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《充分条件与必要条件》知识探究
探究点1 充分条件与必要条件
一般地,“若,则”为真命题,是指由通过推理可以得出,这时,我们就说,由可推出,记作,并且说是的充分条件,是的必要条件.
【要点辨析】
1.对于命题“若,则”的条件和结论,我们都视为条件,只看推出符号“”的方向,箭尾是箭头的充分条件,箭头是箭尾的必要条件.
2.若,则是的充分条件.所的充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立".
3.若,则是的必要条件.所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少的,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”.
4.如果“若,则”为假命题,那么由推不出,记作.此时,我们就说不是的充分条件,不是的必要条件.
5.这里的“必要条件”是数学名词,在高中数学中大量使用.设是两个命题,若则,就把称为的必要条件.有了条件,不一定能得到结论,可是,如果连条件都不具备,结论一定不成立.可见,此处使用“必要条件”一词,既符合数学含义,又言简意赅.
学科素养:通过典型数学命题理解充分条件与必要条件的概念，提升数学抽象核心素养.
典例1[概括理解能力]①(2019-云南曲靖一中月考)用符号“”或“”填空:①________;②都是偶数______是偶数.
(2)(2019-河南焦作一中月考)设计如图所示的四个电路图,条件“开关闭合”;条件灯泡亮,则是的充分不必要条件的电路图是________.(填序号)
解析:(1)理解充分条件与必要条件的定义是解决此题的关键.(1)命题“若,则”是假命题,故.
②命题“若都是偶数,则是偶数”是真命题,故,都是偶数是偶数.
(2)此题是用“条件”和“结论”之间的关系解释生活中的现象.故将电路问题转化为命题之间的关系:若且,那么是的充分不必要条件,若且,那么是的必要不充分条件.
①开关闭合则灯泡亮,反之,灯泡亮不一定有开关闭合,故,但,所以是的充分不必要条件.
②是的充要条件.③开关与灯泡串联,是的必要不充分条件.④开关闭合则灯泡亮,反之,灯泡亮不一定有开关闭合,∴,但是的充分不必要条件.
答案:(1)(2)①④
探究点2 充要条件
一般地,如果既有,又有,就记作.此时,我们说,是的充分必要条件,简称充要条件.
(1)如果是的充要条件,那么也是的充要条件,也就是说,如果,那么与互为充要条件.
(2)根据条件与结论的关系判定的常用结论
学科素养:以命题的形式,判断是的充要条件,提升逻辑推理核心素养.
典例2[推测解释能力]下列各小题中,是的充要条件的是( )
①或:方程有两个不同的实数根;
②;
③:两个三角形相似,:两个三角形全等;
④.
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
点拨：理解充要条件的定义是解决此题的关键.对于以否定形式给出的命题要注意利用其肯定形式的等价命题来推断.由题目可获取以下主要信息:（1）给出两个基本语句.(2)判定前者是后者的充要条件是否成立.解答本题时既要判断是否成立,又要判断是否成立.
解析：
①:方程有两个不同实数根或.②,但,故是的充分不必要条件.③两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等两个三角形相似,故是的必要不充分条件.④.
答案：
探究点3 从集合角度看充分条件、必要条件
设集合,若具有性,则;若具有性质,则.若,就是说具有性质,则必具有性质,即.类似地,与等价,与等价.
【要点辨析】
如果把研究的范围看成集合,把研究的范围看成集合,则可得下表:
学科素养:从集合角度理解充分条件、必要条件，提升逻辑推理核心素养.
典例3、[简单问题解决能力（2019-湖北武汉月考)用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”填空:
(1),则是的
(2):平行四边形,:正方形,则是的
(3),则是的
解析：理解充分条件、必要条件的判定方法,掌握集合语言是解决问题的关键.(1)令.设,或.由图(1)可知,且是的既不充分也不必要条件.
(2)令.由图(2)可知,,.∴是的必要不充分条件.
(3)令,设,,如图(3),则是的必要不充分条件.
答案：(1)既不充分又不必要条件(2)必要不充分条件（3）必要不充分条件
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