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函数的定义域与值域的常用方法
一. 教学内容：
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值.
二. 学习目标
1、进一步理解函数的定义域与值域的概念；
2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式；
3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值；
4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用；
5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题；
6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。
三. 知识要点
（一）求函数的解析式
【典型例题】
考点一：求函数解析式
1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1. 已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。
解：由4x2－9y2＝36可解得：
。
2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。
例2：已知是二次函数，若且试求的表达式。
解析：设 (a0)
由得c=0 由 得
整理得
得
(三)配凑法
已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。
例3：已知求的解析式。
分析：可配凑成可用配凑法
解：由
令
则即
当然，上例也可直接使用换元法
令则
得
即
4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。
例4. 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。
解：由题意知：当x∈［0，1］时：y＝x；
当x∈（1，2）时：；
当x∈（2，3）时：；
故综上所述，有
（六）赋值法
赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。
其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。
例5：已知求。
解析：令
则
令
则
小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。
总之，求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法等。如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；已知复合函数解析式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值范围；当已知的表达式比较简单时，可用配凑法；若已知抽象的函数表达式，根据题目的条件特征，可用赋值法或解方程组消元的方法求解析式.
（二）求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；
3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；
5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；
考点二：求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
例6. 求的定义域。
解：由题意知：，从而解得：x>－2且x≠±4.故所求定义域为：
{x|x>－2且x≠±4}。
2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。
例7. 已知函数由下表给出，求其定义域
X 1 2 3 4 5 6
Y 22 3 14 35 －6 17
解：{1，2，3，4，5，6}。
3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。
解：
又由于x2－4x＋3>0 **
联立*、**两式可解得：
例9. 若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。
解：由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：2－1≤2x≤2，所以f（x）的定义域为［2－1，2］，故log2x∈［2－1，2］，解得，故定义域为。
4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。
例10. 求函数的定义域。
解：若，则x∈R；
若，则；
若，则；
故所求函数的定义域：
当时为R，当时为，当时为。
说明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。
考点三：求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。
1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；
2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；
3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；
4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；
5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；
6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；
设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（xo）＝M，则称当x＝xo时
取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N；
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；
3、闭区间的连续函数必有最值。
一、观察法：
对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数 的解析式，求得函数的值域.
求函数的值域。
解：,
练习：求下列函数的值域
；
；
配方法；
配方法是二次函数求值域最常用的方法
例2 求函数
解：
由图像可知，函数的
值域为
练习题：
分离常数法
求以下函数的值域
(1)
解：（1）
（2）
练习：
换元法求函数值域
例4
，
则原式可以化简为：
由f(1)=1,
练习：
五、判别式法求函数值域
例5、求以下函数的值域
解：
化简得：
①
②
y
综上函数的值域为
练习：
（2）
（3）

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