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2022年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．（2分）计算结果是212的式子是（　　）
A．25+27 B．224÷22 C．23×24 D．（22）6
3．（2分）下列代数式的值总不为0的是（　　）
A．x+2 B．x2﹣2 C． D．（x+2）2
4．（2分）某班学生一周参加体育锻炼的时间统计如表，则该班学生一周锻炼时间的众数、中位数（单位：h）分别是（　　）
时间/h 6 7 8 9
人数 2 14 18 6
A．8，8 B．8，7 C．6，16 D．8，7.5
5．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，以下结论正确的是（　　）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 0 ﹣1 m 4 …
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
D．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
6．（2分）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+x+n＝mx的两个实数根，若x1＜x2＜0，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）2021年面对复杂严峻的国际环境和国内疫情散发等多重考验，全年国内生产总值约为114367000000000元，创历史新高．用科学记数法表示114367000000000是 　 　．
8．（2分）计算的结果是 　 　．
9．（2分）将半径为5cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 　 　cm．
10．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是 　 　．
11．（2分）如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，顶点A，D分别在函数y1＝﹣（x＜0），y2＝（x＞0）的图象上．若∠BCD＝150°，则A的坐标为 　 　．
12．（2分）如图，正六边形ABCDEF与平行四边形GHMN的位置如图所示，若∠ABG＝19°，则∠NMD的度数是 　 　°．
13．（2分）已知一组数据a、b、c、d、e方差为2，则另一组数据3a、3b、3c、3d、3e方差为　 　．
14．（2分）在平面直角坐标系中，将函数y＝4x的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为 　 　．
15．（2分）已知点（﹣2，m）、（2，p）和（4，q）在二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象上．若pq＜0，则p，q，m
的大小关系是 　 　（用“＜”连接）．
16．（2分）在△ABC中，AB＝2，AC＝1，BC＝．若点P在△ABC内部（含边界）且∠PBC≤∠PCB≤∠PBA，则所有满足条件的P组成的区域的面积为 　 　．
三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）﹣14+（π﹣2022）0+2sin60°﹣|1﹣|；
（2）化简（﹣）÷，并从﹣1≤x＜3中选出合适的整数值代入求值．
18．（7分）（1）解方程：x2+x﹣1＝0．
（2）直接写出二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的坐标；
（3）直接写出不等式x2+x﹣1＞0的解集．
19．（8分）有人得了某种疾病，想到甲医院或乙医院就诊，他了解到甲、乙两家医院短期内治愈患该疾病的病人的情况如表：
重症病人比例 重症治愈率 轻症病人比例 轻症治愈率 总治愈率
甲医院 20% 10% 80% 80% a%
乙医院 80% b% 20% 95% 59%
（1）a的值为 　 　，b的值为 　 　；
（2）结合上表说明“从不同角度看数据可能会得到不同的结论”．
20．（8分）2022年北京冬奥会用全新的方式向世界展示了一个文化自信、底蕴深厚的中国．小明和小颖都比较感兴趣的有：花样滑冰、冰壶、短道速滑、冬季两项，依次记为项目A，B，C，D．他们各自随机观看其中的两个项目．
（1）求小明观看的项目是A，B的概率；
（2）小明和小颖观看的项目完全不相同的概率是 　 　．
21．（8分）小明去图书馆借书，到达后发现借书卡没带，于是他跑步回家，拿到借书卡后骑车返回图书馆．已知图书馆离小明家1650m，小明骑车时间比跑步时间少5.5min，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，求小明跑步的平均速度．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为线段AB上一动点，CF⊥CE交△ACE的外接圆于点F，连接AF，其中AC＝3，BC＝4．
（1）求证：△CFA∽△CEB；
（2）当E从B运动到A时，F运动路径的长为 　 　．
23．（8分）如图①，某儿童医院门诊大厅收费处正上方的“蜘蛛侠”雕塑有效缓解了就医小朋友的紧张情绪．为了测量图②中“蜘蛛侠”BE的长度，小莉在地面上F处测得B处、E处的仰角分别为37°、56.31°．已知∠ABE＝45°，F到收费处OA的水平距离FC约为16m，且F与BE确定的平面与地面垂直．求“蜘蛛侠”BE的长度．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，tan56.31°≈1.50．）
24．（8分）尺规作图：如图，在 ABCD的边AD上求作点P，使P分别满足以下要求：
（1）BP＝CP；
