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高一上学期期中考试复习材料
二次函数与一元二次方程 、 不等式
【知识要点汇总】
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2）①若，解集为.
②若，解集为.
③若，解集为.
（3）当时，二次函数图象开口向下.
①若，解集为
②若，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【★熟记★】
1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【期中真题训练】
1．（2021·福建福州·高一期中）若一元二次不等式的解集为，则（ ）
A．5 B．6 C． D．1
2．（2021·福建福州·高一期中）若某商店将进货单价为元的商品按每件元出售.则每天可销售件.现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价每提高元，销售量就要减少件，那么要保证该商品每天的利润在元以上，售价应定为（ ）
A．元 B．元到元之间
C．元 D．元到元之间
3．（2021·全国·高一期中）下列各组不等式，同解的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
4．（2021·福建·福州黎明中学高一期中）不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
5．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高一期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·福建·厦门一中高一期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
8．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
9．（2022·福建·厦门一中高一期中）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·福建·泉州市第六中学高一期中）已知关于的不等式对任意恒成立，则有（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·福建泉州·高一期中）正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·福建师大附中高一期中）（多选题）已知不等式的解集是，以下结论正确的有（ ）
A．b<0 B．c>0 C．4a+2b+c<0 D．
13．（2021·福建·福州三中高一期中）（多选题）已知不等式的解集是，则（ ）
A． B．
C． D．不等式的解集是
14．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·福建福州·高一期中）已知“，使得”是假命题，则实数的a取值范围为________．
16．（2021·福建福州·高一期中）已知命题，恒成立，则取值范围为_______________.
17．（2021·福建·福州三中高一期中）不等式的解集是_______________.
18．（2021·福建省福州延安中学高一期中）已知不等式的解集为，则实数的取值范围为__________.
19．（2021·福建省福州第八中学高一期中）已知，若不等式的解集为，已知，则的取值范围为________.
20．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是___________.
21．（2021·福建福州·高一期中）设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围为___________.
22．（2021·山东省淄博实验中学高一期中）设，不等式的解集是，则=_____；若对于，不等式有解，则实数t的取值范围为_____.
23．（2021·福建·莆田一中高一期中）已知不等式的解集为，则__________，的最小值为__________.
24．（2021·福建省福州第一中学高一期中）设函数.
(1)若在单调递增，求实数m的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
25．（2021·福建福州·高一期中）已知函数，.
(1)若的解集为，求的值；
(2)当时，且，若，，恒成立，求的取值范围.
26．（2021·福建福州·高一期中）（1）若命题：，是假命题，求的取值范围．
（2）解关于的不等式：．
27．（2021·福建福州·高一期中）已知二次函数的图象与x轴交于点和，与y轴交于点.
(1)求二次函数的解析式；
(2)若关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围.
28．（2021·福建·闽侯县第二中学高一期中）对于函数，若满足（k为常效）成立的x取值范围所构成的集合A称为函数的“k倍集合”，已知二次函数．
(1)当时，求函数的“2倍集合”；
(2)若函数，是否存在实数a，使得最小值为5？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
29．（2021·福建福州·高一期中）函数，
(1)当时，若，求实数n的值
(2)若的解集是或，求实数m，n的值
(3)若，且对一切实数R恒成立，求实数m的取值范围.
30．（2021·福建福州·高一期中）已知不等式．
(1)若不等式的解集是或，求的值；
(2)若不等式的解集是，求的取值范围．
31．（2021·福建省福州第八中学高一期中）已知一次函数.
(1)求解不等式：；
(2)若在上恒成立，求实数m的取值范围.
32．（2021·福建省福州延安中学高一期中）已知函数，
(1)若的解集是，求a，b的值；
(2)若，解关于x的不等式．
33．（2021·福建福州·高一期中）已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，成立，求实数的取值范围.
34．（2021·福建·厦门双十中学高一期中）二次函数满足，从条件①和条件②中选择一个作为已知．
（1）求的解析式；
（2）在区间上，的图象总在直线的上方，求实数m的取值范围．
①；②不等式的解集为．
注∶如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
35．（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）已知二次函数，且是函数的零点．
（1）求的解析式；
（2）解不等式．
36．（2022·福建·厦门一中高一期中）解下列不等式：
（1）；
（2）．
37．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于的不等式.
