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专题 3圆锥曲线中的长度问题
一、考情分析
圆锥曲线中的长度问题是直线与圆锥曲线中最基本的问题,一般出现在解答题第 2问,常见的有焦半径、
弦长、两点间距离、点到直线距离、三角形周长等,求解方法可以用两点间距离公式、弦长公式、点到直线
距离公式、函数求最值等.
二、解题秘籍
(一)利用两点间距离公式求线段长度
若直线与圆锥曲线的交点坐标已知或可求,可直线利用两点间距离公式求线段长度.
2 2
【例1】( y2022 x届山西省吕梁市高三上学期 12月月考)在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆C: + = 1(a>
a2 b2
2
b> 0)的右准线为 l:x= 4( a定义：椭圆C的右准线方程为 x= 2 2c ,其中 c= a - b ).点P是右准线上的动
点,过点P作椭圆C的两条切线,分别与 y轴交于M ,N两点.当P在 x轴上时,|OP| = |MN |.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求 |MN |的最小值.
(二) 利用 1+ k2 x1- x2 求距离
设斜率为 k(k≠ 0)的直线 l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y 22)两点,则 |AB| = 1+ k |x2- x1|.
其中求 |x2- x1|通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|x2- x1| = x + x 21 2 - 4x1x2,
2 y2
【例2】(2022 x届陕西省安康市高三下学期联考)已知椭圆C : 2 + 2 = 1 a> b> 1 长轴的顶点与双曲线D:a b
x2 2- y = 1 , C F D 214 2 实轴的顶点相同 且 的右焦点 到 的渐近线的距离为 7 ．b
(1)求C与D的方程；
(2)若直线 l的倾斜角是直线 y= 5- 2 x的倾斜角的 2倍,且 l经过点F,l与C交于A、B两点,与D交
AB
于M、N两点,求 ．
MN
(三) 利用 1+ 12 y - y 求距离k 1 2
设斜率为 k(k≠ 0)的直线 l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB| = 1+ 12 |y2- y1|.当消k
去 x整理方程为关于 y的一元二次方程常用此结论.其中求 |y2- y1|时通常使用根与系数的关系,即作如
下变形：|y2- y1| = y1+ y2 2- 4y1y2.
x2 y2 2
【例3】(2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期月考)已知椭圆C: 2 + 2 = 1(a> b> 0)的离心率 e= 2 ；上a b
顶点为A,右顶点为B,直线AB与圆O:x2+ y2= 1相切.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设与圆O相切的直线 l与椭圆相交于M ,N两点,Q为弦MN的中点,O为坐标原点.求 |OQ| |MN |的
取值范围.
(四) 利用点到直线距离公式求垂线段的长
1. 若已知定点P,点Q在动直线上,求 PQ 最小值,常利用点到直线距离公式；
2. 若点P在定直线上,点Q为曲线上,求 PQ 最小值,有时可转换为与定直线平行的切线的切点到定直线
的距离.
2 y2
【例4】(2023 x届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期考试)设有椭圆方程 Γ: 2 + 2 = 1(a> b> 0),a b
直线 l:x+ y- 6= 0,Γ下端点为A,左 右焦点分别为F1 -1,0 F2 1,0 ,M在 l上.
(1)若 a= 2,AM中点在 x轴上,求点M的坐标；
(2)直线 l与 y轴交于B,直线AM经过右焦点F2,且 cos∠BMA= 35 ,求 b；
(3)在椭圆Γ上存在一点P到 l距离为 d,使 2a+ d= 4 2,当 a变化时,求 d的最小值.
(五) 利用函数思想求距离最值
求圆锥曲线上的动点到一定点距离的最值,有时可设出动点坐标,利用距离公式把问题转化为函数求最
值.
2 2
【例5】已知椭圆C: x2 +
y
2 = 1(a> b> 0)的长轴长为 4 3,点 3, 6 在C上.a b
(1)求C的方程；

(2)设C的上顶点为A,右顶点为B,直线 l与AB平行,且与C交于M ,N两点,MD=DN ,点F为C的右
焦点,求 DF 的最小值.
(六) 利用圆锥曲线定义求长度
与圆锥曲线焦点弦或焦半径有关的长度计算可利用圆锥曲线定义求解.
2 2
【例6】(2022届湖南省长沙市宁乡市高三下学期 5月模拟) : 2= : x + y已知抛物线G y 4x的焦点与椭圆E 2 2 =a b
1 a> b> 0 的右焦点F重合,椭圆E的长轴长为 4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F且斜率为 k的直线 l交椭圆E于A,B两点,交抛物线G于M ,N两点,请问是否存在实常数 t,
2 t
使 + 为定值？若存在,求出 t的值；若不存在,说明理由.
AB MN
【例7】(2023届江苏省南京市高三上学期测试)已知点B是圆C: x- 1 2+ y2= 16上的任意一点,点F(-1,0),
线段BF的垂直平分线交BC于点P.
(1)求动点Р的轨迹E的方程;
(2)设曲线E与 x轴的两个交点分别为A1,A2,Q为直线 x= 4上的动点,且Q不在 x轴上,QA1与E的另
一个交点为M ,QA2与E的另一个交点为N ,证明: △FMN的周长为定值.
三、跟踪检测
2 y2
1. (2023 x 2届北京市高三上学期入学定位考试)已知椭圆C： + = 1(其中 a> b> 0)的离心率为 ,左
a2 b2 2
右焦点分别为F1 -1,0 ,F2 1,0 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F1作斜率为 k的直线与椭圆C交于不同的A,B两点,过原点作AB的垂线,垂足为D.若点D恰
好是F1与A的中点,求线段AB的长度.
2. (2023届福建省部分名校高三上学期 9月联考)已知两点M 0,-4 ,N 0,4 ,动点P在 x轴的投影为Q,且

= 2PM PN 3PQ ,记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程.
(2)过点F 2 6,0 的直线与曲线C在 y轴右侧相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与 x轴相交于点
, AB H 试问 是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.
FH
2 y2
3. (2023届四川省巴中市高三上学期考试)已知椭圆C x： 2 + 2 = 1 a> b> 0 的左、右顶点分别为A、B,a b
P 1, 3点 2
1
在椭圆C上,且直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为- 4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆 x2+ y2= 1的切线 l与椭圆C交于P、Q两点,求 PQ 的最大值及此时直线 l的斜率．
4. (2023 ) O , C : x
2 y2
届安徽省部分校高三上学期摸底考 已知 为坐标原点 椭圆 16 + 12 = 1过点 M ,N ,P,记线
段MN的中点为Q．
(1)若直线MN的斜率为 3 ,求直线OQ的斜率;
(2)若四边形OMPN为平行四边形,求 |MN |的取值范围．
2 y2
5. (2023 x届辽宁省朝阳市高三上学期 9月月考)已知双曲线C : 2 - 2 = 1 a> 0,b> 0 的离心率为 2,点a b
P 3,-1 在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)点A,B在双曲线C上,直线PA,PB与 y轴分别相交于M ,N两点,点Q在直线AB上,若坐标原点O
为线段MN的中点,PQ⊥AB,证明：存在定点R,使得 QR 为定值.
