合（1）的结论，根据，分，，利用零点存在定理证明；
（3）根据等价于，由（1）知的单调性，得到，令，，用导数法得到在上单调递增，则，，再结合且，利用在上单调递减求解.
(1)
解：由题知：若，，其定义域为，
所以，
由，得，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以；
(2)
由题知：，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
因为，
当时，，
则在无零点，
当时，，
又因为且，
所以在上有且只有一个零点，
所以，有且只有一个零点.
(3)
因为等价于，
由（1）知：若，，且在上单调递增，在上单调递减，
且，所以，，即，
令，，
所以 ，
，
，
所以在上单调递增，，
所以，，
又因为且，
所以，
又因为，，且在上单调递减，
所以，即.
25．（2021·山东泰安·高三期中）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)证明：；
(3)若函数有两个零点，，证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程即可得，的值；
（2）令，分别讨论、时和的符号即可求证；
（3）令，利用导数判断单调性可得，恒成立，不妨令，则，由可得，再将代入即可求证.
(1)
由可得，
则，所以曲线在点处的切线斜率为，
所以切线方程为：，
因为曲线在点处的切线方程为，所以.
(2)
由（1）知：，，
令
，
当时，，，故，
当时，，，故，
综上所述：对任意的，都有，即，
(3)
不妨设，，
则，，
因为和在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以时，；时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以恒成立，
不妨令，则，
由（2）知：，
所以，
将代入可得，即，
即.
26．（2021·山东烟台·高三期中）已知函数，其中为正实数.
(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)当时，，求的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义求出切线方程即可求解；
（2）当时，成立，所以；当时，，令，，利用导数研究函数的单调性，可得在上单调递减，然后利用求出即可得答案.
(1)
解：当时，，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
设切线与两坐标轴交点为，
所以；
(2)
解：由题意，当时，即恒成立，
当时，成立，所以；
当时，因为，所以恒成立，即，
令，，则，
令，，则，
，
令，，
由二次函数的知识有在上单调递减，
因为，，所以存在使得，
所以时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
所以存在，使得，
所以当时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，又，
所以，即，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
综上，的取值范围为.
27．（2021·山东烟台·高三期中）已知函数.
(1)当，证明：；
(2)设，若，且（），求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）作差法，构造函数，研究其单调性和极值，得到，从而得到结论；（2）先对函数两边变形为指数形式，然后构造新函数，解决极值点偏移问题
(1)
当时，，
令，定义域为
则，令
则在上恒成立
所以在单调递减
因为，
所以存在唯一的，使得，即
且当时，即；当时，即
故在单调递增，在单调递减，，
因为，由对勾函数性质可知：在单调递增
所以
故恒成立，所以，即
(2)
，不妨设
由题意得：，即
令，则与的图象的两交点的横坐标为，
，令得：
其中
因为时，，所以，即
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
于是可知
要证，只需证
即证：
又因为在区间上单调递增，只需证
因为，只需证
令， ，则
所以单调递增，且
由于，故
即成立，即成立
28．（2021·山东济宁·高三期中）已知函数，，其中.
(1)若，在平面直角坐标系中，过坐标原点分别作函数与函数图象的切线和，求，的斜率之积；
(2)若对上，总有成立，试求实数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的运算法则和公式求得，.得到切线，的斜率，，根据两切线都经过原点，求得切点横坐标，进而求得两直线的斜率之积;
（2）设函数，通过研究函数的单调性，得出的最小值，根据的最小值大于等于零，构造出关于参数的不等式，从而得出答案.
(1)
依题意知，，，所以，.
设切线，的斜率分别为，，其切点分别为，，
则有解得；同理，有解得.
所以，即所求切线，的斜率之积为.
(2)
由于对上，总有成立，即对，有恒成立.
令（），则.
令（），则有（），
所以函数在区间上为单调递增函数.
因为，所以，，
所以，所以在区间上，存在唯一的实数，使得，
即. ①
所以当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增，
所以函数在处取得极小值，即最小值，
即.②
又由①得，，所以，所以.则由②得，.
令，所以（），
所以函数在区间上为单调递减函数.
又，因此.所以.
由于，所以，即所求实数的最小值为.
29．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数，，．
(1)求的最大值；
(2)若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
(3)证明不等式（其中是自然对数的底数）．
【答案】(1)0
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导得到单调区间，计算最值得到答案.
（2）题目转化为存在，使得，考虑，，，分别考虑函数的单调性计算最值得到答案.
（3）根据前面结论得到，，代入式子结合等比数列求和公式化简得到证明.
（1），，，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值，即．
（2）对，总存在使得成立，等价于存在使得成立，由（1）可知，问题转化为存在，使得，，，当时，①当时，若，，函数单调递减，，不符合题意；②当时，，使得，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，即，则，使得，符合题意；③当时，若，，函数单调递增，，则，使得，符合题意；综上可知，所求实数的取值范围是
（3）由（2）可得当时，若，，令，，有；再由（1）可得：，则，即，也即，∴，．则所以．
30．（2021·山东德州·高三期中）已知函数(其中常数是自然对数的底数).
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)证明：对任意，当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，令，解得，，讨论的取值，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.
（2）将不等式转化为，令，求出，再令，利用导数求出的单调区间，从而得出，即证.