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）当时，求关于的不等式的解集.
38．（2021·福建·闽侯县第二中学高一期中）已知二次函数.
（1）若在区间上单调递增，求实数k的取值范围；
（2）若，当时，求的最大值；
（3）若在上恒成立，求实数k的取值范围.
39．（2021·福建·莆田第五中学高一期中）已知函数．
（1）设，求在区间上的最小值；
（2）求不等式的解集．
40．（2021·福建·莆田二中高一期中）二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)若不等式在区间，上恒成立，求实数的取值范围.
41．（2021·福建省永春第二中学高一期中）若不等式的解集是．
（1）解不等式；
（2）b为何值时，的解集为R．
42．（2021·福建·泉州现代中学高一期中）已知关于x的不等式的解集为或.
(1)求a，b的值；
(2)当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.
43．（2021·福建泉州·高一期中）已知二次函数.
（1）若的解集为，解关于的不等式.
（2）若对任意，恒成立，求的最大值.
（3）已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.
44．（2021·福建·华中师大惠安亮亮中学高一期中）已知不等式的解集为或．
（1）求；
（2）解不等式．
45．（2021·福建·漳州三中高一期中）已知二次函数．
（1）若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围：
（2）解关于x的不等式（其中）．高一上学期期中考试复习材料
二次函数与一元二次方程 、 不等式
【知识要点汇总】
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2）①若，解集为.
②若，解集为.
③若，解集为.
（3）当时，二次函数图象开口向下.
①若，解集为
②若，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【★熟记★】
1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【期中真题训练】
1．（2021·福建福州·高一期中）若一元二次不等式的解集为，则（ ）
A．5 B．6 C． D．1
【答案】A
一元二次不等式的解集为
即方程有两个根为
由韦达定理得到
解得
故得到.
故选：A.
2．（2021·福建福州·高一期中）若某商店将进货单价为元的商品按每件元出售.则每天可销售件.现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价每提高元，销售量就要减少件，那么要保证该商品每天的利润在元以上，售价应定为（ ）
A．元 B．元到元之间
C．元 D．元到元之间
【答案】B
设售价为，利润为，
则，
由题意，
即，
解得，
即售价应定为元到元之间，
故选：B.
3．（2021·全国·高一期中）下列各组不等式，同解的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
对于A：由可得，解得：，所以的解集为：，由可得，即，
所以，解得：或，所以不等式的解集为，所以解集不同，故选项A不正确；
对于B：由可得：，即，解集为：，不等式的解集为，所以解集不同，故选项B不正确；
对于C：由可得，解得：且，所以不等式的解集为且，而不等式的解集为，所以解集不同，故选项C不正确；
对于D：由解得：或，所以不等式的解集为或，由可得，所以，因为，所以，所以，解集为或，所以解集相同，故选项D正确；
故选：D.
4．（2021·福建·福州黎明中学高一期中）不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】D
不等式等价于，即，且，解得，
故不等式的解集为，
故选：D．
5．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高一期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
的解集为,则
的根为，即，，
解得，
则不等式可化为，即为，
解得或，
故选：A.
6．（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
当时，符合题意；
当时，，即解得，
综上，实数的取值范围是
故选：C
7．（2022·福建·厦门一中高一期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】B
8．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
【答案】B
因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
9．（2022·福建·厦门一中高一期中）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
令，对一切均大于0恒成立，
所以 ，或，
或，
解得或，，或，
综上，实数的取值范围是，或.
故选：A.
10．（2021·福建·泉州市第六中学高一期中）已知关于的不等式对任意恒成立，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为关于的不等式对任意恒成立，
所以，
令，，
所以当时，取得最小值，
所以
故选：A
11．（2021·福建泉州·高一期中）正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为正数，满足
所以
所以
当且仅当，即，时取等号
所以
若不等式对任意实数恒成立
则对任意实数恒成立
即对任意实数恒成立
因为
所以
故选：A.