2
( y
2
6. 2023 x届北京市房山区高三上学期考试)已知椭圆C : 2 + 2 = 1(a> b> 0)的长轴的两个端点分别为a b
A -2,0 ,B 2,0 3 离心率为 2 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)M为椭圆C上除A,B外任意一点,直线AM交直线 x= 4于点N ,点O为坐标原点,过点O且与直线
BN垂直的直线记为 l,直线BM交 y轴于点P,交直线 l于点Q, |BP|求证：| 为定值．PQ|
7. (2022届浙江省“数海漫游”高三上学期模拟)已知斜率为 k的直线 l与抛物线 y2= 4x交于A B两点,y
轴上的点P使得△ABP是等边三角形.
(1)若 k> 0,证明：点P在 y轴正半轴上；
(2)当 |OP|取到最大值时,求实数 k的值.
2
( y
2
8. 2022 x届上海市建平中学高三上学期考试)设实数 k≠ 0,椭圆D：6 + 2 = 1的右焦点为F,过F且斜率
为 k的直线交D于P、Q两点,若线段PQ的中为N ,点O是坐标原点,直线ON交直线 x= 3于点M．
(1)若点P的横坐标为 1,求点Q的横坐标；
(2)求证：MF⊥PQ；
( ) PQ 3 求 的最大值．
MF
2 y2
9. (2022 x 3届江苏省南京高三上学期 12月联考)已知椭圆C： 2 + 2 = 1(a> b> 0)的离心率为 ,右顶点a b 2
为A,过点B(a,1)的直线 l与椭圆C交于不同的两点M ,N ,其中点M在第一象限当点M ,N关于原点对
称时,点M的横坐标为 2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点N作 x轴的垂线,与直线AM交于点P,Q为线段NP的中点,求直线AQ的斜率,并求线段AQ
长度的最大值．
x2( y
2
10. 2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试)已知椭圆C: + = 1 a> b> 0 经过点
a2 b2
M (0,3), 2离心率为 2 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线 l:y= kx- 1与椭圆C相交于A、B两点,求 MA MB 的最大值.
11. (2022届百校联盟高三上学期 11月质监)在平面直角坐标系 xOy中,动点P x,y ,满足 x+ 3 2+ y2
+ x- 3 2+ y2= 4,记点P的轨迹为E．
(1)请说明E是什么曲线,并写出它的方程；
(2) 1设不过原点O且斜率为 2 的直线 l与E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为T,直线OT与E交
于两点C,D,请判断 TA TB 与 TC TD 的关系,并证明你的结论．
2 2
12.( y2022 x届河南省县级示范性高中高三上学期 11月尖子生对抗赛)已知椭圆C：
a2
+ 2 = 1(a> b> 0)与b
1
过原点的直线相交于A,B两点,上顶点M 0,1 满足 kMA kMB=- 4 (其中 k表示直线的概率)．
(1)求椭圆C的标准方程；
( AB
2
2)若与直线AB平行且过椭圆C的右焦点F2的直线 l交椭圆C于P,Q两点,证明： 为定值．
PQ
2 2
13.(2022 x届江苏省泰州市高三上学期 12月阶段性测试)已知椭圆C: 2 +
y
2 = 1 a> b> 0 ,短轴长为 2 2,a b
2
离心率为 2 .过右焦点F且不与坐标轴垂直的直线 l交椭圆于A B两点,AB的中垂线交 x轴于点M ,
交直线 x= 2 2于点N .
(1)求C的方程；
(2) AB 求 的大小；
FM
(3)证明：A M B N四点共圆.
2
14.(2022届上海市黄浦区高三一模)设常数m> 0且m≠ 1, Γ x椭圆 ： + y22 = 1,点P是Γ上的动点．m
(1)若点P的坐标为 2,0 ,求Γ的焦点坐标；
(2)设m= 3,若定点A的坐标为 2,0 ,求 PA 的最大值与最小值；
(3)设m= 12 ,若Γ上的另一动点Q满足OP⊥OQ(O为坐标原点),求证：O到直线PQ的距离是定值．
15.(2022届重庆市巴蜀中学高三上学期月考)已知圆F1： x+ 1 2+ y2= 16,F2 1,0 ,M为圆F1上的动点,若线
段MF2的垂直平分线交MF1于点P.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知T 1,y0 y0> 0 为C上一点,过T作斜率互为相反数且不为 0的两条直线TA,TB分别交曲线C
于A,B,求 AB 的取值范围.专题 3圆锥曲线中的长度问题
一、考情分析
圆锥曲线中的长度问题是直线与圆锥曲线中最基本的问题,一般出现在解答题第 2问,常见的有焦半径、
弦长、两点间距离、点到直线距离、三角形周长等,求解方法可以用两点间距离公式、弦长公式、点到直线
距离公式、函数求最值等.
二、解题秘籍
(一)利用两点间距离公式求线段长度
若直线与圆锥曲线的交点坐标已知或可求,可直线利用两点间距离公式求线段长度.
2 y2
【例1】(2022 x届山西省吕梁市高三上学期 12月月考)在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆C: +
a2 b2
= 1(a>
b> 0) l:x= 4( C x= a
2
的右准线为 定义：椭圆 的右准线方程为 2 2c ,其中 c= a - b ).点P是右准线上的动
点,过点P作椭圆C的两条切线,分别与 y轴交于M ,N两点.当P在 x轴上时,|OP| = |MN |.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求 |MN |的最小值.
【解析】(1)由题意可知,当P点坐标为 (4,0)时,|OP| = |MN | = 4,
不妨设点M在点N上方,则M (0,2),N (0,-2),
y= 1 x- 2,
所以直线NP:y= 1 22 x- 2与椭圆C相切,将直线NP与椭圆方程联立, x2 2 +
y = 1,
a2 b2
消去 y,整理得 4b2+ a2 x2- 8a2x+ 16a2- 4a2b2= 0,
则Δ= 64a4- 4 4b2+ a2 16a2- 4a2b2 = 0,整理得 4b2+ a2= 16,
又 a
2
c = 4,a
2= b2+ c2,解得 a2= 4或 a2= 16(舍去),所以 b2= 3,
x2 2即椭圆C的方程为 4 +
y
3 = 1；
(2)设P(4,t),切线方程为 y= k(x- 4) + t= kx- 4k+ t,
y= kx- 4k+ t,
将切线方程与椭圆联立, x2 y24 + 3 = 1,
消去 y,整理得 4k2+ 3 x2+ 8k(t- 4k)x+ 4(t- 4k)2- 12= 0,
则Δ= 64k2(t- 4k)2- 4 4k2+ 3 4(t- 4k)2- 12 = 0,
整理得 12k2- 8tk+ t2- 3= 0,
设切线PM斜率为 k1,直线PN斜率为 k2,
2
则M 0,t- 4k ,N 0,t- 4k ,且 k + k = 2t ,k k = t - 31 2 1 2 3 1 2 12 ,
所以 |MN | = 4 k1- k2 = 4 k 21+ k2 - 4k1k2,
将 k + k = 2t
2
1 2 3 ,k
t - 3
1k2= 12 代入上式,整理得 |MN | =
4 2
3 t + 9≥ 4,
当 t= 0时,上述等号成立,即 |MN |的最小值为 4.
