资源简介

方法 椭圆 双曲线
方法一 直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解 直接求出a，c，利用离心率公式 e＝求解
方法二 由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解 由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解
方法三 列出含有a，b，c的齐次方程，借助于b2＝a2－c2消去b，然后转化成关于e的方程求解 列出含有a，b，c的齐次方程，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程求解
2023届高考复习圆锥曲线专题——椭圆、双曲线离心率
（解析版）
离心率的求解方法
例1 (2022·宿州质检)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：选A.设直线与椭圆在第一象限的交点为A(x，y)，则直线y＝x.由|AB|＝2c，可知|OA|＝＝c，即＝c，解得x＝，y＝c，即A(c，c)，把点A的坐标代入椭圆方程，得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)·(2e2－3)＝0，所以e＝.
例2 (2022·安徽皖南名校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点M，使得·＝0，直线MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：选D.由·＝0，得MF1⊥MF2.
不妨设直线MF2平行于双曲线的渐近线l：bx＋ay＝0，如图所示，
从而得l是线段MF1的垂直平分线，且直线MF1的方程为y＝(x＋c)．
设MF1与l相交于点N(x，y)，
由得即N.
又F1(－c，0)，由中点坐标公式，
得M，
将点M的坐标代入－＝1，
得－＝1，
化简得c2＝5a2，则离心率e＝＝.
跟踪练习
1、(2021·高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.
2、设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：依题意，记F(c，0)，
则以OF为直径的圆的方程为＋y2＝，
将圆＋y2＝与圆x2＋y2＝a2的方程相减得cx＝a2，
即x＝，所以点P，Q的横坐标均为.
由于PQ是圆x2＋y2＝a2的一条弦，
因此＋＝a2，
即＋＝a2，
即＝a2＝，
所以c2＝2ab，
即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，
因此C的离心率e＝＝，故选A.
3、(2021·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　D　)
A.长轴长为 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
4、(2018·课标全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　D　)
A．1－ B．2－
C． D．－1
解析：设|PF2|＝x，则|PF1|＝x，|F1F2|＝2x，故2a＝|PF1|＋|PF2|＝(1＋)x,2c＝|F1F2|＝2x，于是离心率e＝＝＝＝－1.
5、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：选D.由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝ ＝.
6、(2022·苏北四市调研)椭圆G：＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足·＝0.则椭圆离心率e的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
解析：设点M的坐标为(x0，y0)，
∵·＝0，F1(－c，0)，F2(c，0)，∴(x0＋c)·(x0－c)＋y＝0，即x＋y＝c2.①
又知点M在椭圆G上，∴＋＝1，②
由①②联立结合a2－b2＝c2解得x＝，由椭圆的性质可得0≤x≤a2，即即所以c2≥b2，又知b2＝a2－c2，∴c2≥a2－c2，即2c2≥a2，解得e2≥，又知0∴≤e<1.
7、(2021·山东、湖北重点中学联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的斜率之积等于－4，则双曲线C的离心率为(　A　)
A． B．
C． D．
解析：因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以×＝－4，即a＝2b，所以c＝＝b，
所以e＝＝.故选A．
8、(2021·江苏无锡质检)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为(　C　)
A． B．
C．2 D．
解析：圆x2＋y2－4y＋2＝0的圆心为(0,2)，半径为，由题意知圆心到渐近线bx－ay＝0的距离为1，即＝1，∴＝，∴e＝＝2，故选C．
9、(2021·河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　B　)
A． B．
C． D．
解析：不妨设直线l：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0 椭圆中心到l的距离＝ e＝＝，故选B．
10、(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　A　)
A． B．
C． D．
解析：由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，
∴＝，
∴e＝＝＝＝＝.故选A．
11、若椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：依题意可知，c＝b，
又a＝＝c，
∴椭圆的离心率e＝＝.
12、 (2022·淮北质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为(　　)
A.－1　 　B. C. D.＋1
解析：不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，如图所示，因为△PF1F2为直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，所以椭圆E的离心率e＝＝－1.故选A.
