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高一函数定义域、值域、解析式和分段函数重难点突破
考点一、求函数定义域
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为，求函数的定义域.
(2)已知函数的定义域为，求函数的定义域.
(3)已知函数的定义域为，求函数的定义域.
3．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数的定义域为，则的值为_________．
5．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
8．若函数定义域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点二、求函数解析式
9．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
（5）已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.
11．已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数的定义域为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知，若，则______．
14．已知函数对于任意的都有，则_________.
考点三、求函数值域
15．求下列函数的值域
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8） （9）； （10）.
16．函数的定义域是__________．函数的值域是__________．
17．求下列函数的值域：
(1)； (2)； (3)． (4)．
18．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．函数在上的值域为
B．函数的值域为
C．关于x的方程有解，则
D．当时，恒成立，则a的取值范围为
考点四、分段函数
19．（多选题）已知函数，则（ ）
A．
B．若，则或
C．的解集为
D．，，则
20．（多选题）已知函数，则（ ）
A．
B．若，则
C．在上是减函数
D．若关于的方程有两解，则
21．设函数，则______．
22．已知函数若，则实数（ ）
A．－5 B．5 C．－6 D．6
23．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
24．已知函数，则_____，的最小值是_____.
25．设函数，则___________；，则实数___________.
考点五、函数图像变换与对称
26．将函数的图象向左平移个单位得到新函数的图象，则新函数的表达式为______.
27．对任意，函数，则的最小值是___________.
28．已知函数
(1)作出函数的图象；
(2)根据函数图象写出的单调区间；
(3)方程恰有四个不同的实数根，写出实数的取值范围．
考点六、函数综合应用
29．已知函数，则__________.
30．（多选题）已知函数若，则实数的值为（ ）
A． B． C．-1 D．1
31．（多选题）下列函数中，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数在上的值域为
33．（多选题）下列命题中，正确的有（ ）
A．函数与函数表示同一函数
B．已知函数，若，则
C．若函数，则
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
34．（多选题）下列每组函数不是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
35．（多选题）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
36．（1）求函数 的定义域；
（2）求下列函数的值域：
①； ②.
37．已知函数
(1)当a=1时，求函数f(x)的值域；
(2)解关于x的不等式
(3)若对于任意的x∈[2，+∞)，f(x)>2x-1均成立，求a的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】由零次幂的底数不为零，二次根式的被开方数非负，分式的分母不为零，列不等式组可求得结果.
【详解】由题意得，解得，且，
所以函数的定义域为，
故选：C
2．(1)；
(2)；
(3).
【分析】抽象函数定义域求解，需注意两点：
①定义域是函数解析式中自变量“x”的范围；
②对于同一个对应关系“f”，“f”后括号里面式子整体范围相同.
(1)中－1的范围和中x范围相同，中x范围是；
(2)中x的范围和中2x＋4范围相同，中x范围是；
(3)中x＋1与均与中x范围相同，中x的范围是.
(1)
令－2≤－1≤2得－1≤≤3，即0≤≤3，从而－≤≤，
∴函数的定义域为.
(2)
∵的定义域为，即在中∈，令，∈，则∈，即在中，∈，
∴的定义域为.
(3)
由题得，，
∴函数的定义域为.
3．B
【分析】由题意可知的解集为R，分，两种情况讨论，即可求解.
【详解】函数的定义域为R，可知的解集为R，
若，则不等式为恒成立，满足题意；
若，则，解得．
综上可知，实数k的取值范围是．
故选：B．
4．
【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值．
【详解】由题意的解是，
所以，解得，，所以．
故答案为：．
5．B
【分析】根据分母不等于零，偶次被开方式大于等于零，可得结果.
【详解】由题意可得，，解得，且，
即定义域为，
故选：B
6．D
【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解.
【详解】因为函数的定义域是，
所以，所以
所以函数的定义域为，
要使有意义，则需要，解得，
所以的定义域是.
故选：D.
7．
【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解
【详解】因为函数的定义域是，
所以，所以
所以函数的定义域为，
要使有意义，则需要，解得，
所以的定义域是.
故答案为：
8．A
【分析】根据题意可得出，不等式的解集为，从而讨论，当时，，满足题意；当时，，解出的范围即可．
【详解】解：的定义域为，
不等式的解集为，
①当时，恒成立，满足题意；
②当时，，解得，
实数的取值范围为．
故选：A．
9．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据已知函数代入直接求解即可，
（2）利用换元法或配凑法求解，
（3）利用待定系数法求解，设，然后根据已知条件列方程求出即可，
（4）利用方程组法求解，用－x替换中的x，将得到的式子与原式子联立可求出.
【详解】（1）因为，所以．
（2）方法一 设，则，，即，
所以，所以．
方法二 因为，所以．
（3）因为是二次函数，所以设．由，得c＝1．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（4）用－x替换中的x，得，
由，
解得．
（5）.
令，则，
∴.
11．C
【分析】利用换元法，可得答案.