(二) 利用 1+ k2 x1- x2 求距离
设斜率为 k(k≠ 0)的直线 l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB| = 1+ k2|x2- x1|.
其中求 |x2- x1|通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|x2- x1| = x + x 21 2 - 4x1x2,
2 2
【例2】( y2022 x届陕西省安康市高三下学期联考)已知椭圆C :
a2
+ 2 = 1 a> b> 1 长轴的顶点与双曲线D:b
x2 2
4 -
y
2 = 1实轴的顶点相同,且C
21
的右焦点F到D的渐近线的距离为
b 7
．
(1)求C与D的方程；
(2)若直线 l的倾斜角是直线 y= 5- 2 x的倾斜角的 2倍,且 l经过点F,l与C交于A、B两点,与D交
, AB 于M、N两点 求 ．
MN
【解析】(1)由题意可得 a2= 4,则 a= 2．
因为D的渐近线方程为 y=± b2 x,即 bx± 2y= 0,
2
椭圆C的右焦点为F 4- b2,0 ,由题意可得 b 4- b = 21 ,∵ b> 1,解得 b= 3,
4+ b2 7
故椭圆C的方程为 x
2 y2 x2 2
4 + 3 = 1,双曲线D的方程为 4 -
y
3 = 1．
(2)设直线 y= 5- 2 x的倾斜角为 α,
所以, = = 2tanα = 2 5- 2直线 的斜率为 l k tan2α - =
1 ,
1 tan2α 1- 5- 2 2 2
所以直线 l的方程为 y= 12 x- 1 ,
y= 12 x- 1联立 得 4x2- 2x- 11= 0,则Δ1= 4+ 4× 4× 11> 0,3x2+ 4y2= 12
设A x 1 111,y1 、B x2,y2 ,则 x1+ x2= 2 ,x1x2=- 4 ,
2
所以 AB = 1+ 1 x + x 2 152 1 2 - 4x1x2= 4 ,
2 2
联立 3x - 4y = 12 = 1 - 可得 2x2+ 2x- 13= 0,Δ2= 4+ 4× 2× 13> 0,y 2 x 1
设点M x3,y3 、N x4,y 134 ,则 x3+ x4=-1,x3x4=- 2 ,
所以, MN = 1+ 1
2
2 x3+ x4
2- 4x x = 3 15 , AB 故 = 15 2 = 153 4 2 ． MN 4 3 15 6
(三) 利用 1+ 12 y1- y2 求距离k
设斜率为 k(k≠ 0)的直线 l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB| = 1+ 1 |yk2 2- y1|.当消
去 x整理方程为关于 y的一元二次方程常用此结论.其中求 |y2- y1|时通常使用根与系数的关系,即作如
下变形：|y 22- y1| = y1+ y2 - 4y1y2.
2 y2
【例3】(2023 x 2届重庆市巴蜀中学校高三上学期月考)已知椭圆C: 2 + 2 = 1(a> b> 0)的离心率 e=a b 2 ；上
顶点为A,右顶点为B,直线AB与圆O:x2+ y2= 1相切.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设与圆O相切的直线 l与椭圆相交于M ,N两点,Q为弦MN的中点,O为坐标原点.求 |OQ| |MN |的
取值范围.
【解析】(1)由 e= c = 2a 2 知 a= 2b= 2c,
2
原点O到直线AB的距离为 d= ab = 2b = 2 b= 1,故 b= 32 ,a= 3,a2+ b2 3b 3
2 y2
故椭圆C的标准方程为 x3 + 3 = 1.
2
(2)kMN= 0时：Q 0,1 ,M -1,1 ,N 1,1 ,或Q(0,-1),M (-1,-1),N (1,-1),故 OQ MN = 2；
直线MN斜率不存在时,Q(1,0),M (1,1),N (1,-1),或Q(-1,0),M (-1,1),N (-1,-1)．故 OQ MN = 2；
直线MN斜率存在且不为 0时：设直线 l的方程为 x=my+ t(m≠ 0),
t
由直线 l与圆 x2+ y2= 1相切,所以 d= = 1,即 t2=m2+ 1,
m2+ 1
x2 y
2

联立 3
+ 3 = 1
2 得 m
2+ 2 y2+ 2mty+ t2- 3= 0,
x=my+ t,
设M (x1,y1),N (x2,y2),
y1+ y2=- 2mt2
由韦达定理： m + 2 y1+ y2 t2- 3 ,yQ= 2 =
-mt
2+ ,xQ=my + t=
2t
Q
y y = m 2 m
2+ ,2
1 2 m2+ 2
所以MN中点Q的坐标为 2t , -mt ,m2+ 2 m2+ 2
2 2 2 2 2
故 OQ = 2t + -mt
2
=
t m + 4 = m + 1 m + 4
m2+ 2 m2+ 2 m2+ 2 m2+ 2
2 2
MN = 1+m2 y - y = 1+m2 -2mt1 2 2+ - 4
t - 3
m 2 m2+ 2
= 2 1+m
2 6+ 3m2- 2t2 2 m2+ 1 m2+ 4
m2+ =2 m2+ ,2
故 | | | | = m
2+ 1 m2+ 4 2
OQ MN 2 m
m2+
= 2 1+
2 2 m4+ 4m2+ 4 = 2
1+ 1 m2+ 4 + 4
,
m2
m2+ 4 2 42 + 4≥ 2 m 2 + 4= 8,当且仅当m2=
4
2 ,m=± 2时等号成立,m m m
2< 2 1+
1 ≤ 9
m2+ 4 + 4
4
m2
综上： OQ MN 的取值范围是 2,
9
4 .
(四) 利用点到直线距离公式求垂线段的长
1. 若已知定点P,点Q在动直线上,求 PQ 最小值,常利用点到直线距离公式；
2. 若点P在定直线上,点Q为曲线上,求 PQ 最小值,有时可转换为与定直线平行的切线的切点到定直线
的距离.
2 y2
【例4 x】(2023届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期考试)设有椭圆方程 Γ: 2 + 2 = 1(a> b> 0),a b
直线 l:x+ y- 6= 0,Γ下端点为A,左 右焦点分别为F1 -1,0 F2 1,0 ,M在 l上.
(1)若 a= 2,AM中点在 x轴上,求点M的坐标；
(2)直线 l与 y轴交于B,直线AM经过右焦点F2,且 cos∠BMA= 35 ,求 b；
(3)在椭圆Γ上存在一点P到 l距离为 d,使 2a+ d= 4 2,当 a变化时,求 d的最小值.