12．（2021·福建师大附中高一期中）（多选题）已知不等式的解集是，以下结论正确的有（ ）
A．b<0 B．c>0 C．4a+2b+c<0 D．
【答案】BD
由不等式的解集是，知：是的两个零点且即函数图象开口向下，
∴，即且，
∵，所以D正确.
故选：BD.
13．（2021·福建·福州三中高一期中）（多选题）已知不等式的解集是，则（ ）
A． B．
C． D．不等式的解集是
【答案】AC
因为不等式的解集是，
所以是方程的两个根，所以，且，所以A正确；
所以，所以，所以B错误；
当时，此时，所以C正确；
把代入不等式，可得，
因为，所以，即，此时不等式的解集显然不是，所以D不正确.
故选：AC.
14．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
对A，不等式的解集为，
故相应的二次函数的图象开口向下，
即，故A错误；
对B，C，由题意知： 和是关于的方程的两个根，
则有，，
又，故，故B，C正确；
对D，，
，
又，
，故D正确.
故选：BCD.
15．（2021·福建福州·高一期中）已知“，使得”是假命题，则实数的a取值范围为________．
【答案】
∵“，使得”是假命题，
∴命题“ x∈R，使”是真命题，
∴判别式，
∴.
故答案为：．
16．（2021·福建福州·高一期中）已知命题，恒成立，则取值范围为_______________.
【答案】
因为，恒成立，当时，恒成立；
当时，，解得；
综上可得
故答案为：
17．（2021·福建·福州三中高一期中）不等式的解集是_______________.
【答案】
∵，所以，即，解得，
∴不等式的解集是.
故答案为：.
18．（2021·福建省福州延安中学高一期中）已知不等式的解集为，则实数的取值范围为__________.
【答案】
因为不等式的解集为，故，故，
故答案为：.
19．（2021·福建省福州第八中学高一期中）已知，若不等式的解集为，已知，则的取值范围为________.
【答案】
因为不等式的解集为,
所以的解集为,
当,即时,不等式化为,所以,所以,满足;
当,即或时,函数在上恒成立,
所以满足;
当,即时,二次函数的图象开口向下,
要使,只需 ,化简得,解得或.
又,所以或,
综上,实数的取值范围是.
故答案为: .
20．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
和对都成立,
令，得在上恒成立，
当时，只需即可，解得；
当时，只需即可，解得（舍）；
综上
故答案为：
21．（2021·福建福州·高一期中）设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
由题意，可得，即，
当时，，所以在上恒成立，
只需，
当时有最小值为1，则有最大值为3，
则，实数的取值范围是，
故答案为：
22．（2021·山东省淄博实验中学高一期中）设，不等式的解集是，则=_____；若对于，不等式有解，则实数t的取值范围为_____.
【答案】
因为不等式f（x）＜0的解集是（1，5），
所以1和5是方程的根，
所以，解得，
所以，
因为对于x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解，
所以
因为的对称轴为，
所以在上单调递减，
所以，
所以，得，
所以实数t的取值范围为，
故答案为：，
23．（2021·福建·莆田一中高一期中）已知不等式的解集为，则__________，的最小值为__________.
【答案】 8
由题知，，，
则，，，
，
当且仅当，即时取等号.
故的最小值为8.
故答案为：；
24．（2021·福建省福州第一中学高一期中）设函数.
(1)若在单调递增，求实数m的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
【答案】(1)
(2)当时，；当时，；当时，；当时，；当时， .
【解析】
(1)
当实数，，在单调递增，符合题意.
当实数，根据二次函数的性质，函数的对称轴为，要使得在单调递增，则，解得
综上述，.
(2)
当实数，，时，.
当实数，
如果，即时，得，
如果，时，得.
当实数，此时，
，
解得或
综上述，的解集为：当时，；当时，；当时，；当时， .
25．（2021·福建福州·高一期中）已知函数，.
(1)若的解集为，求的值；
(2)当时，且，若，，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)的取值范围为
【解析】
(1)
的解集为，且的两根：
，，，；
(2)
，，，，
，对称轴为，
，，二次函数开口向上，在上单调递增，
时，取；
时，取；
，，恒成立，恒成立，
，，
，.