13、(2022·山东滨州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，则不能使双曲线C的方程为－＝1的条件是(　　)
A．双曲线的离心率为 B．双曲线过点
C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0 D．双曲线的实轴长为4
解析：选D.由题意可得焦点在x轴上，且c＝5，A选项，若双曲线的离心率为，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为－＝1，故A正确；B选项，若双曲线过点，则得此时双曲线的方程为－＝1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程为－＝m(m>0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，所以此时双曲线的方程为－＝1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为－＝1，故D错误．故选D.
14、已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是(　　)
A．32 B．16
C．84 D．4
解析：选B.由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
15、(2019·全国)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，若以MN为直径的圆经过C的右焦点，则C的离心率为(　A　)
A．＋1 B．2
C． D．
解析：设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，
∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，
∴|F1M|＝|F1F2|，∴＝2c，
∴c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0，∴e＝1±，
∵e>1，∴e＝＋1，故选A．
16、(2018·新课标Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　C　)
A． B．2
C． D．
解析：点F2(c,0)到渐近线y＝x的距离|PF2|＝＝b(b>0)，而|OF2|＝c，所以在Rt△OPF2中，由勾股定理可得|OP|＝＝a，所以|PF1|＝|OP|＝a.
在Rt△OPF2中，cos∠PF2O＝＝，
在△F1F2P中，
cos∠PF2O＝
＝，
所以＝ 3b2＝4c2－6a2，
则有3(c2－a2)＝ 4c2－6a2，
解得＝(负值舍去)．
即e＝.故选C．
17、(2021·云南昆明模拟)△ABC为等腰三角形，且∠C＝90°，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为(　D　)
A． B．
C．－1 D．－1
解析：由题意△ABC为等腰三角形，且∠C＝90°，
可知：△ABC是等腰直角三角形，
且：BC＝2c，AC＝2c，AB＝2c，
由椭圆的定义可知：2c＋2c＝2a，
则椭圆的离心率：e＝＝＝－1.故选D．
18、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆x2＋y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：如图，由题意可得，b＝c，则2b2＝c2，
即2(a2－c2)＝c2，则2a2＝3c2，
∴＝，即e＝＝.
19、(2021·湖北省宜昌市调研)过点P(3,1)且倾斜角为的直线与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若＝，则该椭圆的离心率为(　C　)
A． B．
C． D．
解析：由题意可知P为AB的中点，且kAB＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减得＝－，∴kAB＝＝－＝－＝－1，即＝，∴e＝＝，故选C．
20、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：　如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，所以e＝＝.
21、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A．　 　B． C．　 D．
解析：如图，作PB⊥x轴于点B．由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝．
22、设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为(　　)
A．－1 B．
C． D．＋1
解析：不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝＝－1．故选A．
23、(2022·广西贵港联考)已知M为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左支上一点，A，F分别为双曲线C的右顶点和左焦点，|MA|＝|FA|，若∠MFA＝60°，则双曲线C的离心率为(　B　)
A． B．4
C．2 D．6
解析：设双曲线的右焦点为F′，由题意知△MFA为等边三角形，且|MF|＝|MA|＝|AF|＝a＋c，由双曲线的定义知，|MF′|＝|MF|＋2a＝3a＋c，在△MFF′中，由余弦定理得，cos∠MFF′＝＝，
化简，得c2－3ac－4a2＝0，所以e2－3e－4＝0，解得e＝4或e＝－1(舍)．故选B．
24、(2021·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若|CD|＝|AB|.则双曲线的离心率为(　A　)
A． B．
C．2 D．3
解析：设双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)的公共焦点为(c,0)，
则抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－c，
令x＝－c，则－＝1，解得y＝±，所以|AB|＝，
又因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以|CD|＝，
所以＝，即c＝b，所以a2＝c2－b2＝c2，
所以双曲线的离心率e＝＝，故选A．
25、双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为(　　)
A.5 B. C. D.
解析：由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，可知＝2，即b＝2a.
又c2＝a2＋b2＝a2＋4a2＝5a2，所以e2＝＝5，即e＝.
26、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C.2 D.
解析：由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.
将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，
所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.
由|AB|＝4|OF|可得＝4，
即b＝2a，b2＝4a2，
故双曲线的离心率e＝＝＝.