【解析】(1)因为左焦点F1 -1,0 ,所以 c= 1,由题知 a= 2,所以 b= 1,A 0,-1 ,
又因为AM中点在 x轴上,所以点M的纵坐标为 1,代入 x+ y- 6= 0中的 x= 5,
所以点M坐标为 5,1 .
(2)
如图,设直线 l与 x轴交点为C ,
因为直线 l为 x+ y- 6= 0,所以直线 l的倾斜角为 3π4 ,
cos∠BMA= cos ∠MF C+ π2 4 =
2
2 cos∠MF2C- sin∠MF2C ①,
由题意知, OA = b, OF2 = 1, AF2 = b2+ 1,所以在Rt△AOF2中,cos∠AF2O=
cos∠MF2C= 1 ,sin∠AF2O= sin∠MF b2+ 2
C= ,
b 1 b2+ 1
所以 cosBMA= 2 1- b = 32 5 ,整理可得 7b
2- 50b+ 7= 0,解得 b= 17 或 b= 7,b2+ 1
又因为 cosBMA= 2 1- b = 3 ,所以 b< 1,b= 7舍去,b= 12 5 7 .b2+ 1
y=-x+m
(3)设直线 l平移后与椭圆相切的直线 l 方程为 y=-x+m,联立 x2 22 + y = ,1a b2
得 a2+ b2 x2- 2ma2x+m2a2- a2b2= 0,Δ= 4m2a4- 4 a2+ b2 m2a2- a2b2 = 4a2b2 2a2-m2- 1 = 0,所
以m2= 2a2- 1,
因为椭圆上存在点P到直线 l的距离为 d, 2a+ d= 4 2,即 d= 4 2- 2a
2a2- 1- 6 - 2a2- 1- 6≤ - ≤ 所以 4 2 2a ①,同时 1< a< 4,
2 2
又因为 1< a< 4,所以①式右侧肯定成立,左侧可以整理为 6- 2a2- 1≤ 8- 2a,
解得 4- 62 ≤ a≤
4+ 6
2 ,
因为 d= 4 2- 2a,所以当 a取得最小值 4- 62 时,d有最大值,最大值为 2 2+ 3.
(五) 利用函数思想求距离最值
求圆锥曲线上的动点到一定点距离的最值,有时可设出动点坐标,利用距离公式把问题转化为函数求最
值.
2 y2
【例5】已知椭圆C: x2 + 2 = 1(a> b> 0)的长轴长为 4 3,点 3, 6 在C上.a b
(1)求C的方程；

(2)设C的上顶点为A,右顶点为B,直线 l与AB平行,且与C交于M ,N两点,MD=DN ,点F为C的右
焦点,求 DF 的最小值.
【解析】(1)因为C的长轴长为 4 3,所以 2a= 4 3,即 a= 2 3.
又点 3, 6 在C上,所以 3 6 2 + 2 = 1,代入 a= 2 3,解得 b2= 8,a b
2 y2
故C的方程为 x12 + 8 = 1.
(2)由 (1)可知,A,B的坐标分别为 0,2 2 , 2 3,0 ,
直线AB的方程为 2x+ 3y- 2 6= 0,
设 l: 2x+ 3y+m= 0 m≠-2 6 ,
x2 y
2
联立 12 + 8 = 1 得 4x2+ 2 2mx+m2- 24= 0,2x+ 3y+m= 0
由Δ= 8m2- 16 m2- 24 = 384- 8m2> 0,得m2< 48,

设M x1,y1 ,N x2,y2 ,D x0,y0 ,因为MD=DN ,所以D为MN的中点,
则 = x1+ xx 2 =- 2m0 2 4 ,
因为 2x 3m0+ 3y0+m= 0,所以 y0=- 6 ,
又F的坐标为 (2,0),
2 2 2
所以 |DF| = x - 2 20 + y2 m0 = 8 + 2m+ 4+
m = 5m12 24 + 2m+ 4
= 5 m+ 12 2
2
21 5 + 85 ,
因为 - 12 2
2
5 < 48,所以当m=-
12 2
5 时, DF 取得最小值,且最小值为
2 10
5 .
(六) 利用圆锥曲线定义求长度
与圆锥曲线焦点弦或焦半径有关的长度计算可利用圆锥曲线定义求解.
2 2
【例6】( y2022 x届湖南省长沙市宁乡市高三下学期 5月模拟)已知抛物线G:y2= 4x的焦点与椭圆E:
a2
+ 2 =b
1 a> b> 0 的右焦点F重合,椭圆E的长轴长为 4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F且斜率为 k的直线 l交椭圆E于A,B两点,交抛物线G于M ,N两点,请问是否存在实常数 t,
2 + t使 为定值？若存在,求出 t的值；若不存在,说明理由.
AB MN
【解析】(1)因为抛物线G:y2= 4x的焦点为 (1,0),
所以 c= 1,又 a= 2,则 b2= a2- c2= 3,
x2 + y
2
故椭圆E的方程为：4 3 = 1；
(2)设A x1,y1 B x2,y2 M x3,y3 N x4,y4 ,
x
2 y2
设直线 l的方程为 y= k x- 1 ,与椭圆E的方程联立 + = 1 4 3 ,y= k x- 1
得 3+ 4k2 x2- 8k2x+ 4k2- 12= 0,
2 2
∴ x 8k 4k - 121+ x2= ,x x = ,3+ 4k2 1 2 3+ 4k2
2
∴ AB = 1+ k2 x1+ x2 2- 4x1x2=
12(k + 1)
3+ 4k2 ,
= - , y
2= 4x
设直线 l的方程 y k x 1 与抛物线G的方程联立 ,y= k x- 1
得 k2x2- 2k2+ 4 x+ k2= 0,
2
∴ x + x 2k + 43 4= 2 ,x3x4= 1,k
2
∴ MN = x3+ x4+ =
4 k + 1
2
k2
,
∴ 2 + t = 3+ 4k
2 tk2 8+ 3t k2+ 6
AB MN 6 k2+
+ = ,
1 4 k2+ 1 12 k2+ 1
要使 2 + 1 为常数,则 8+ 3t= 6,解得 t=- 23 , AB MN
故存在 t=- 2 ,使得 2 + 13 为定值
1
AB MN 2
．
【例7】(2023届江苏省南京市高三上学期测试)已知点B是圆C: x- 1 2+ y2= 16上的任意一点,点F(-1,0),
线段BF的垂直平分线交BC于点P.
(1)求动点Р的轨迹E的方程;
(2)设曲线E与 x轴的两个交点分别为A1,A2,Q为直线 x= 4上的动点,且Q不在 x轴上,QA1与E的另
一个交点为M ,QA2与E的另一个交点为N ,证明: △FMN的周长为定值.
【解析】(1)因为点P在BF垂直平分线上,所以有PF=PB,
所以：PF+PC=PB+PC=BC= r= 4,即PF+PC为定值 4> 2,
所以轨迹E为椭圆,且 a= 2，c= 1,所以 b2= 3,
2 y2
所以轨迹E的方程为：x4 + 3 = 1.