26．（2021·福建福州·高一期中）（1）若命题：，是假命题，求的取值范围．
（2）解关于的不等式：．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
（1）因为命题：，是假命题，
所以，是真命题，
当时，恒成立，符合题意，
当时，由可得：，
综上所述：的取值范围为.
（2）由可得，
方程的两根为，，
当即时，不等式的解集为，
当即时，不等式的解集为，
当即时，不等式的解集为，
综上所述：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
27．（2021·福建福州·高一期中）已知二次函数的图象与x轴交于点和，与y轴交于点.
(1)求二次函数的解析式；
(2)若关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
因为二次函数的图象与x轴交于点和，与y轴交于点.代入二次函数表达式有
解得
∴二次函数的解析式为.
(2)
因为对一切实数x恒成立，
即对一切实数x恒成立，
化简得对一切实数x恒成立，
当时，原不等式为，对一切实数x不恒成立；
当时，
要使不等式恒成立，则，
解得.
综上，实数t的取值范围是.
28．（2021·福建·闽侯县第二中学高一期中）对于函数，若满足（k为常效）成立的x取值范围所构成的集合A称为函数的“k倍集合”，已知二次函数．
(1)当时，求函数的“2倍集合”；
(2)若函数，是否存在实数a，使得最小值为5？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)或
(2)存在，
【解析】
(1)
当时，，依题意，由，即，解得或，
所以函数的“2倍集合”是或.
(2)
依题意，二次函数的对称轴，而，
则当，即时，在上单调递增，，解得，则，
当，即时，在上单调递减，，解得，矛盾，无解，
当时，，方程无解，
所以存在实数，使得最小值为5.
29．（2021·福建福州·高一期中）函数，
(1)当时，若，求实数n的值
(2)若的解集是或，求实数m，n的值
(3)若，且对一切实数R恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
(1)
当时，，所以，即有，解得．
(2)
由题可知，是方程的两根，所以，解得．
(3)
由可得，显然不能同时为零，所以由对一切实数R恒成立可得，将代入得，，解得，即实数m的取值范围为．
30．（2021·福建福州·高一期中）已知不等式．
(1)若不等式的解集是或，求的值；
(2)若不等式的解集是，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
（1）
解：由题意可知关于的二次方程的两根分别为、，
所以，，解得．
（2）
解：若不等式的解集为，即恒成立，则满足
解得．
31．（2021·福建省福州第八中学高一期中）已知一次函数.
(1)求解不等式：；
(2)若在上恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
解：不等式，即，
解得或，
所以不等式的解集为；
(2)
解：要使在上恒成立，
只需即可，
令，，
由函数的对称轴为，则函数在上递增，
所以，
所以，解得，
所以在上恒成立，实数m的取值范围为.
32．（2021·福建省福州延安中学高一期中）已知函数，
(1)若的解集是，求a，b的值；
(2)若，解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)分类讨论，答案见详解
【分析】
(1)
由题意，的解集是
故对应方程的两个根为
解得：
(2)
若，则
令
（1）若，则，即不等式的解集为；
（2）若，则或，即不等式的解集为或；
（3）若，则或，即不等式的解集为或；
综上：当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为或；
当，不等式的解集为或
33．（2021·福建福州·高一期中）已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）关于的不等式的解集为，
∴和1是方程的两个实数根，代入得，解得；
（2）当时，不等式为，满足题意；
当时，应满足，解得；
综上知，实数的取值范围是.
34．（2021·福建·厦门双十中学高一期中）二次函数满足，从条件①和条件②中选择一个作为已知．
（1）求的解析式；
（2）在区间上，的图象总在直线的上方，求实数m的取值范围．
①；②不等式的解集为．
注∶如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
【答案】(1)条件选择见解析，，
(2)
【解析】
(1)
若选①，
设，因为f（0）=1，
所以，则，
又，
所以，解得，即；
若选②不等式的解集为．
设，因为f（0）=1，
所以，则，
则的解集为（-1，3），
所以-1,3为方程的两个实数根，
所以，解得，即；
(2)
由题意得，即在区间[0，2]上恒成立，
令，为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以在x=2处有最小值，且，
所以，解得
35．（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）已知二次函数，且是函数的零点．
（1）求的解析式；
（2）解不等式．
【答案】（1）；（2）或．
【详解】
（1）因为是函数的零点，即或是方程的两个实根，
所以，从而，
，即，
所以．
（2）由（1）得，从而即，
所以，
解得或．
36．（2022·福建·厦门一中高一期中）解下列不等式：
（1）；
（2）．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
(1)
不等式化为：，解得，
所以的解集为.