27、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|＝2|MF2|，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：不妨设渐近线l的方程为y＝x，则点M在第四象限，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a，又|MF1|＝2|MF2|，所以|MF1|＝4a，|MF2|＝2a.设过点F2且与l平行的直线的倾斜角为α，则tan α＝，所以cos α＝＝，所以cos∠F1F2M＝.在△F1F2M中，由余弦定理cos∠F1F2M＝，得＝，整理得c2＝5a2，即c＝a，所以e＝＝.
28、(2022·青岛质检)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于－，则椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：设内层椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成＋＝1(m＞1)，设切线AC的方程为y＝k1(x＋ma)，与＋＝1联立得：(b2＋a2k)x2＋2ma3kx＋m2a4k－a2b2＝0，由Δ＝0, 则k＝·，同理可得k＝·(m2－1)，∴k·k＝＝2, 则＝，因此，e＝＝＝＝．故选D．
29、、(2022·晋中新一双语学校模拟)设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：－＝1)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若＝2，则＋＝(　　)
A．2　　 　B. C.　　 　D．2
解析：选D. 如图，设＝m，＝n，焦距为2c，由椭圆定义可得m＋n＝2a，
由双曲线定义可得m－n＝2a1，解得m＝a＋a1，n＝a－a1.
当＝2时，则∠F1MF2＝90°，所以m2＋n2＝4c2，
即a2＋a＝2c2，由离心率的公式可得＋＝2.
30、(2019·全国卷Ⅱ，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　A　)
A． B．
C．2 D．
解析：如图，连接OP，∵|PQ|＝|OF|＝c，
∴PQ过圆心易得P.
又∵|OP|＝a，∴a2＝2＋2＝，
∴2＝2，∴e＝＝.故选A．
31、(2021·山西阳泉期末)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F1作斜率为1的直线交y轴于点A，交双曲线右支于点B，若＝，则该双曲线的离心率是(　D　)
A． B．2
C． D．1＋
解析：由题意知直线方程为y＝x＋c，且A(0，c)，又A、O分别为F1B、F1F2的中点，
∴BF2綊2OA，∴B(c,2c)，∴－＝1，
整理得b2＝2ac，即c2－2ac－a2＝0，又e＝，
∴e2－2e－1＝0，∴e＝1＋或1－(舍去)．故选D．
32、(2021·安徽省安庆一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　D　)
A．(1,2) B．(1,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：由题意可知≥tan 60°＝，
∴e＝ ≥2，故选D．
33、设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B. C.2 D.
解析：设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).则c＝，如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.在Rt△OPM中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.
34、(多选)已知P是椭圆E：＋＝1(m＞0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是(　　)
A．椭圆E的方程为＋y2＝1
B．椭圆E的离心率为
C．曲线y＝log3x－经过E的一个焦点
D．直线2x－y－2＝0与E有两个公共点
解析：设P(x0，y0)，M(x1，y1)，x0≠±x1，y0≠±y1，则N(－x1，－y1)，＋＝1，＋＝1，所以y＝m－，y＝m－，k1k2＝·＝＝－．于是|k1|＋|k2|≥2＝2＝2＝，依题意，得＝1，解得m＝1，故E的方程为＋y2＝1，A正确；离心率为，B错误；焦点坐标为(±，0)，曲线y＝log3x－经过焦点(，0)，C正确；又直线2x－y－2＝0过点(1,0)，且点(1,0)在E内，故直线2x－y－2＝0与E有两个公共点，D正确．故选A、C、D．
35、(多选)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是(　BD　)
A．＝2 B．e1e2＝
C．e＋e＝ D．e－e＝1
解析：因为·＝0且||＝||，所以△MF1F2为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝．在三角形PF1F2中，∠F1PF2＝，设PF1＝x，PF2＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，则故xy＝c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，所以(a′)2＝，即e2＝，故＝，e1e2＝，e＋e＝2，e－e＝1，故选B、D．
36、(2022·淮北二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为，则C的离心率为________．
解析：把x＝c代入双曲线：－＝1(a>0，b>0)得y＝，所以B，
又A(－a，0)，直线AB的斜率为，
所以＝，可得a2＋ac＝2c2－2a2，
即2c2－3a2－ac＝0，即2e2－3－e＝0，
因为e>1，所以e＝.