(2)由题知：A1 -2，0 ，A2 2，0 ,
设Q 4，t ，M x1，y1 ，N x2，y2
则 k tQA = 6 ,k
t
1 QA =2 2 ,
所以QA1方程为：y= t6 x+ 2 ,QA2方程为：y=
t
2 x- 2 ,
y= t x+ 2 2
联立方程： 6 2 y2 ,可以得出M： 54- 2t ， 18tx 2 2 4 + 3 = 1 27+ t 27+ t
同理可以计算出点N坐标： 2t
2- 6，-6t
3+ t2 ,3+ t2
当 kMN 存在,即 t2≠ 9,即 t≠±3时,k = -6tMN (t2- 9)
2
所以直线MN的方程为：y+ 6t =- 6t+ 2 2- x-
2t - 6
3 t t 9 3+ t2
即：y=- 6t2- x+
6t 6t
2- =- 2- x- 1 ,所以直线过定点 1，0 ,t 9 t 9 t 9
即过椭圆的右焦点F2,所以△FMN的周长为 4a= 8.
当 kMN 不存在,即 t2= 9,即 t=±3时,
可以计算出 x1= x2= 1,周长也等于 8.
所以△FMN的周长为定值 8.
三、跟踪检测
2 2
1. (2023 x届北京市高三上学期入学定位考试)已知椭圆C： 2 +
y 2
2 = 1(其中 a> b> 0)的离心率为 ,左a b 2
右焦点分别为F1 -1,0 ,F2 1,0 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F1作斜率为 k的直线与椭圆C交于不同的A,B两点,过原点作AB的垂线,垂足为D.若点D恰
好是F1与A的中点,求线段AB的长度.
【解析】(1)由题设,得 c= 1.
又 e= c 2a = 2 ,所以 a= 2.
所以 b2= a2- c2= 1 ,
所以椭圆C的方程为 x
2
+ y22 = 1,
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
由题意可知直线AB有斜率且不为 0,故设直线AB的方程为 y= k(x+ 1),
所以直线OD的方程为 y=- 1 x ,
k
y= k x+ 1 , k2所以 =- 1 ， 得 xD=- 2+ y k x k 1
所以 y kD= 2+ k 1
因为点D恰好是F1与A的中点,
2
所以 x1= 2xD+ 1=- k - 12+ ,y1= 2yD=
2k
2+ k 1 k 1
2 2 2
因为点A在椭圆上,所以 12 -
k - 1
2+ +
2k
2+ = 1 k 1 k 1
解得 k=±1,
y= x+ 1,当 k= 1时,由 2x2 + 2= ,得 3x + 4x= 0 2 y 1
所以 x1= 0,x2=- 43 ,所以 AB = 1+ k
2 4 x1- x2 = 3 2
同理 k=-1时,|AB| = 43 2
2. (2023届福建省部分名校高三上学期 9月联考)已知两点M 0,-4 ,N 0,4 ,动点P在 x轴的投影为Q,且
2
PM PN = 3PQ ,记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程.
(2)过点F 2 6,0 的直线与曲线C在 y轴右侧相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与 x轴相交于点
, AB H 试问 是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.
FH

【解析】(1)设P x,y ,则Q x,0 ,PM = -x,-4- y ,PN = -x,4- y ,PQ= 0,-y .

因为 2PM PN = 3PQ ,所以 x2+ y2- 16= 3y2,
2 y2
故C的方程为 x16 - 8 = 1.
(2)由题可知直线AB的斜率一定存在,且不为 0,
不妨设直线AB的方程为 y= k x- 2 6 ,A x1,y1 ,B x2,y2 .
y= k(x- 2 6)联立方程组 x2 y2 ,消去 y整理得 1- 2k2 x2+ 8 6k2x- 48k2- 16= 0,16 - 8 = 1
Δ= 384k
4+ 1- 2k2 192k2+ 64 > 0
2
则 x1+ x
-8 6k
2= - 2 > 0 1 2k ,整理得 k
2> 1
2 2
.
x x = -48k - 16 1 2 1- 2 > 02k
x1+ x2 4 6k2 y1+ y2 2 6k
2 =- - 2 , 2 =-1 2k 1- 2k2 ,
2
则线段AB的垂直平分线的方程为 y+ 2 6k 1- 2 =- x+
4 6k ,
1 2k k 1- 2k2
令 y= 0,得 x=- 6 6k
2 2
1- 2k2 ,则H -
6 6k
- 2 ,01 2k ,
FH = 2 6+ 6 6k
2 2
- 2 =
2 6 1+ k
1 2k 1- 2 .2k
AB = 1+ k2 x1+ x 22 - 4x1x2
2 2 2
= 1+ k2 -8 6k- 2 - 4
-48k - 16
1 2k 1- 2k2
384k4= + 2 + 192k
2+ 64 1- 2k21 8 1+ k
2
k
1- 2k2 2 1- 2k2 2
= 1- 2k2
AB
则 = 8 = 2 6 .
FH 2 6 3
AB
故 是定值,该定值为 2 6
FH 3
.