（2）BP＝AP+BC．
25．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．
（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 　 　；
②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 　 　；
③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 　 　．
（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．
26．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝8，＝，点I为△ABC的内心，求GI的长．
27．（9分）藏宝地之谜．
从前，一个年轻人在他先祖的遗物中发现了一张记录着藏宝地的羊皮纸，上面写着：某荒岛上有一株橡树A和一株松树B，还有一座木桩P，从木桩P走到橡树A，记住所走的步数，到了橡树A向左拐个直角再走这么多步，在这里打个桩，记为C．从木桩P再朝松树B走去，记住所走的步数，到了松树B向右拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩，记为D．桩C，D的正当中就是宝藏的位置Q．根据指示，这个年轻人找到了荒岛上的橡树和松树，但可惜木桩已腐烂成土，一点痕迹也看不出了．他只能乱挖起来，但是地方太大了，一切只是徒劳，他只好抱憾而归．聪明的读者，你有办法找到宝藏吗？
不妨任取一个位置作为P，根据材料画出如图．
（1）以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．不妨设点B的坐标为（10，0）．
①若P的坐标为（6，10），则Q的坐标为 　 　；
②若P的坐标为（﹣4，8），则Q的坐标为 　 　；
…
（2）猜想当P在不同位置时，Q的位置是否随之变化．
（3）写出证明（2）中猜想的思路．
（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为 　 　，可使（2）中的猜想仍然成立．
2022年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．【解答】解：A．因为＝，所以5m＝4n，故此选项不符合题意；
B．因为＝，所以mn＝20，故此选项不符合题意；
C．因为＝，所以5m＝4n，故此选项不符合题意；
D．因为＝，所以4m＝5n，故此选项符合题意．
故选：D．
2．【解答】解：25+27≠212，故选项A不符合题意；
224÷22＝222，故选项B不符合题意；
23×24＝27，故选项C不符合题意；
（22）6＝212，故选项D符合题意；
故选：D．
3．【解答】解：A．当x＝﹣2时，x+2＝0，故本选项不合题意；
B．当x＝时，x2﹣2＝0，故本选项不合题意；
C．在分式中，因为x+2≠0，所以分式≠0，故本选项符合题意；
D．当x＝﹣2时，（x+2）2＝0，故本选项不合题意；
故选：C．
4．【解答】解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为8，
因为该班有40名同学，所以中位数为第20和21名同学锻炼时间的平均数，第20名同学的时间为8h，第21名同学的时间为8h，
所以中位数为＝8．
故选：A．
5．【解答】解：由表格可得，
二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1，
∴顶点坐标为（1，﹣1），该抛物线开口向上，故选项A错误，不符合题意；
当1＜x＜3时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项B错误，不符合题意；
当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，故选项C错误，不符合题意；
方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
6．【解答】解：一元二次方程x2+x+n＝mx化为一般形式，
得x2+（1﹣m）x+n＝0，
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+x+n＝mx的两个实数根，
∴x1+x2＝m﹣1，x1x2＝n，
∵x1＜x2＜0，
∴x1+x2＜0，x1x2＞0，
∴m﹣1＜0，n＞0，
∴m＜1，n＞0，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．【解答】解：114367000000000＝1.14367×1014．
故答案为：1.14367×1014．
8．【解答】解：
＝（）×（）
＝3×（）×（）
＝3×（3﹣2）
＝3×1
＝3．
故答案为：3．
9．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为rcm，依题意，得：
2πr＝，
解得r＝．
故答案为：．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
11．【解答】解：作DE⊥x轴于E，
设DE＝n，则A、D的纵坐标为n，
∵顶点A，D分别在函数y1＝﹣（x＜0），y2＝（x＞0）的图象上．
∴A（﹣，n），B（，n），
∴AB＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝，
∵∠BCD＝150°，
∴∠DCE＝30°，
∴DE＝CD，即n＝，
解得n＝2（负数舍去），
∴A（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
12．【解答】解：∵四边形GHMN是平行四边形，
∴GH∥MN，
∴∠NMD＝∠H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝∠BCD＝（6﹣2）×180°×＝120°，