37、如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝± ，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋，所以e＝.
38、(2019·新课标Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为__2__.
解析：如图，∵＝.∴A为F1B的中点，且O为F1F2的中点，
∴AO为△F1F2B的中位线，
又∵·＝0，
∴F1B⊥F2B，则|OB|＝|F1O|＝c.
设B(x1，y1)，A(x2，y2)，
∵点B在渐近线y＝x上，
∴，得，
又∵A为F1B的中点，∴，
∵A在渐近线y＝－x上，
∴＝－·，得c＝2a，
则双曲线的离心率e＝＝2.
39、(2021·河北衡水中学调研)已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x2－＝1的离心率是__或__.
解析：由题意知m2＝16，∴m＝±4，
当m＝－4时，圆锥曲线方程为x2＋＝1，
∴a2＝4，b2＝1，故c＝，∴e＝＝.
当m＝4时，圆锥曲线方程为x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝4，故c＝，∴e＝＝.
40、过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点 F作垂直于 x轴的直线，交双曲线于 A, B两点， O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e＝________．
解析：若△OAB为等腰直角三角形，依结论1可得c＝，即ac＝c2－a2，可得e2－e－1＝0，e>1，解得e＝．
41、如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________.
解析：设|F1F2|＝2c，连接AF1(图略)，
∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，
∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，2a＝c－c，
∴e＝＝＝＋1.
42、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为___
_____.
解析：以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d＝＝a，整理为a2＝3b2，即a2＝3(a2－c2) 2a2＝3c2，即＝，e＝＝.
43、直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)，则两式相减得b2(y－y)＋a2(x－x)＝0，即＝－，即kMN＝－·，因为kMN＝－，kOP＝，所以＝，所以e＝＝＝．
44、设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.
解析：由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.
因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去).
45、(2021·浙江高考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．若过F1的直线和圆2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．
解析：设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A，则|AM|＝c，|AF1|＝c，所以|MF1|＝c，所以该直线的斜率k＝＝＝．因为PF2⊥x轴，所以|PF2|＝，又|F1F2|＝2c，所以k＝＝＝＝，得e＝．
46、(2022·安徽省蚌埠市二模)通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点F1(如图所示)，如图是底面边长为2、高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于AD的中点处时，则在平面A1B1C1D1上的投影形成的椭圆的离心率是________．
解析：从P作PM⊥A1D1于M点，在平面POM内作球截面圆的切线PN，交平面A1B1C1D1于N点，则在平面POM内形成的图形如图所示．
由题意得PM＝3，OQ＝MF1＝MQ＝1，故PQ＝2，
tan∠QPO＝ tan∠MPN＝＝，
则MN＝PM·tan∠MPN＝3×＝4，
根据题目条件知，F1是椭圆焦点，MN是长轴，即2a＝4，MF1＝a－c＝1，
则a＝2，c＝1，离心率e＝.
47、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝60°，则C的离心率为________.
解析：如图，点M，N所在的渐近线为ay－bx＝0，圆A的圆心A(a，0)到渐近线的距离d＝，又M，N均为圆A上的点，∴|AM|＝|AN|＝b，又∠MAN＝60°，∴△MAN为等边三角形，在△MAN内，A到边MN的距离为d＝|AM|·sin 60°＝b，∴有＝b，解得a2＝3b2，∴3c2＝4a2，∴e＝＝＝.
48、已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，求C的离心率．
解：设B(c，yB)，因为B为双曲线C：－＝1上的点，所以－＝1，所以y＝．因为AB的斜率为3，所以yB＝，＝3，所以b2＝3ac－3a2，所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a，所以C的离心率e＝＝2．
49、如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
解析：(1)∵|AF1|＝|AF2|＝a，
且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，
∴2a2＝4c2，∴a＝c，∴e＝＝.
50、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
解：　(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，
·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞).
51、(2022·青岛调研)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.
解：(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为，代入椭圆方程可得＋＝1，即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝.