(2)
，原不等式化为：，解得：，
所以的解集是.
37．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于的不等式.
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）当时，求关于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
(1)
因为的解集为，
所以方程的两个根为，
由根与系数关系得：；
(2)
，
当时，
方程的两个根分别为：．
当时，两根相等，故不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为.
故当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
38．（2021·福建·闽侯县第二中学高一期中）已知二次函数.
（1）若在区间上单调递增，求实数k的取值范围；
（2）若，当时，求的最大值；
（3）若在上恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
（1）若在单调递增，则，所以
（2）当时，
令，因为，所以
所以
所以，在上单调递减，上单调递增，
又因为
所以
（3）因为在上恒成立，
所以在恒成立，
即在恒成立
令，则，当且仅当时等号成立，所以
39．（2021·福建·莆田第五中学高一期中）已知函数．
（1）设，求在区间上的最小值；
（2）求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
(1)，
①当，即时，函数在处取得最小值，故；
②当时，即时，函数在处取得最小值，
故此时；
③当时，即时，函数在处取得最小值，
故此时；
综上可知：
(2)∵，
∴当时，得，故此时不等式的解集为.
时，分为，，
当时，
当时，不等式的解集为；
当，不等式的解集为
当，不等式的解集为
当，不等式的解集为．
40．（2021·福建·莆田二中高一期中）二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)若不等式在区间，上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
由，可设，
∵，
∴，
由题意得，，解得；
故；
(2)
由题意得，，
即对恒成立，
令，又在上递减，故，
故.
41．（2021·福建省永春第二中学高一期中）若不等式的解集是．
（1）解不等式；
（2）b为何值时，的解集为R．
【答案】(1)或
(2)
【解析】
（1）
由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，
所以不等式化为，，
解得或，
所以不等式的解集为或
（2）
由（1）可知的解集为R，
所以，解得，
所以的取值范围为
42．（2021·福建·泉州现代中学高一期中）已知关于x的不等式的解集为或.
(1)求a，b的值；
(2)当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
(1)
由题意可知，和为方程的两个根，因此，解得，或2（舍）.
(2)
因，，所以，
又因，，所以，当且仅当即时，取等号.
由恒成立，得恒成立，解得.
43．（2021·福建泉州·高一期中）已知二次函数.
（1）若的解集为，解关于的不等式.
（2）若对任意，恒成立，求的最大值.
（3）已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为1；（3）.
【解析】
（1）∵的解集为，
∴，，，，
∴，
∴解集为，
（2）∵对任意，恒成立，
∴，且
∴，，
故，
∴，当，时取“”，
∴的最大值为1；
（3）由对于一切实数恒成立，可得
即，
由存在，使得成立可得，
∴，
∴，又，
∴，
当且仅当时“”成立.
44．（2021·福建·华中师大惠安亮亮中学高一期中）已知不等式的解集为或．
（1）求；
（2）解不等式．
【答案】（1）a＝1；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．
【解析】
（1）因为不等式的解集为或，
所以或是方程的根，
所以，解得，此时不等式的解集为或，符合题设条件，故.
（2）由（1）可知不等式化为，即.
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
45．（2021·福建·漳州三中高一期中）已知二次函数．
（1）若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围：
（2）解关于x的不等式（其中）．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
（1）不等式即为：，即，
当时，可变形为：，
即，
，
即，
实数的取值范围是：；
(2)不等式，
等价于，即，
①当时，不等式整理为，解得：；
当时，方程的两根为：，，
②当时，可得，解不等式得：或；
③当时，因为，解不等式得：；
④当时，因为，不等式的解集为；
⑤当时，因为，解不等式得：；
综上所述，不等式的解集为：
①当时，不等式解集为；
②当时，不等式解集为；
③当时，不等式解集为；
④当时，不等式解集为；
⑤当时，不等式解集为．

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