∴∠BCH＝180°﹣∠BCD＝60°，
∵∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣19°＝101°，
∴∠H＝∠GBC﹣∠BCH＝101°﹣60°＝41°，
∴∠NMD＝41°，
故答案为：41．
13．【解答】解：设一组数据a、b、c、d、e的平均数为，方差是s2＝2，
则另一组数据3a、3b、3c、3d、3e的平均数为′＝3，方差是s′2，
∵S2＝ [（a﹣）2+（b﹣）2+…+（e﹣）2]＝2，
∴S′2＝ [（3a﹣3）2+（3b﹣3）2+…+（3e﹣3）2]，
＝ [9（a﹣）2+9（b﹣）2+…+9（e﹣）2]，
＝9× [（a﹣）2+（b﹣）2+…+（e﹣）2]，
＝9S＝9×2＝18．
故答案为：18
14．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将函数y＝4x的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为：y＝4（x﹣1）＝4x﹣4；
故答案为：y＝4x﹣4．
15．【解答】解：∵A（﹣2，m）、B（2，p）和C（4，q）在二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象上．
且pq＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，且对称性直线x＝a（1＜a＜2），如图所示，
观察图象可知：m＜q＜p．
故答案为：m＜q＜p．
16．【解答】解：如图，作△ABC，作BC的垂直平分线DE交∠ABC的角平分线BD于点D，作△BCD的外接圆弧，圆心为O，连接OB，OC，OE，
∵AB＝2，AC＝1，BC＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵sin∠A＝＝，
∴∠A＝60°，∠ABC＝30°，
∵∠PBC≤∠PBA，
∴点P在BD左侧，
∵∠PBC≤∠PCB，
∴点P在DE下侧，
∵BC＝，
∴CE＝，
∵∠DBE＝∠ABC＝15°，
∴∠BDE＝90°﹣∠DBE＝75°，
∴∠BDC＝2∠BDE＝150°，
当点P在圆弧CD上时，∠BPC＝∠BDC＝150°，
∴∠PBC+∠PCB＝30°，
∵∠PBC+∠PBA＝30°，
∴∠PCB＝∠PBA，
∵∠PCB≤∠PBA，
∴点P在圆弧内侧，
∵OB＝OC＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∴∠OBE＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝，∠OCD＝30°，
在Rt△OCE中，由勾股定理可得：
OE＝＝，
∴S扇形OCD＝π OB2＝π，S△OCD＝CE OE＝，
∴点P组成的区域的面积为π﹣，
故答案为：π﹣．
三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：（1）原式＝﹣1+1+2×﹣（﹣1）
＝﹣1+1+﹣+1
＝1；
（2）原式＝[﹣]÷
＝
＝﹣，
∵（x+1）（x﹣1）≠0且x﹣2≠0，
∴x≠±1且x≠2，
∴可取x＝0，
则原式＝1．
18．【解答】解：（1）x2+x﹣1＝0
x2+x＝1，
x2+x+＝1+，
（x+）2＝，
x1＝﹣+，x2＝﹣．
（2）令x2+x﹣1＝0，
解得x1＝﹣+，x2＝﹣．
∴抛物线y＝x2+x﹣1与x轴交点坐标为（﹣+，0），（﹣，0）．
（3）∵抛物线开口向上，
∴x＜﹣﹣或x＞﹣+．
19．【解答】解：（1）设看病的人数有x人，根据题意得：
a%＝×100%＝66%，
即a＝66；
×100%＝59%，
解得：b＝50；
故答案为：66，50；
（2）从总治愈率来看，甲医院比乙医院高；从重症治愈率来看，乙医院比甲医院高得多．（答案不唯一）．
20．【解答】解：（1）小明观看的项目共有AB、AC、AD、BC、BD、CD这六种等可能结果，其中小明观看的项目是A，B的只有1种结果，
所以小明观看的项目是A，B的概率为；
（2）列表如下：
AB AC AD BC BD CD
AB （AB，AB） （AC，AB） （AD，AB） （BC，AB） （BD，AB） （CD，AB）
AC （AB，AC） （AC，AC） （AD，AC） （BC，AC） （BD，AC） （CD，AC）
AD （AB，AD） （AC，AD） （AD，AD） （BC，AD） （BD，AD） （CD，AD）
BC （AB，BC） （AC，BC） （AD，BC） （BC，BC） （BD，BC） （CD，BC）
BD （AB，BD） （AC，BD） （AD，BD） （BC，BD） （BD，BD） （CD，BD）
CD （AB，CD） （AC，CD） （AD，CD） （BC，CD） （BD，CD） （CD，CD）
由表知，共有36种等可能结果，其中小明和小颖观看的项目完全不相同的有6种结果，
所以小明和小颖观看的项目完全不相同的概率为＝，
故答案为：．
21．【解答】解：设小明跑步的平均速度为xm/min，则小明骑车的平均速度为1.5xm/min，
根据题意得：﹣＝5.5，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意．
答：小明跑步的平均速度为100m/min．
22．【解答】（1）证明：∵CE⊥CF，
∴∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCE，
∵∠AFC+∠AEC＝180°，∠CEB+∠AEC＝180°，
∴∠AFC＝∠CEB，
∴△CFA∽△CEB；
（2）解：在Rt△ACB中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵△CFA∽△CEB，
∴＝，∠CAF＝∠B，
∴AF＝BE，
∴点F的运动轨迹是射线AF，