(2)由(1)得椭圆E的方程为＋＝1，易知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.
∴x1＋x2＝，
x1x2＝.
又x1＋x2＝2，∴k＝，∴x1x2＝，
则|AB|＝
＝＝2，
∴b2＝，则a2＝10，
∴椭圆E的标准方程为＋＝1.
二、椭圆离心率取值范围的求解方法
方法 椭圆 双曲线
几何法 利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，|y|≤b,01建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
直接法 构造a，c的齐次不等式，根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式 构造a，c的齐次不等式，根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
例3 (2022·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：设P，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，
得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，
又0＜e＜1，故≤e＜1.
例4 (2022·石家庄模拟)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A.(1，＋∞) B.(1，2)
C.(1，1＋) D.(2，1＋)
解析：由题意易知点F的坐标为(－c，0)，A，B，E(a，0)，因为△ABE是锐角三角形，所以·＞0，即·＝·＞0，整理得3e2＋2e＞e4，∴e(e3－3e－3＋1)＜0，∴e(e＋1)2(e－2)＜0，解得e∈(0，2)，又e＞1，∴e∈(1，2).
跟踪练习
1、在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：因为OPMN是平行四边形，
所以MN∥OP且MN＝OP，
故yN＝，代入椭圆方程可得xN＝，
所以kON＝＝tan α.又α∈，
所以<<1，
所以a2、(2021·全国高考)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　C　)
A． B．
C． D．
解析：设P，由B，因为＋＝1，a2＝b2＋c2，所以2＝x＋2＝a2＋2＝－2＋＋a2＋b2，因为－b≤y0≤b，当－≤－b，即b2≥c2时，＝4b2，即max＝2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0－b，即b23、已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A．　 B．
C． D．
解析：设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2．设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2．离心率e＝＝＝ ＝ ∈，故选A．
4、(2022·临川一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1，2)，使得·＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：设c为半焦距，则F(c，0)，又B(0，b)，
所以BF：bx＋cy－bc＝0，
以A1A2为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，
因为·＝0，i＝1，2，
所以⊙O与线段BF有两个交点(不含端点)，
所以即
故解得5、(2022·合肥市名校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：设P(xP，yP)，则双曲线的焦半径|PF1|＝exP＋a，
|PF2|＝exP－a，
由|PF1|＝4|PF2|可得exP＋a＝4(exP－a)，
即3exP＝5a，所以xP＝.
由于点P在双曲线的右支上，则xP＝≥a，
从而e≤，
即此双曲线的离心率e的最大值为.
6、(2021·河北邯郸模拟)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|＝a|PF1|，则C的离心率的取值范围是(　C　)
A．(1，) B．(，＋∞)
C．(1,1＋] D．[1＋，＋∞)
解析：∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝|PF1|－2a，
∴c(|PF1|－2a)＝a|PF1|，∴|PF1|＝，
又|PF1|≥a＋c，∴≥c＋a，
整理得e2－2e－1≤0，解得1－≤e≤1＋，
又e>1，∴17、(2021·河北省衡水中学调研)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　C　)
A．(1＋，＋∞) B．(1,1＋)
C．(2，＋∞) D．(2,1＋)
解析：由题意，得AB为双曲线的通径，
其长度为|AB|＝，
因为∠AEB>，
所以∠AEF>，
则tan∠AEF＝>1，
即>1，
即c2－a2>a(a＋c)，
即e2－e－2>0，解得e>2.故选C．
8、(2021·天津南开区期末)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|＝7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为(　A　)
A． B．
C．2 D．
解析：由知|MF1|＝，
∴≥c－a，∴e＝≤，故选A．
9、明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图①、②、③中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，，，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则(　　)
A．e1＞e3＞e2 B．e2＞e3＞e1
C．e1＞e2＞e3 D．e2＞e1＞e3
解析：因为椭圆的离心率e＝＝＝＝＝ ，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大．因为≈1．44，≈1．24，≈1．43，则＞＞，所以e1＞e3＞e2．故选A．
10、过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c，0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.
又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.