2 2
3. ( y2023 x届四川省巴中市高三上学期考试)已知椭圆C： 2 + 2 = 1 a> b> 0 的左、右顶点分别为A、B,a b
点P 1, 3 12 在椭圆C上,且直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为- 4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆 x2+ y2= 1的切线 l与椭圆C交于P、Q两点,求 PQ 的最大值及此时直线 l的斜率．
3 3
【解析】(1)由椭圆可得A(-a,0),B(a,0),所以 2 2k 1PA kPB= 1+ a × 1- a =- 4 ,解得 a= 2,
因为椭圆经过点P 1, 3 ,故得到 1 + 32 2 2 = 1,解得 b= 1,a 4b
2
所以椭圆的方程为 x 24 + y = 1
(2)当切线 l垂直 x轴时,P,Q的横坐标为 1或-1,由于椭圆的对称性,不妨设P,Q的横坐标为 1,
代入椭圆得 14 + y
2= 1解得 y=± 32 ,所以 PQ = 3；
当切线 l不垂直 x轴时,设切线方程为 y= kx+m即 kx- y+m= 0,
m
所以圆心到切线 l的距离 = 1,得m2= k2+ 1,
1+ k2
2
把 y= kx+m代入椭圆方程 x + y24 = 1,整理得 4k
2+ 1 x2+ 8kmx+ 4m2- 4= 0
2
设P x1,y1 ,Q x2,y2 ,则 x + x = -8km1 2 2+ ,x x =
4m - 4
4k 1 1 2
,
4k2+ 1
2
PQ = 1+ k2 x + x 2- 4x x = 1+ k2 64k m
2
- 4 4m
2- 4
1 2 1 2 4k2+ 1 2 4k2+ 1
= 16 1+ k
2 4k2-m2+ 1 = 48 1+ k
2 k2 4 3k k2
2+ 2 2+ 2 =
+ 1
4k 1 4k 1 4k2+ 1
2 2
2+ = , > , 2= 3× 4k × 4 k + 1 = 3(n- 1) (n+ 3)设 4k 1 n 则n 1 则 PQ
4k2+ 1 2 2
= 3
n 1+
2
n -
3
n2
2
= 3 -3 1 - 2 1 2 3 n + 1
1 1 4 4
n
= 3 -3 n - 3 + 3 ≤ 3× 3 = 4,
所以 PQ ≤ 2,
综上所述, PQ max= 2,此时n= 3,因为 4k2+ 1=n,所以直线 l的斜率为 k=± 22
2 2
4. (2023 x届安徽省部分校高三上学期摸底考)已知O为坐标原点,椭圆C : 16 +
y
12 = 1过点 M ,N ,P,记线
段MN的中点为Q．
(1)若直线MN的斜率为 3 ,求直线OQ的斜率;
(2)若四边形OMPN为平行四边形,求 |MN |的取值范围．
2 2
x y 1 + 1 = 1
【解析】(1)设M x1,y1 ,N x2,y2 ,Q(x0,y0),则 16 12 2 2 ,
x2 + y2 16 12 = 1
, x + x x - x两式相减可得 1 2 1 2 16 +
y1+ y2 y1- y2
12 = 0,而 x1+ x2= 2x0,y1+ y2= 2y0,
x0 x1- x2 + y0 y1- y则有 2 4 3 = 0,
y - y
又直线MN斜率 k = 1 2MN x - x = 3,因此 y
1
0=- 4 x01 2
y
所以直线OQ的斜率 kOQ= 0x =-
1
4 .0
(2)当直线MN不垂直于 x轴时,设直线MN :y= kx+m(m≠ 0),M x3,y3 ,N x4,y4 ,
由 y= kx+m 2+ 2= 消去 y并整理得： 3+ 4k
2 x2+ 8kmx+ 4m2- 48= 0,3x 4y 48
2
Δ= 64k2m2- 16 3+ 4k2 m2- 12 = 48(16k2+ 12-m2)> 0,x3+ x =- 8km ,x x = 4m - 484 ,
3+ 4k
2 3 4 3+ 4k2
因四边形OMPN为平行四边形,即OP=OM +ON ,则点P(x3+ x4,y3+ y4),
而 y3+ y4= k x3+ x4 + 2m= 6m+ 2 ,即P -
8km , 6m+ 2 + 2 ,3 4k 3 4k 3 4k
8km 2 2 - 3+ 4k2
6m
又点P在椭圆上,则 + 3+ 4k
2
= 1,化简得m216 12 = 3+ 4k
2,满足Δ= 144m2> 0,
于是得 x + x =- 8km -8k
2 2
3 4 + 2 = m ,x x
4m - 48 4m - 48 2
3 4= + 2 = 2 ,m ≥ 3,3 4k 3 4k m
2 2
则 |MN | = + 4(4m - 48)1 k2 (x3+ x )2- 4x x 1 2 64k4 3 4= 2 4+ 4k m2 - m2
2 2
= 2 1+m2 4k -m + 122 = 6 1+
1
2 ∈ (6,4 3],m m
当直线MN垂直于 x轴时,得点P(4,0)或P(-4,0),若点P(4,0),点M ,N必在直线 x= 2上,
由 x= 2 2+ 2= 得 y=±3,则 |MN | = 6,若点P(-4,0),同理可得 |MN | = 6,3x 4y 48
综上,|MN |的取值范围为 [6,4 3]．
2 y2
5. (2023 x届辽宁省朝阳市高三上学期 9月月考)已知双曲线C : 2 - 2 = 1 a> 0,b> 0 的离心率为 2,点a b
P 3,-1 在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)点A,B在双曲线C上,直线PA,PB与 y轴分别相交于M ,N两点,点Q在直线AB上,若坐标原点O
为线段MN的中点,PQ⊥AB,证明：存在定点R,使得 QR 为定值.
2 2
【解析】(1) , y由题意 双曲线C: x2 - 2 = 1的离心率为 2,且P 3,-1 在双曲线C上,a b
9 1 a2
-
b2
= 1
可得 c ,解得 a2= 8,b2= 8,所以双曲线的方程为 x
2
- y
2

e= a = 2 8 8
= 1.
c2= a2+ b2
(2)由题意知,直线的AB的斜率存在,设直线AB的方程为 y= kx+m,
联立方程组 y= kx+m 2- 2= ,整理得 (1- k
2)x2- 2kmx-m2- 8= 0,
x y 8
则Δ= (-2km)2- 4(1- k2) (-m2- 8) = 4(m2- 8k2+ 8)> 0且 1- k2≠ 0,
2
设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+ x2= 2km ,x x = -m - 8- 2 1 2 ,1 k 1- k2
+ = y直线PA的方程为 y 1 1+ 1x (x- 3),1- 3
= , =- - 3y + 3令 x 0 可得 y 1 1x - 3 ,即M 0,-1-
3y1+ 3
1 x1- 3 ,
,- - 3y2+ 3同理可得N 0 1 x2- 3 ,
, - - 3y1+ 3 + - - 3y2+ 3因为O为MN的中点 所以 1 x 11- 3 x - 3 = 0,2
3(kx
即-1- 1+m) + 3 - + 3(kx1 2+m) + 3x1- 3 x - 3
) = 0,
2
可得 (6k+ 2)x1x2- (3+ 9k- 3m) (x1+ x2) - 18m= 0,即 (m+ 8) (m+ 3k+ 1) = 0,
所以m=-8或m+ 3k+ 1= 0,
若m+ 3k+ 1= 0,则直线方程为 y= kx- 3k- 1,即 y+ 1= k(x- 3),
此时直线AB过点P 3,-1 ,不合题意；
若m=-8时,则直线方程为 y= kx- 8,恒过定点D(0,-8),
所以 PD = 32+ (-1- 8)2= 58为定值,
又由△PQD为直角三角形,且PD为斜边,
所以当R为PD的中点 32 ,-
9
2 时, RQ = PD =
58
2 .
6. (2023 ) C : x
2
+ y
2
届北京市房山区高三上学期考试 已知椭圆 2 = 1(a> b> 0)的长轴的两个端点分别为a b2
A -2,0 ,B 2,0 3 离心率为 2 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)M为椭圆C上除A,B外任意一点,直线AM交直线 x= 4于点N ,点O为坐标原点,过点O且与直线
|BP|
BN垂直的直线记为 l,直线BM交 y轴于点P,交直线 l于点Q,求证：| | 为定值．PQ
【解析】(1)由已知 a= 2,又 e= c = c = 3 ,c= 3,所以 b= a2- c2a 2 2 = 1,
2
椭圆标准方程为 x4 + y
2= 1；
2
(2)设M (x1,y1),y1≠ 0,则
x1
4 + y
2
1= 1,x2 21+ 4y1= 4,
y 6y 6y
直线AM的方程为 y= 1x + 2 (x+ 2),令 x= 4得 y=
1 1
1 x1+ 2
,即N 4, x + 2 ,1
6y1
= xk 1+ 2 = 3y1BN 4- 2 x1+ 2
,
l⊥BN ,kl=-
x1+ 2
3y ,直线 l的方程是 y=-
x1+ 2
3y x,1 1
y
直线BM的方程为 y= 1x - 2 (x- 2),令 x= 0得 y=-
2y1
x - 2 , ,-
2y
即P 0 1 ,
1 1 x1- 2
=- x1+ 2y 3y x x=-6 2 x + 2
由 1 1 y ,因为 x2 21+ 4y1= 4,故解得y= 1 (x- 2) = 2(xy 1+ 2) ,即Q -6, y ,x y 111- 2
BP = xP- x 0- 2 所以 B = = 1
PQ xQ- xP -6- 0 3
7. (2022届浙江省“数海漫游”高三上学期模拟)已知斜率为 k的直线 l与抛物线 y2= 4x交于A B两点,y
轴上的点P使得△ABP是等边三角形.
