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九上数学同步优质课件
人教版九年级上册
弧、弦、圆心角
第二十四章 圆
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点）
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.
（难点）
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
1.如图，O0的半径为13，弦AB的长度是24，ONLAB，垂足为N，则ON的长为( )
A.5 B.7 C.9 D.11
2.如图，O0的弦AB垂直平分半径0C，则四边形OACB是( )
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.以上答案都不对
A
B
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
2.圆心角∠AOB所对的弧为AB.
⌒
圆心角及相关概念
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
任意给圆心角，会对应出现哪几个量？
这三个量之间会有什么关系呢？
如图，⊙O(及⊙O1，⊙O2且r1=r2)中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧 和 、弦AB和弦A′B′相等吗？为什么？
如图，⊙O(及⊙O1，⊙O2且r1=r2)中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧 和 、弦AB和弦A′B′相等吗？为什么？
我们把∠AOB连同 绕圆心O旋转，使射线OA与OA′重合.
∵ ∠AOB=∠A′OB′
∴ 射线OB与OB′重合
又∵ OA=OA′，OB=OB′
∴ 点A与A′重合，点B与B′重合
因此， 与 重合，AB与A′B′重合
即 = ，AB=A′B′
圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
如果在同圆或等圆这个前提下，将定理中的题设和结论中的任何一项交换一下，结论还正确吗？
1.在⊙O中，如果 = ，那么__________________________；
2.在⊙O中，如果AB=A′B′，那么________________________.
∠AOB=∠A'OB'，AB=A'B'
∠AOB=∠A'OB'，
=
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
总结上面的三个结论，我们可以得到：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.
例1.如图，在⊙O中， ，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明：
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形.
又∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
∵AB=CD，
⌒ ⌒
如图，AB、CD是⊙O的两条弦.
(1)如果AB=CD，那么____________，_______.
(2)如果 ，那么____________，_______.
(3)如果∠AOB=∠COD，那么_______，_______.
(4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，
OE与OF相等吗？为什么？
解：OE=OF.理由如下：
∵ OE⊥AB，OF⊥CD，
∴ AE=AB，CF=CD
又∵ AB=CD，
∠AOB=∠COD
∠AOB=∠COD
AB=CD
AB=CD
∴ AE=CF
又∵ AO=CO，
∴ Rt△AOE≌Rt△COF(HL)
∴ OE=OF
例2.如图，已知的直径BA与弦DC的延长线交于点P，且，
,与的度数．
解：∵，
∴=
∵
∴==
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，∴．
解：
∵
如图，AB是⊙O的直径， ∠COD=35°，求∠AOE的度数．
·
A
O
B
C
D
E
例3.如图，在☉O中，已知∠AOB=90°，C,D将 三等分，弦AB与半径0C，OD分别交于点E，F.求证:AE=CD=BF.
证明:连接AC，BD
∵C，D将弧AB三等分，
∴AC=CD=BD
∵∠AOB=90°，且OA=OB
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°∠OAB=∠OBA=45°
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=45°+30°=75°
∵OA=OC, ∠AOC=30°，
∴∠ACO=×(180-30°)=75°
∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC
同理可得BF=BD，∴AE=CD=BF
证明:连接AG.
在□ABCD中，AD∥BC.
∴∠EAF=∠EBG, ∠FAG=∠AGB
又∵AB=AG
∴∠ABG=∠AGB
∴∠EAF=∠FAG
∴
如图，在□ ABCD中，以A为圆心AB为半径的圆交AD、BC于F、G两点，延长BA交圆于E.求证: .
1.如图，在☉O中， .若∠AOB=40°，则∠COD的度数为( )
A.20° B.40° C.50° D.60°
2.如图，在☉0中， ，∠A=30°，则∠B等于( )
A.15° B.60° C.75° D.150°
B
C
3.下列语句中，正确的有( )
①圆心角相等,所对的弧也相等;②圆心角相等，所对的弦也相等;③长度相等的两条弦所对的弧是等弧;④同圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.在半径为1的☉O中，长为的弦所对圆心角的度数为( )
A.145° B.135° C.90° D.90°或135°
A
C
5.如图，AB是☉O的直径，∠BOD=120°，点C为弧BD的中点,AC交OD于点E，DE=1，则AE的长为( )
A. B C.2 D.2
A
6.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于_______.
7.若一条弦把圆分成1:3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为______.
8.如图，AB是☉O的直径,AC，CD，DE，EF，FB都是☉O的弦，且AC=CD=DE=
EF=FB，则∠AOC=______,∠COF=______.
60°
90°
36°
108°
9.如图，已知在☉O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在☉O及半径OM、OP上，并且∠POM=45°，则正方形的边长为_______.
10.如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为的中点．
证明：，
，.
，
，
.
.
∴D为的中点．
11.如图,在⊙O中, ,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E.求证：AD＝BE．
证明：连接OC，
∵，
∴∠AOC=∠BOC.
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△COD与△COE中，
∵，
∴△COD≌△COE(AAS)，
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE.
12.如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求弦的长．
（1）证明：∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，
∴
∴∠ABD＝∠C，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠CBO＝∠ABD；
12.如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求弦的长．
（2）解：∵AE＝4，CE＝16，
∴OA＝10，OE＝6，
在Rt△OBE中，，
∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE＝16cm．
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
2.圆心角∠AOB所对的弧为AB.
⌒
圆心角及相关概念
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
总结上面的三个结论，我们可以得到：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.
谢谢
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