11、(2021·高考全国卷乙)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，＋＝1，可得x＝a2－y，则|PB|2＝x＋(y0－b)2＝x＋y－2by0＋b2＝－y－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤，故选C.
12、(2021·四川广元、山西孝义模拟)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长F2T交双曲线E的左支于点P，若|PF2|>2|TF2|，则双曲线E的离心率的取值范围是(　C　)
A．(2，＋∞) B．(，＋∞)
C．(，) D．(2，)
解析：在Rt△OTF2中，|OT|＝a，|OF2|＝c，
∴|TF2|＝b，cos∠PF2F1＝，
由双曲线的定义知，|PF2|－|PF1|＝2a，
在△PF1F2中，由余弦定理知，|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|·cos∠PF2F1，
∴(|PF2|－2a)2＝|PF2|2＋4c2－2|PF2|·2c·，
解得|PF2|＝＝>0，
∴b>a，
∵|PF2|>2|TF2|，
∴>2b，即b<2a，
∴1<<2，
∴离心率e＝＝∈(，)．
13、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，则此双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1,2] B．[2，＋∞)
C．(1，] D．[，＋∞)
解析：当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP(图略)，因为OP为△PF1F2的边F1F2上的中线，所以＝(＋)；当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式．因为双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，所以4||≤2c，由||≥a，所以a≤||≤，所以a≤，所以e≥2．故选B．
14、已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)
A．(1,2)　　 B．(1,3)
C．(3，＋∞)　 D．(2,3)
解析：在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以
|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，得3a＋a＞2c，即2a＞c，所以e＝＜2，又e＞1，所以1＜e＜2，故选A．
15、已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
解析：设左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝＝∈.
16、(2021·长沙模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且≤∠F1AF2≤，则该双曲线离心率的取值范围为________.
解析：不妨设A在第一象限，将x＝c代入y＝x得A，
所以tan∠F1AF2＝
＝∈，
即≤≤1，即≤≤1 1≤≤3 1≤≤3 1≤e2－≤3 5≤e2≤13 ≤e≤.
17、(2022·湖北七市(州)联考)已知双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线存在一点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________.
解析：在△PF1F2中，由正弦定理知
＝，又＝，
∴＝，
所以P在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝.
由双曲线几何性质知|PF2|＞c－a，
则＞c－a，即e2－2e－1＜0，
∴1＜e＜1＋.
18、已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点，|PF|－|PO|＝2a，则双曲线C的离心率的取值范围是________．
解析：设双曲线C的右焦点为F1，由双曲线的定义可知|PF|－|PF1|＝2a，又|PF|－|PO|＝2a，所以|PO|＝|PF1|，即点P在OF1的垂直平分线上，所以P点的横坐标为，因为点P在双曲线上，显然有≥a，即e＝≥2，所以离心率e的取值范围是[2，＋∞)．
19、已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P，使＝，该椭圆的离心率的取值范围为________．
解析：在△PF1F2中，由正弦定理，得＝.
因为＝，
所以＝.
由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a，
则·|PF2|＋|PF2|＝2a，即|PF2|＝.
由椭圆的几何性质，知|PF2|＜a＋c，则＜a＋c，
即c2＋2ac－a2＞0，
所以e2＋2e－1＞0，解得e＜－－1或e＞－1.
又e∈(0，1)，所以e∈(－1，1)．
20、(2021·山西怀仁期末)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，且∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围____.