(1)若 k> 0,证明：点P在 y轴正半轴上；
(2)当 |OP|取到最大值时,求实数 k的值.
2 2
【解析】(1)设P 0,p ,AB的中点为M a,
y y
b 1 2 ,A 4 ,y1 ,A 4 ,y2 ,
因为 k> 0, y - y故直线AB的斜率存在,故 k= 1 2 2
y21- 2
= ,故 b> 0,
y2 b
4
故直线PM :y=- b2 x- a + b, =
b
故
a+ 2
p 2 ,
因为AB的中点为M a,b ,故 a> 0,故 p> 0.
所以点P在 y轴正半轴上.
(2)当AB与 x轴垂直时,p= 0；
当AB与 x轴不垂直时,因为△ABP是等边三角形,故AB与 y轴不垂直,故 a> 0,b≠ 0.
( b a+ 2由 1)可得PM :y=- b2 x- a + b即PM :y=-
b
2 x+ 2 ,
故 , b a+ 2
2 2
P 0 2 ,所以 PM = 1+ b4 a = a 1+ b4 ,
又AB:x= b2 y- b + a,
x= b由 2 y- b + a 可得 y2- 2by+ 2b2- 4a= 0,y2= 4x
2
所以Δ= 16a- 4b2> 0即 b2< 4a且 AB = 1+ b4 × 2 4a- b
2,
因为△ABP是等边三角形,故 PM 3 = 2 AB ,
3 b2 b2故 × 1+ 2 2 12a- a
2
2 4 × 2 4a- b = a 1+ 4 ,整理得到 b = 3 ,此时 b
2< 4a成立.
由 b2> 0可得 0< a< 12.
b
因为 = a+ 2
2
, b a+ 2故 2=
2
= 12a- a
2 a+ 2 2
p 2 p 4 12 ,其中 0< a< 12.
设 f a = 12a- a2 a+ 2 2,0< a< 12,
则 f a = 12- 2a a+ 2 2+ 2 12a- a2 a+ 2 =-4 a+ 2 a2- 8a- 6 ,
当 0< a< 4+ 22时,f a > 0；4+ 2 22< a< 12时,f a < 0；
所以 f a 在 0,4+ 22 上为增函数,在 4+ 2 22,12 上为减函数,
故当 a= 4+ 22时,f a 的最大值为 f 4+ 22 ,
此时 = 12 4+ 22 - 4+ 22
2
b = 10+ 4 223 3 ,
此时直线AB的斜率 k= 2 即 k=± 84 22- 210
b 21
.
2
( y
2
8. 2022 x届上海市建平中学高三上学期考试)设实数 k≠ 0,椭圆D：6 + 2 = 1的右焦点为F,过F且斜率
为 k的直线交D于P、Q两点,若线段PQ的中为N ,点O是坐标原点,直线ON交直线 x= 3于点M．
(1)若点P的横坐标为 1,求点Q的横坐标；
(2)求证：MF⊥PQ；
( ) PQ 3 求 的最大值．
MF
【解析】(1)因为点P的横坐标为 1,由 x6 +
y
2 = 1,
得P的坐标为 1, 15 或 1,- 153 3 ．F的坐标为 2,0 ．
0- 15
当P的坐标为 1, 153 时,直线PQ：y=
3
2- 1 x- 2 ,
即 y=- 153 x- 2 ,
2
代入椭圆方程,x2+ 3 - 153 (x- 2) = 6,即 3x2- 10x+ 7= 0,
得Q的横坐标为 73 .
当P的坐标为 1,- 153 时,同样得Q的横坐标为
7
3 .
因此,点Q的横坐标为 73；
x2 y2
(2)联立方程组 6 + 2 = 1 ,其解为P x1,y1 ,Q x2,y2 ．y= k x- 2
消去 y,得 x2+ 3k2 x- 2 2= 6,即 3k2+ 1 x2- 12k2x+ 12k2- 6= 0．
2
由 x + x = 12k ,x x = 12k
2- 6
1 2 3k2+ 1 1 2 3k2+ 1
所以N的横坐标为 x1+ x2 = 6k
2
2 3k2+ ,1
2
得N的纵坐标为 k 6k3k2+ - 21 =
-2k ,
3k2+ 1
6k2得N的坐标为 -2k3k2+ ,1 3k2+ ．1
所以直线ON的斜率为- 1 ,方程为 y=- 1 x,
3k 3k
与直线 x= 3交于点M 3,- 1 ．k
故直线FM的斜率为- 1 ,于是 k
k FM
kPQ=-1,因此MF⊥PQ；
( PQ
2 x 2 2
3) = 1- x2 + y1- y2 MF 1+ 1
k2
= x1- x2
2+ k2 x - x 21 2 = k2 x - x 21 2
1+ 1
k2
= k2 x + x 2- 4x x = k2 12k
2 2 12k2- 6 24k2 k2+ 1
1 2 1 2 3k2+ - 4 = ．1 3k2+ 1 3k2+ 1 2
令u= 3k2+ 1,由 k≠ 0,得u> 1,
PQ 2 8 3k2 3k2 = + 3 MF 3 3k2+ 1 2
= 8 u- 1 u+ 2 = 8
2 2
3 2 3 -2
1 + 1u u + 1 =
8
3 -2
1 - 1u 4 +
9
u 8
1 1 1 2又 9 9 u ∈ 0,1 ,得-2 u - 4 +- 8 ∈ 0, 8 ．
PQ
2
∈ , , PQ 即 0 3 所以 的取值范围为 0, 3 ,最大值为 3． MF MF
2 y2
9. (2022届江苏省南京高三上学期 12 x月联考)已知椭圆C： 2 + 2 = 1(a> b> 0)
3
的离心率为 2 ,右顶点a b
为A,过点B(a,1)的直线 l与椭圆C交于不同的两点M ,N ,其中点M在第一象限当点M ,N关于原点对
称时,点M的横坐标为 2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点N作 x轴的垂线,与直线AM交于点P,Q为线段NP的中点,求直线AQ的斜率,并求线段AQ
长度的最大值．
【解析】(1)因为 e= 3
2 2 2
,又 c2= a2- b2,所以 b2= a , : x + 4y2 4 所以椭圆C 2 2 = 1．a a
当点M、N关于原点对称,此时直线 l过原点,直线 l的方程为 y= 1a x,所以M 2,
2
a ,
代入椭圆C的方程得 2 + 8 = 1,即 a4- 2a2- 8= 0,所以 a2 22 4 = 4或 a =-2(舍去)a a
2
所以椭圆C的方程为 x 24 + y = 1
(2)B(2,1),由题意直线 l的斜率存在,设直线 l的方程为 y- 1= k(x- 2),M x1,y1 ,N x2,y2 ,