【详解】令，即，则，由，则，
故的解析式为.
故选：C.
12．C
【分析】对于求函数解析式的题目，可使用方程组法，将原方程与令后得到得方程组成方程组，解出即可
【详解】因为①，
所以②，
得，
即，
所以．
故选：C.
13．##.
【分析】先利用换元法求出函数解析式，再由解方程可求出的值.
【详解】令，则，
所以，
因为，
所以，解得，
故答案为：
14．
【分析】由可得，联立消去整理求解.
【详解】∵，则
联立，消去整理得：
故答案为：.
15．（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.
【分析】（1）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；
（2）直接利用二次函数性质求分母取值范围，再求y的取值范围即得结果；
（3）先求定义域，再利用函数单调性求函数取值范围即可；
（4）变形得，即可得解；
（5）利用二次函数的单调性逐步求值域即可；
（6）令，则，将函数变形为，利用二次函数的性质计算可得；
（7）求出函数定义域，平方后利用二次函数的性质求值域即可；
（8）直接利用二次函数的单调性逐步求值域即可；
（9）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；
（10）先进行换元，再利用对勾函数单调性求解值域即可.
【详解】解：（1）分式函数，
定义域为，故，所有，
故值域为；
（2）函数中，分母，
则，故值域为；
（3）函数中，令得，
易见函数和都是减函数，
故函数在时是递减的，故时，
故值域为；
（4），
故值域为且；
（5），
而，，
，，
即，故值域为；
（6）函数，定义域为，令，
所以，所以，对称轴方程为，
所以时，函数，故值域为；
（7）由题意得，解得，
则，
故，，，
由y的非负性知，，故函数的值域为；
（8）函数，定义域为，，故，即值域为；
（9）函数，定义域为，
故，所有，故值域为；
（10）函数，
令，则由知，，，
根据对勾函数在递减，在递增,
可知时，，故值域为.
【点睛】方法点睛：
求函数值域常见方法：
（1）单调性法：判断函数单调性，利用单调性求值域（包括常见一次函数、二次函数、分式函数、对勾函数等）；
（2）换元法：将复杂函数通过换元法转化到常见函数上，结合图象和单调性求解值域；
（3）判别式法：分式函数分子分母的最高次幂为二次时，可整理成关于函数值y的二次方程，方程有解，判别式大于等于零，即解得y的取值范围，得到值域.
16．
【分析】根据偶次方根的被开方大于等于得到不等式，解得即可，根据反比例函数的性质判断函数的单调性，即可求出函数的值域；
【详解】解：对于函数，令，即，解得，
故函数的定义域为；
在上是增函数，
，即，即．
故答案为：，
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）方法一：通过变量分离可得 因为，由于，即可得出值域．方法二：函数可化为由可得出值域．
（2）化简可得，借助二次函数即可得出结果.
（3）令，，借助二次函数即可得出结果.
（4）令,方法一：函数可化为，方程式有解，利用判别式计算即可得出结果.方法二： 令，化简可得，当时，；当时，，借助基本不等式化简计算可得结果.
（1）
方法一 因为，且，所以，所以原函数的值域为．
方法二 令，则，
所以原函数的值域为．
（2）
因为，
所以，
所以原函数的值域为．
（3）
设，则且，
得．
因为，所以，即，
所以原函数的值域为．
（4）
方法一 令，因为，
所以关于x的方程有解，则当，即时，；
当时，，
整理得，解得或．
综上，原函数的值域为．
方法二 令，则，
当时，；
当时，，
当时，因为，当且仅当时取等号，
所以，所以，
当时，因为，当且仅当时取等号，
所以，所以．
综上，原函数的值域为．
18．BC
【分析】A选项，分离常数后得到函数的单调性，从而求出值域；
B选项，换元法求解函数值域；
C选项，求出，从而得到；
D选项，参变分离后得到，分离常数，结合基本不等式求出的最小值，从而得到a的取值范围.
【详解】函数
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故，所以值域为，A错误；
令，则，
，
当时，取得最大值，最大值为，无最小值，
故函数的值域为，B正确；
令得：，故的定义域为，
故，
关于x的方程有解，则，
解得：，C正确；
恒成立，即恒成立，
因为，所以，
故，其中
，
当且仅当，即时，等号成立，
故，所以，
则a的取值范围为，D错误.
故选：BC
19．BCD
【分析】对于A，根据解析式先求，再求，对于B，分和两种情况求解，对于C，分和两种情况解不等式，对于D，求出函数的最大值判断.
【详解】对于A，因为，所以，所以A错误，
对于B，当时，由，得，得，当时，则，得，，得或（舍去），综上或，所以B正确，
对于C，当时，由，得，解得，当时，由，得，解得，综上，的解集为，所以C正确，
对于D，当时，，当时，，所以的值域为，
因为，，所以，所以D正确，
故选：BCD
20．ABD
【解析】根据函数解析式，代入数据可判断A、B的正误，做出的图象，可判断C、D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：由题意得：，
所以，故A正确；
对于B：当时，，解得a=1，不符合题意，舍去
当时，，解得，符合题意，故B正确；
对于C：做出的图象，如下图所示：
所以在上不是减函数，故C错误；
对于D：方程有两解，则图象与图象有两个公共点，
如下图所示
所以，故D正确.