解析：由题意可知当P为椭圆短轴端点时∠OPF1＝∠OPF2≥30°，即≤，即c≥b，
∴3c2≥a2－c2，∴≥，即e≥，
又021、过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．
解析：由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝．又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤．又022、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx交双曲线C于M，N两点．
(1)若M(2,3)，四边形MF1NF2的面积为12，求双曲线C的方程；
(2)若≤k≤，且四边形MF1NF2是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围．
解：(1)因为直线y＝kx交双曲线C于M，N两点，
所以M，N两点关于原点对称，从而四边形MF1NF2是平行四边形，
设双曲线C的焦距为2c，则四边形MF1NF2的面积S＝2××2c×3＝12，解得c＝2，
从而F1(－2,0)，F2(2,0)，所以|MF2|＝＝3，|MF1|＝＝5，
于是2a＝|MF1|－|MF2|＝2，解得a＝1，所以b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1．
(2)设M(x1，y1)，则N(－x1，－y1)．
由得－x2＝x2＝1．
因为·＝(x1＋c，kx1)·(－x1＋c，－kx1)＝c2－(k2＋1)x＝0，
所以c2－(k2＋1)＝0，化简得k2＝．
因为≤k2≤3，所以≤≤3．
由≤3得e4－8e2＋4≤0，解得1＜e≤＋1；
由≤得3e4－8e2＋4≥0，解得e≥．
因此，e的取值范围为[，＋1]．2023届高考复习圆锥曲线专题——椭圆、双曲线离心率
方法 椭圆 双曲线
方法一 直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解 直接求出a，c，利用离心率公式 e＝求解
方法二 由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解 由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解
方法三 列出含有a，b，c的齐次方程，借助于b2＝a2－c2消去b，然后转化成关于e的方程求解 列出含有a，b，c的齐次方程，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程求解
（学生版）
一、离心率的求解方法
例1 (2022·宿州质检)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：选A.设直线与椭圆在第一象限的交点为A(x，y)，则直线y＝x.由|AB|＝2c，可知|OA|＝＝c，即＝c，解得x＝，y＝c，即A(c，c)，把点A的坐标代入椭圆方程，得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)·(2e2－3)＝0，所以e＝.
例2 (2022·安徽皖南名校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点M，使得·＝0，直线MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：选D.由·＝0，得MF1⊥MF2.
不妨设直线MF2平行于双曲线的渐近线l：bx＋ay＝0，如图所示，
从而得l是线段MF1的垂直平分线，且直线MF1的方程为y＝(x＋c)．
设MF1与l相交于点N(x，y)，
由得即N.
又F1(－c，0)，由中点坐标公式，
得M，
将点M的坐标代入－＝1，
得－＝1，
化简得c2＝5a2，则离心率e＝＝.
跟踪练习
1、(2021·高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
2、设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
3、(2021·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A.长轴长为 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
4、(2018·课标全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－ B．2－
C． D．－1
5、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
6、(2022·苏北四市调研)椭圆G：＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足·＝0.则椭圆离心率e的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
7、(2021·山东、湖北重点中学联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的斜率之积等于－4，则双曲线C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
8、(2021·江苏无锡质检)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．
9、(2021·河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
10、(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
11、若椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
12、 (2022·淮北质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为(　　)
A.－1　 　B. C. D.＋1
13、(2022·山东滨州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，则不能使双曲线C的方程为－＝1的条件是(　　)
A．双曲线的离心率为 B．双曲线过点
C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0 D．双曲线的实轴长为4
14、已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是(　　)
A．32 B．16
C．84 D．4
15、(2019·全国)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，若以MN为直径的圆经过C的右焦点，则C的离心率为(　　)
A．＋1 B．2
C． D．
16、(2018·新课标Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．
17、(2021·云南昆明模拟)△ABC为等腰三角形，且∠C＝90°，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C．－1 D．－1
18、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆x2＋y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
19、(2021·湖北省宜昌市调研)过点P(3,1)且倾斜角为的直线与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若＝，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
20、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
21、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A．　 　B． C．　 D．
22、设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为(　　)
A．－1 B．
C． D．＋1
23、(2022·广西贵港联考)已知M为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左支上一点，A，F分别为双曲线C的右顶点和左焦点，|MA|＝|FA|，若∠MFA＝60°，则双曲线C的离心率为(　　)
A． B．4
C．2 D．6
24、(2021·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若|CD|＝|AB|.则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．3
25、双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为(　　)
A.5 B. C. D.
26、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C.2 D.
27、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|＝2|MF2|，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
28、(2022·青岛质检)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于－，则椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
29、、(2022·晋中新一双语学校模拟)设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：－＝1)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若＝2，则＋＝(　　)
A．2　　 　B. C.　　 　D．2
30、(2019·全国卷Ⅱ，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．
31、(2021·山西阳泉期末)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F1作斜率为1的直线交y轴于点A，交双曲线右支于点B，若＝，则该双曲线的离心率是(　　)
A． B．2
C． D．1＋
32、(2021·安徽省安庆一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．(1,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
33、设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B. C.2 D.
