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九上数学同步优质课件
人教版九年级上册
圆周角
第二十四章 圆
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
1.理解圆周角的概念,会叙述并证明圆周角定理;
2.掌握圆内接四边形的性质;
3.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.(重点)
4.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.(难点)
2.如图，在☉O中，若 ，则AD=_____,AC=_____,
AB⊥____,∠AOD=______.
1.什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角, ∠AOD和∠BOD.
BD
BC
OD
∠BOD
足球场有句顺口溜：“冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好.”在射门游戏中(如图)，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.
在上图中，当球员在B，D，E处射门时他
所处的位置对球门AC分别形成三个张角
∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
如图，连接AO，BO，得到圆心角∠AOB.可以发现，∠ACB与∠AOB对着同一条弧 ，它们之间存在什么关系呢？
分别测量图中AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的度数，它们之间有什么关系？
在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？
猜想：可以发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.
在圆周角的内部
圆心O与圆周角∠ACB有几种不同的位置关系？
在圆周角的外部
在圆周角的一条边上
分析第(1)种情况：
OA=OC
∠A=∠C
∠BOC=∠A+∠C
∠A=∠BOC
分析第(2)种情况：
∠BAD=∠BOD①
连AO并延长交☉O于点D
由图(1)结论
∠CAD=∠COD②
①+②
∠BAC=∠BOC
分析第(3)种情况：
∠BAD=∠BOD④
连AO并延长交☉O于点D
由图(1)结论
∠CAD=∠COD③
③-④
∠BAC=∠BOC
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
例1.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.
证明：∵ ，
∴∠ACB=∠AOB
∵ ，
∴∠BAC=∠BOC
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC
如图，点C,D是☉O上任意两点，连接AC,BC,AD,BD.∠ACB与∠ADB相等吗？请说明理由.
解：∠ACB=∠ADB.理由如下：
连结OA、OB.
根据圆周角定理可得，
∠ACB=∠AOB，∠ADB=∠AOB
∴ ∠ACB=∠ADB.
如图，在☉O中，如果 ，那么∠E与∠F相等吗？请说明理由.
解：∠E=∠F.理由如下：
连结OA、OB、OC、OD.
∵
∴∠AOB=∠COD
∵∠E=∠AOB，∠F=∠COD
∴∠E=∠F.
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等.
如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点(除点A、B外)，那么∠ABC就是半圆(直径AB)所对的圆周角，你能求出∠ACB的度数吗？
方法一：
解：∵半圆所对的圆心角为180°
∴∠AOB=180°
∴∠ACB=∠AOB=×180°=90°
如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点(除点A、B外)，那么∠ABC就是半圆(直径AB)所对的圆周角，你能求出∠ACB的度数吗？
方法二：
解：连结OC.
∵OA=OB=OC
∴△AOC、△BOC都是等腰三角形
∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB
又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°
推论2：
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
例2.如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
(1)求证：∠ACO＝∠BCD．
(2)若BE＝3，CD＝8，求BC的长．
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：∵AB⊥CD，
∴，
∴．
例3.如图，已知为的直径，，为上两点，，连接，过点作，垂足为点，求证：．
解：连接DO并延长交⊙O于G，连接DC，DB，延长DE交⊙O于F，
∵AB为⊙O的直径，
∴DE=DF，，
∵，
∴DG⊥AC，∠C=∠B，，
例3.如图，已知为的直径，，为上两点，，连接，过点作，垂足为点，求证：．
∵∠1+∠C=90°，∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2，
∴，
∴，
∴AC=DF，
∴DE=AC．
例4.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、BD的长.
解：连接OD.
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中，
BC=(cm)
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
例4.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、BD的长.
∴∠AOD=∠BOD
∴AD=BD
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2
∴AD=BD=AB=×10=5(cm)
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
如图，连接OB，OD.
∵∠A所对的弧为 ，∠C所对的弧为 又 和 所对的圆心角的和是周角
∴∠A+∠C= =180°
同理∠B+∠D=180°
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
1.如图，☉O中，∠BOC=78°，则∠BAC的度数是( )
A.156° B.78° C.39° D.12°
2.如图,A，B，C，D是☉O上的点，则图中与∠A相等的角是( )
A.∠B B.∠C C.∠DEB D.∠D
C
D
3.如图，AB是☉O的直径，点C、D在☉O上，∠BDC=20°,则∠AOC的大小为( )
A.40° B.140° C.160° D.170°
4.如图，☉O中，OC⊥AB，∠APC=28°，则∠BOC的度数为( )
A.14° B.28° C.42° D.56°
B
D
5.如图，∠AOB=100°，若点C在☉O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为( )
A.50° B.50°或130°
C.130° D.80°或50°
6.如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，∠ADC=106°，则∠CAB等于( )
A.10° B.14° C.16° D.26°
B
C
7.如图，四边形ABCD内接于☉O.若 ，∠BDC=50°,则∠ADC的度数是( )
A.125° B.130° C.135° D.140°
B
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.
解：∵ 四边形ABCD内接于⊙O
∴ ∠B+∠ADC=180°
∴ ∠ADC=180°-∠B=180°-110°=70°
∵ ∠ADE+∠ADC=180°
∴ ∠ADE=180°-∠ADC=180°-70°=110°
9.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的O0交BC于点D，求证:BD=CD.
证明:连接AD
∵AB为O0的直径
∴∠ADB=90°
即AD⊥BC
又∵AB=AC
∴BD=CD
10.已知如图，在中，AB为直径，，，．
(1)求的度数．
(2)求CD的长．
（1）解： ，
（2）解：
谢谢
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