∴当E从B运动到A时，F运动路径的长为×5＝，
故答案为：．
23．【解答】解：过点E作EG⊥CF于点G，EH⊥AC于点H，
在Rt△BCF中，∠BFC＝37°，CF＝16m，
tan∠BFC＝tan37°＝≈0.75，
∴BC＝12．
∵∠ABE＝45°，
∴BH＝EH，
设BH＝EH＝CG＝x m，
在Rt△EFG中，EG＝HC＝（12+x）m，FG＝（16﹣x）m，∠EFG＝56.31°，
tan∠EFG＝tan56.31°＝≈1.50，
解得x＝4.8，
经检验，x＝4.8为原方程的解，且符合题意，
∴BH＝4.8m，
在Rt△BEH中，sin∠HBE＝sin45°＝，
解得BE＝．
则“蜘蛛侠”BE的长度为m．
24．【解答】解：（1）如图1在中，点P即为所求；
（2）如图2中，点P即为所求．
25．【解答】解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣2x+3，
①y＝x2﹣2x+3
＝x2﹣2x+1+2，
＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）；
②y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
所以最小值为2，
故答案为：2；
③y＝x2﹣2x+3，
当2≤x≤5时，在对称轴x＝1的右侧，
y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，取最小值y＝22﹣2×2+3＝3，
故答案为：3；
（2）∵对称轴为x＝，
当m＜﹣1时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝﹣1时，有最小值1，
∴1＝（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+3，
解得m＝；
当1﹣≤m≤3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝m时，有最小值1，
∴1＝m2﹣2m×m+3，
∴m＝，
∵﹣1≤m≤3，
∴m＝；
当m＞3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝3时，有最小值1，
∴1＝32﹣2m×3+3，
解得m＝＜3，舍去．
综上所述，m＝或．
26．【解答】（1）证明：连接OG，
∵∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，
∴∠BAG＝∠CAG，
∴＝，
∴OG⊥BC，
∵DE∥BC
∴OG⊥EF，
∵OG是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：连接BI，BG，
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC，
∴∠BAI＝∠CBG，
∴∠BIG＝∠GBI，
∴BG＝IG，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADG，
∴＝＝，
∵AG＝8，
∴AF＝6，
∴FG＝2，
∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG，
∴△BGF∽△AGB，
∴＝，
∴＝，
∴BG＝4（负值舍去），
∴GI的长为4．
27．【解答】解：（1）①如图1，过点P作PE⊥AB于E，
∵∠PAC＝∠PAE+∠CAO＝90°，∠PAE＝∠APE＝90°，
∴∠APE＝∠CAO，
∵AP＝AC，∠AEP＝∠AOC＝90°，
∴△AEP≌△COA（AAS），
∴CO＝AE＝10+6＝16，
同理得△PEB≌△BOD（AAS），
∴OD＝BE＝10﹣6＝4，
∴CD＝16﹣4＝12，
∵Q是CD的中点，
∴Q（0，10）；
故答案为：（0，﹣10）；
②如图2，过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，
同①得△AFP≌△CGA，△BFP≌△DEB，
∴CG＝AF＝10﹣4＝6，AG＝PF＝8，DE＝BF＝10+4＝14，BE＝PF＝8，
∴C（﹣2，﹣6），D（2，﹣14），
∵Q是CD的中点，
∴Q（0，﹣10）；
故答案为：（0，﹣10）；
（2）猜想：当P在不同位置时，Q的位置不变；
（3）如图3，以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设点B的坐标为（m，0），A（﹣m，0），P（x，y），
过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，
同①得△AFP≌△CGA，△BFP≌△DEB，
∴CG＝AF＝x+m，AG＝PF＝y，DE＝BF＝m﹣x，BE＝PF＝y，
∴C（y﹣m，﹣x﹣m），D（m﹣y，x﹣m），
∵Q是CD的中点，
∴Q（0，﹣m）；
∴当P在不同位置时，Q的位置不变；
（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为再走这么多步，可使（2）中的猜想仍然成立．理由如下：
如图4，以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设点B的坐标为（m，0），A（﹣m，0），P（x，y），
过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，
同①得△AFP∽△CGA，△BFP∽△DEB，相似比为2，
∴CG＝AF＝x+m，AG＝PF＝y，DE＝BF＝m﹣x，BE＝PF＝y，
∴C（y﹣m，﹣ x﹣m），D（m﹣y， x﹣m），
∵Q是CD的中点，
∴Q（0，﹣ m）；
∴当P在不同位置时，Q的位置不变；
故答案为：再走这么多步．

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