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　解答题篇 专题04 直线与圆锥曲线的位置关系
2021 全国乙卷 双曲线，抛物线与圆 双曲线的基本量的关系；直线与抛物线的位置关系
新高考1卷 抛物线；双曲线与直线的位置关系 抛物线的标准方程；直线与双曲线的位置关系
2022 新高考1卷 抛物线；双曲线与直线的位置关系 抛物线的标准方程；直线与双曲线抛物线的位置关系
新高考2卷 抛物线；双曲线与直线的位置关系 抛物线的标准方程；直线与双曲线抛物线的位置关系
全国乙卷 抛物线；双曲线与直线的位置关系 抛物线的标准方程；直线与双曲线抛物线的位置关系
1.直线与椭圆方程
【答题模板】：
第一步：代入消元，联立 化简：
第二步：计算判别式
可直接利用结论：（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式
，
第四步：利用 ，计算
第五步：利用，计算
第六步：利用，，计算弦中点
第七步：利用,计算弦长和的面积
进而计算原点到直线的距离
第八步:利用,，计算
第九步：利用,计算
2.直线与双曲线方程
【答题模板】：
第一步：代入消元，联立 化简：
第二步：计算判别式
可直接利用结论：（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式
，
第四步：利用 ，计算
第五步：利用，计算
第六步：利用，，计算弦中点
第七步：利用,计算弦长和的面积
进而计算原点到直线的距离，
题目中条件与韦达定理的联系
1、通用弦长公式：,
2、面积公式：
3、解析几何中的向量问题：,
4、向量与夹角问题：(1)钝角;(2)锐角;
(3)直角（）
5、向量与圆的问题：与以为直径的圆的位置关系：(1)在圆内：钝角;
(2)在圆上：直角;(3)在圆外：锐角;
6、坐标轴平分角问题(倾斜角互补）：
7、直线方程需要反设的两种情况①抛物线开口向右②已知直线过x轴上的定点
考点一　直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程.
【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围.
考点二　弦长问题
【例2】 (2016·四川卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；
(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值.
【训练2-1】 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0).
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程.
【训练2-2】如图，已知经过F（1,0）的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2
（I）若k1+k2=-4，求l的斜率：
（II）求的最小值.
考点三　中点弦问题
【例3】 (1)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________.
【训练3】如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作斜率为k(k>0)的直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，且y1>0，弦AB中垂线交x轴于点T，过A作斜率为-k的直线交抛物线于另一点C.
（1）若y1=4，求点B的坐标；
（2）记ΔABT、ΔABC的面积分别为S1,S2 ，若S2=4S1，求点A的坐标.
考点四 斜率与向量问题
【例4】 .已知动点P到点（0，1）的距离与到直线y＝2的距离的比值为，动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线y＝kx+1与曲线C交于A，B两点，点M（0，2），证明：直线MA，MB的斜率之和为0．
【训练4-1】（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，长轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，坐标原点在以为直径的圆上，于点．试求点的轨迹方程．
【训练4-2】设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.
【训练4-3】、已知抛物线，过点的直线交抛物线于，两点.
（1）求抛物线的焦点坐标及准线方程；
（2）证明：以线段为直径的圆过原点.
考点五 面积最值问题
【例5】【浙江省杭州市2021届高三上学期期末】已知椭圆，直线，设直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）若，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若直线的斜率成正等比数列（其中为坐标原点），求的面积的取值范围.
【训练5-1】设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F．点F到抛物线的准线的距离为2，若椭圆的右焦点也为F，离心率为
求抛物线方程和椭圆的方程；
若不经试点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且＝-3（0为坐标原点），直线1与椭圆交于C，D两点，求ΔCDF的面积的最大值．
【训练5-2】已知抛物线C：y2=2px焦点为F（2，0），且P（m，0），Q（﹣m，n），过P作斜率为k（k≠0）的直线l交抛物线C于A，B两点．
（Ⅰ）若m=k=2，=0，求n；
（Ⅱ）若O为坐标原点，m为定值，当k变化时，始终有=0，求定值m的大小；
（Ⅲ）若k=1，n=0，m＜0，当m改变时，求三角形QAB的面积的最大值．
【训练5-3】已知点在抛物线上，P，Q是直线上的两个不同的点，且线段AP，AQ的中点都在抛物线上．
（1）求的取值范围；
（2）若△APQ的面积等于，求的值．
考点六 与坐标轴交点问题
【例6】已知抛物线：经过点．过点的直线与抛物线 有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)设为原点，，，求证：为定值．
【训练6-1】椭圆有两个顶点过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点,直线与交于点.
当时，求直线的方程；
当点异于两点时，证明：为定值。
考点七 抛物线切线问题
（1）双切线问题（阿基米德三角形）
【例7】 （2021广东）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；
（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．
【训练7-1】已知抛物线的焦点为，抛物线上两点处的切线交于点，中点为。
证明：轴；
设的中点为，证明：在抛物线上，且抛物线在处的切线平行于直线；
证明：；
证明：
若过点，求点的轨迹的方程；当恰为中点时，判断与轨迹的位置关系；
若过点，求点的轨迹方程，并证明求出面积的最小值。
（2）单切线问题
【例7-1】如图所示，已知焦点为F的抛物线y2＝4x上有一动点P(x0,y0) (y0>0)，过点P作抛物线的切线1交x轴于点A．
（1）判断线段AP的中垂线是否过定点，若是求出定点坐标，若不是说明理由；
（2）过点P作l的垂线交抛物线于另一点B，求ΔPAB面积的最小值．
考点八 定点问题
【例8】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.
【训练8-1】.在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
【训练8-2】.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，，直线，分别与直线交于点，．求证：以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值．
1、（2021·河北保定市高三二模）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.
（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
2、（2021·湖南长沙市高三模拟）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，该点到原点的距离与到的准线的距离相等．
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，且与以焦点为圆心2为半径的圆交于，两点，点，在轴右侧．
①证明：当直线与轴不平行时，
②过点，分别作抛物线的切线，，与相交于点，求与的面积之积的取值范围
3、已知椭圆的离心率为焦距为斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点。
求椭圆的方程；
若求的最大值；
设直线与椭圆的另一个交点为直线与椭圆的另一个交点为若和点共线，求
1、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
2、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
3、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
4．（2021·山东·高考真题）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．
5.（2022·全国甲（文）T21） 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
6、（2022·新高考Ⅰ卷T21） 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
（1）求l的斜率；
（2）若，求的面积．
7、（2022·新高考Ⅱ卷T21） 设双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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