故选：ABD
21．
【分析】从内到外，依次求两次函数值即可.
【详解】依题意得，，.
故答案为：
22．A
【分析】先求，再由列方程求解即可.
【详解】由题意可得，
因为，即，
所以，得，
故选：A
23．A
【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.
【详解】函数，则不等式等价于或者，
解得：，解得：或，于是得或，
所以不等式的解集是.
故选：A
24． ##1.5 ##
【分析】根据分段函数的定义可求，然后分别求得在和的最小值，即可得到答案
【详解】由可得，
所以，
因为的对称轴为，且图象开口向上，
所以当时，的最小值为0；
当时，（当且仅当即时，取等号），
所以当时，的最小值为；
综上所述，的最小值是，
故答案为：；
25． 2 2或
【分析】直接代值计算可得空一；分和代入分段函数解方程可得空二.
【详解】因为，所以；
当时，，所以，解得或（舍去），
当时，，所以，解得.
故答案为：2；2或
26．
【分析】利用函数的图象变换可得出新函数的解析式.
【详解】将函数的图象向左平移个单位得到新函数的图象，则新函数的表达式为.
故答案为：.
27．0
【分析】根据给定条件，用分段函数表示出，再分段讨论作答.
【详解】由得，，于是得，
当时，在上单调递减，，
当时，在上单调递减，，
当时，在上单调递增，，
所以当时，函数取得最小值0.
故答案为：0
28．(1)作图见解析；
(2)递增区间为，递减区间为
(3)
【分析】（1）求得和时的解析式，画出的图象；
（2）根据图象直接写出单调区间；
（3）根据图象可求出顶点和与轴的交点，即可求得答案
（1）
因为，
所以的图象如图所示
（2）
由（1）的图象可得的递增区间为：，的递减区间为：
（3）
由于，当时，最大值，当时，最大值，
所以当时，与恰有四个不同的交点，即方程恰有四个不同的实数根，
则实数的取值范围
29．32
【分析】根据题中所给的分段函数运算求值.
【详解】由题意可得：，则
故答案为：32.
30．AB
【分析】令，进而由得或，再根据时，可得或，解方程即可得答案.
【详解】解：令，故，进而得或，
所以或，
由于时，，
所以或，解得或
故选：AB
31．AD
【分析】利用基本不等式分别求解即可求出值域，得出结果.
【详解】对A，因为，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的值域为，故A正确；
对B，（），
当时，，当且仅当，即等号成立，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
所以的值域为，故B错误；
故C，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，又，所以等号不成立，故C错误；
对D，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的值域为，故D正确.、
故选：AD.
32．AC
【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.
【详解】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，
所以，即函数的值域为，故B不正确；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，
所以函数在上的值域为，故D不正确．
故选：AC．
33．BC
【分析】A.两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误；解方程组，故B正确；求出，故C正确；函数的定义域为，故D错误.
【详解】解：的定义域是， 的定义域是或，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误;
函数，若，则所以，故B正确；
若函数，则，故C正确；
若函数的定义域为，则函数中，，所以，即函数的定义域为，故D错误.
故选：BC
34．ABC
【分析】利用函数的定义判断.
【详解】A. 的定义域为R，的定义域为 ，故不是同一函数；
B. ，解析式不同，故不是同一函数；
C. 定义域为，定义域为R，故不是同一函数；
D. ，定义域都为R，故是同一函数，
故选：ABC
35．BC
【分析】画出函数的图象，结合值域可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】函数的图象如图所示：
因为函数在上的值域为，结合图象可得，
结合a是正整数，所以BC正确.
故选： BC.
36．(1)且；
(2).
【分析】(1)根据、分式和二次根式的意义即可求出函数的定义域；
(2)利用分离常量法即可解①；利用换元法和二次函数的性质即可解②.
【详解】(1)要使函数有意义，需满足
，即，解得且.
所以函数的定义域为且.
(2)①：，
因为，所以，即，
得，即函数的值域为；
②：，由，得，
所以函数的定义域为，
令，则，，
所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数取得最小值，最小值为，
故函数的值域为.
37．(1)；
(2)具体见解析；
(3).
【分析】（1）通过配方法即可求得答案；
（2）先进行因式分解，进而讨论a的范围解出不等式即可；
（3）先进行变量分离，进而结合对勾函数函数的图象求得答案.
(1)
，所以函数的值域为.
(2)
由题意，，
若a=0，则不等式的解集为；
若a>0，则不等式的解集为；
若a<0，则不等式的解集为.
(3)
问题等价于对x∈[2，+∞)恒成立，即对x∈[2，+∞)恒成立.
设，图象如图：
所以，的最小值为.
于是，.

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