34、(多选)已知P是椭圆E：＋＝1(m＞0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是(　　)
A．椭圆E的方程为＋y2＝1
B．椭圆E的离心率为
C．曲线y＝log3x－经过E的一个焦点
D．直线2x－y－2＝0与E有两个公共点
35、(多选)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是(　 )
A．＝2 B．e1e2＝
C．e＋e＝ D．e－e＝1
36、(2022·淮北二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为，则C的离心率为________．
37、如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________．
38、(2019·新课标Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
39、(2021·河北衡水中学调研)已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x2－＝1的离心率是________．
40、过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点 F作垂直于 x轴的直线，交双曲线于 A, B两点， O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e＝________．
41、如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________.
42、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________.
43、直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．
44、设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.
45、(2021·浙江高考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．若过F1的直线和圆2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．
46、(2022·安徽省蚌埠市二模)通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点F1(如图所示)，如图是底面边长为2、高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于AD的中点处时，则在平面A1B1C1D1上的投影形成的椭圆的离心率是________．
47、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝60°，则C的离心率为________.
48、已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，求C的离心率．
49、如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
50、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
51、(2022·青岛调研)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.
二、椭圆离心率取值范围的求解方法
方法 椭圆 双曲线
几何法 利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，|y|≤b,01建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
直接法 构造a，c的齐次不等式，根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式 构造a，c的齐次不等式，根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
例3 (2022·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：设P，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，
得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，
又0＜e＜1，故≤e＜1.
例4 (2022·石家庄模拟)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A.(1，＋∞) B.(1，2)
C.(1，1＋) D.(2，1＋)
解析：由题意易知点F的坐标为(－c，0)，A，B，E(a，0)，因为△ABE是锐角三角形，所以·＞0，即·＝·＞0，整理得3e2＋2e＞e4，∴e(e3－3e－3＋1)＜0，∴e(e＋1)2(e－2)＜0，解得e∈(0，2)，又e＞1，∴e∈(1，2).
跟踪练习
1、在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
2、(2021·全国高考)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
3、已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A．　 B．
C． D．
4、(2022·临川一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1，2)，使得·＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．
5、(2022·合肥市名校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)
A. B.
C．2 D.
6、(2021·河北邯郸模拟)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|＝a|PF1|，则C的离心率的取值范围是(　　)
A．(1，) B．(，＋∞)
C．(1,1＋] D．[1＋，＋∞)
7、(2021·河北省衡水中学调研)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1＋，＋∞) B．(1,1＋)
C．(2，＋∞) D．(2,1＋)
8、(2021·天津南开区期末)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|＝7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为(　　)
A． B．
C．2 D．
9、明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图①、②、③中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，，，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则(　　)
A．e1＞e3＞e2 B．e2＞e3＞e1
C．e1＞e2＞e3 D．e2＞e1＞e3
10、过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
11、(2021·高考全国卷乙)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
12、(2021·四川广元、山西孝义模拟)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长F2T交双曲线E的左支于点P，若|PF2|>2|TF2|，则双曲线E的离心率的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(，＋∞)
C．(，) D．(2，)
13、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，则此双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1,2] B．[2，＋∞)
C．(1，] D．[，＋∞)
14、已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)
A．(1,2)　　 B．(1,3)
C．(3，＋∞)　 D．(2,3)
15、已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
16、(2021·长沙模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且≤∠F1AF2≤，则该双曲线离心率的取值范围为________.
17、(2022·湖北七市(州)联考)已知双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线存在一点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________.
18、已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点，|PF|－|PO|＝2a，则双曲线C的离心率的取值范围是________．
19、已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P，使＝，该椭圆的离心率的取值范围为________．
20、(2021·山西怀仁期末)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，且∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围________．
21、过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．
22、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx交双曲线C于M，N两点．
(1)若M(2,3)，四边形MF1NF2的面积为12，求双曲线C的方程；
(2)若≤k≤，且四边形MF1NF2是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围．

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