(1)
由，
令，解得，，
①当，
由，解得或，
由，解得，
故在，上单调递增；
在上单调递减，
②当，，在上单调递增;
③当，由，解得或，
由，解得
故在，上单调递增；
在上单调递减，
综上所述，当时，
在，上单调递增；在上单调递减，
当，在上单调递增;
当，在，上单调递增；
在上单调递减.
(2)
证明：对任意，当时，要证，
需证，，
令，
则，
令，
则，因为，，所以，
所以，
所以时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，原不等式成立.
31．（2021·山东省青岛第十七中学高三期中）如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，.
（1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由；
（2）求证：当时，.
【答案】（1）在上是“链式函数”， 在上是“链式函数”，理由见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）分别对函数、用“链式函数”定义验证即可；
（2）由（1）得，当时，和，两式相加得，所以只需证明，构造函数，用导数结合单调性可得证.
【详解】（1），令则，
在上单调递增，
又当时，，在上单调递增，
又当时，，
∴当时，，与在上均单调递增，
∴在上是“链式函数”.
，令，则，
∴在上单调递减，又当时，，
∴在上单调递减，又当时，，
∴当时，，与在上均单调递减，
∴在上是“链式函数”.
（2）当时，由（1）知，所以，
又由（1）知，所以，
两式相加得，即，
令，
则，
所以在上单调递增，
则当时，，即，∴当时，，
故当时，.2021-2022学年高三数学上学期期中山东各地真题汇编
专题8导数（解答）
一、解答题
1．（2021·山东济宁·高三期中）已知函数．
(1)若函数在点处的切线斜率为，求的值．
(2)若函数存在减区间，求的取值范围．
(3)求证：若，，都有．
2．（2021·山东济宁·高三期中）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点.
（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：.
3．（2021·山东枣庄·高三期中）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，求证：对，.
4．（2021·山东枣庄·高三期中）已知函数.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若时，，求实数的取值范围.
5．（2021·山东·新泰市第一中学高三期中）若．
(1)当，时，讨论函数的单调性；
(2)若，且有两个极值点，，证明．
6．（2021·山东威海·高三期中）已知函数在处的切线与直线平行．
(1)求的值，并求此切线方程；
(2)证明：．
7．（2021·山东威海·高三期中）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)设，若对都有成立，求a的最大值．
8．（2021·山东省青岛第五十八中学高三期中）已知函数.
(1)若，求函数的极值点；
(2)若函数存在两个不同的零点，，证明：.
9．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三期中）已知函数.
（1）证明：当时，在上单调递增；
（2）当时，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
10．（2021·山东菏泽·高三期中）已知函数（是自然对数的底数，且）.
(1)若是在上唯一的极值点，求实数的取值范围；
(2)当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.
11．（2021·山东青岛·高三期中）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求的范围.
12．（2021·山东聊城一中高三期中）已知函数（其中为自然对数的底数）
(1)若，求函数在区间上的最大值；
(2)若对任意的，不等式均成立，求实数的取值范围.
13．（2021·山东聊城一中高三期中）已知函数，
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求证函数的最小值不大于.
14．（2021·山东临沂·高三期中）已知函数在处的切线与直线平行.
(1)求a；
(2)设，若函数存在单调递减区间，求b的取值范围.
15．（2021·山东临沂·高三期中）已知函数，.
(1)当时，求的值域；
(2)讨论极值点的个数.
16．（2021·山东聊城·高三期中）已知函数．
(1)论函数的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．
17．（2021·山东省实验中学高三期中）已知函数
（1）若，证明：；
（2）若在上有两个极值点，求实数a的取值范围.
18．（2021·山东省实验中学高三期中）已知函数.
(1)函数在定义域内恒成立，求实数的取值范围：
(2)求证：当时，；
(3)若有两个不同的零点，求证：.
19．（2021·山东·枣庄市第三中学高三期中）设函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求在上的最大值与最小值．
20．（2021·山东·枣庄市第三中学高三期中）已知函数．
(1)证明：当时，；
(2)设，若对任意实数x，都有，求a的值．
21．（2021·山东潍坊·高三期中）已知，函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数；
(3)若函数的图象与轴交于两点，，且．设，其中常数、满足条件，，试判断函数在点处的切线斜率的正负，并说明理由．
22．（2021·山东师范大学附中高三期中）已知函数，，.
(1)求函数的极值；
(2)当时，证明：在上恒成立.
23．（2021·山东师范大学附中高三期中）已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，判断函数的零点个数.
24．（2021·山东·胶州市教育体育局教学研究室高三期中）已知函数，.
(1)若，求的最大值；
(2)若，求证：有且只有一个零点；
(3)设且，求证：.
25．（2021·山东泰安·高三期中）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)证明：；
(3)若函数有两个零点，，证明：.
26．（2021·山东烟台·高三期中）已知函数，其中为正实数.
(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)当时，，求的取值范围.
27．（2021·山东烟台·高三期中）已知函数.
(1)当，证明：；
(2)设，若，且（），求证：.
28．（2021·山东济宁·高三期中）已知函数，，其中.
(1)若，在平面直角坐标系中，过坐标原点分别作函数与函数图象的切线和，求，的斜率之积；
(2)若对上，总有成立，试求实数的最小值.
29．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数，，．
(1)求的最大值；
(2)若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
(3)证明不等式（其中是自然对数的底数）．
30．（2021·山东德州·高三期中）已知函数(其中常数是自然对数的底数).
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)证明：对任意，当时，.
31．（2021·山东省青岛第十七中学高三期中）如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，.
（1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由；
（2）求证：当时，.

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