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第三章 圆锥曲线的方程
3.2.1 双曲线及其标准方程
学案
一、学习目标
1.了解双曲线的定义，几何图形及其标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题.
二、基础梳理
两种双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点
a,b,c的关系
三、巩固练习
1.“且”是“方程表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.曲线表示双曲线的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
3.已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的一个焦点为，点P在该双曲线上，线段的中点坐标为，则该双曲线的标准方程是( )
A. B. C. D.
6.（多选）若方程所表示的曲线为,则下列说法正确的是( )
A.若,则为椭圆
B.若,则为双曲线
C.若为双曲线,则焦距为4
D.若为焦点在轴上的椭圆,则
7. （多选）已知方程表示的曲线为C.则以下四个判断正确的为( )
A.当时，曲线C表示椭圆
B.当或时，曲线C表示双曲线
C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则
D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则
8. （多选）若，则下列关于x，y的方程所表示的曲线的说法中正确的是( )
A.该曲线是椭圆 B.该曲线是双曲线
C.焦距的取值范围是 D.焦距的取值范围是
答案以及解析
1.答案：B
解析：若方程表示双曲线，则，解得.当时，方程表示双曲线.故“且”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
2.答案：B
解析：曲线表示双曲线,则曲线表示双曲线的充分不必要条件即的充分不必要条件,结合选项知B符合题意,故选B.
3.答案：A
解析：由题意得，解得.又由该双曲线两焦点间的距离为4，得，即，所以.
4.答案：C
解析：以为直径的圆的方程为，又因为点在圆上，所以，解得，双曲线的一条渐近线方程为，且点在这条渐近线上，所以.又，解得，所以双曲线的方程为，故选C.
5.答案：B
解析：设双曲线的标准方程为，因为半焦距，，所以，所以因为线段的中点坐标为，所以点P坐标为.将代入双曲线方程，得，解得或(舍去)，所以双曲线的标准方程为.故选B.
6.答案：BD
解析：对于A，若方程表示椭圆，则需满足，解得且，所以A不正确；
对于D，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则需满足，解得，所以D正确；
对于B，当时，，此时C为焦点在轴上的双曲线，所以B正确；
对于C，当时，方程表示双曲线，此时双曲线的焦距为，所以C不正确.故选BD.
7.答案：BCD
解析：由，得，满足，此时方程表示圆，故A选项错误；
由双曲线的定义可知，当，即或时，方程表示双曲线，故B选项正确；
由椭圆的定义可知，当椭圆的焦点在x轴上时，满足，解得，故C选项正确；
若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解得，故D选项正确.
故选BCD.
8.答案：BC
解析：当时，将曲线方程化为标准方程为，表示焦点在y轴上的双曲线，故A错误，B正确；因为，，所以当时，，所以，所以焦距，故C正确，D错误.故选BC.
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