由 y- 1= k(x- 2) ,得 1+ 4k2 x2+ 8k- 16k2 x+ 16k22+ 2= - 16k= 0,x 4y 4
可知 x + x = -8k+ 16k
2
,x x = 16k
2- 16k
1 2 + 2 1 2 + 2 ,且Δ> 01 4k 1 4k
y y x - 2
直线AM的方程为 y= 1x - 2 (

x- 2),令 x= x2,则点P的纵坐标为 1 2 ,
1 x1- 2
= 1 y1 x2- 2所以点 的纵坐标 Q y + y Q 2 , x - 2 2 1
y
所以直线AQ的斜率为 kAQ=
Q = 1 y1 + y2 1 1x - 2 2 x - 2 x - 2 = 2 2k+ x - 2 + 12 1 2 1 x2- 2
= 1 2k+ 1 1 1 x1+ x2- 4 1 -8k- 4 12 x1- 2 + x - 2 = k+ 2 - - = k+ 2 4 =- ,2 x1 2 x2 2 2
即直线AQ的斜率为- 12．设直线PQ与 x轴的交点为R,在Rt△AQR中,tan∠QAR=
1
2 ,所以
cos∠QAR= 2 55 ,AQ=
AR 2a
∠ ≤ = 2 5,所以线段AQ长度的最大值为 2 5．cos QAR 2 5
5
2 y2
10.(2022 x届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试)已知椭圆C: 2 + 2 = 1 a> b> 0 经过点a b
M (0,3), 2离心率为 2 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线 l:y= kx- 1与椭圆C相交于A、B两点,求 MA MB 的最大值.
92 = 1,
【解析】(1)由已知得 b a2- b2 1 解得 a= 3 2,b= 3, 2 = 2 ,a
2 y2
因此椭圆C的方程为 x18 + 9 = 1；
x2 y2
(2)解：由 18 + 9 = 1, 整理得 2k2+ 1 x2- 4kx- 16= 0,y= kx- 1,
设A x1,y1 ,B x 4k -162,y2 ,则 x1+ x2= 2 ,x1x2= 2 ,
2k + 1 2k + 1
因为MA MB= x1x2+ (y1- 3) (y2- 3) = x1x2+ kx1- 4 kx2- 4
2
= k2+
-16 k + 1
1 x1x2- 4k x + x 4k 1 2 + 16= 2+ - 4k×2k 1 2k2+ + 16= 0,1
所以MA⊥MB,三角形MAB为直角三角形,
设 d为点M到直线 l的距离,故 MA MB = AB d,
又因为 d= 4 ,
1+ k2
2
AB = 1+ k2 x1+ x 22 - 4x1x2 = 1+ k2 4k 2+ - 4×
-16
2k 1 2k2+ 1
= 4 1+ k
2 9k2+ 4
2k2+ ,1
所以 MA MB = 16 9k
2+ 4

2k2+ ,1
2
设 2k2+ 1= t,则 MA MB = 16 818 -
1 1
2 t -
9
2 ,由于
1
t ∈ 0,1 ,
所以 MA 1 MB ≤ 32,当 t = 1,即 k= 0时,等号成立.
因此, MA MB 的最大值为 32.
11. (2022届百校联盟高三上学期 11月质监)在平面直角坐标系 xOy中,动点P x,y ,满足 x+ 3 2+ y2
+ x- 3 2+ y2= 4,记点P的轨迹为E．
(1)请说明E是什么曲线,并写出它的方程；
(2) 1设不过原点O且斜率为 2 的直线 l与E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为T,直线OT与E交
于两点C,D,请判断 TA TB 与 TC TD 的关系,并证明你的结论．
【解析】(1)设F1 - 3,0 ,F2 3,0 ,则因为 x+ 3 2+ y2+ x- 3 2+ y2= 4,满足 PF1 + PF2 = 4
2
> F1F2 ,即动点P表示以点F1,F2为左、右焦点,长轴长为 4,焦距为 2 3的椭圆,其轨迹的方程为 x4 + y
2
= 1；
(2)可以判断出 TA TB = TC TD ,
下面进行证明：
设直线 l的方程为 y= 12 x+m m≠ 0 ,A x1,y1 ,B x2,y2 ,
x
2
4 + y
2= 1
由方程组 ,得 x
2+ 2mx+ 2m2- 2= 0①,
y=
1
2 x+m
方程①的判别式为Δ= 4 2-m2 ,由Δ> 0,即 2-m2> 0,解得- 2由①得 x1+ x2=-2m,x1x2= 2m2- 2,
所以T点坐标为 -m,m ,直线OT方程为 y=- 12 2 x,
x2 4 + y
2= 1
由方程组 ,得C - 2, 2 1 2 ,D 2,-
2
=- 2 , y 2 x
所以 TC TD = 5 5 5 2 -m+ 2 2 2+m = 4 2-m
2 ．
又 TA TB = 1 AB 24 =
1
4 x1- x
2
2 + y1- y 22 = 516 x + x
2
1 2 - 4x1x2
= 516 4m
2- 4 2m2- 2 = 5 4 2-m
2 ．
所以 TA TB = TC TD .
2 y2
12.(2022 x届河南省县级示范性高中高三上学期 11月尖子生对抗赛)已知椭圆C： 2 + 2 = 1(a> b> 0)与a b
过原点的直线相交于A,B两点, 1上顶点M 0,1 满足 kMA kMB=- 4 (其中 k表示直线的概率)．
(1)求椭圆C的标准方程；
2
(2) AB 若与直线AB平行且过椭圆C的右焦点F2的直线 l交椭圆C于P,Q两点,证明： 为定值．
PQ
【解析】(1)根据题意,b= 1,设A x0,y0 ,则B -x0,-y0 ,
x2则 0 22 + y0= 1,a
x20
1- y 2
k 0
1+ y0 1- y0 a2 1 1
MA kMB= 0- x 0+ x = - 2 = - 0 =- 2 =-0 0 x0 x2 a 4
,
所以 a2= 4,
2
故椭圆C的标准方程为 x4 + y
2= 1．
(2)由题意知,F2 3,0 ,直线PQ的斜率存在,且不为 0,
设直线PQ为 x=my+ 3,则直线AB为 x=my,
x=my+ 3,联立 2 2x2 2 得 m + 4 y + 2 3my- 1= 0．4 + y = 1,
设P x ,y ,Q x ,y ,则 y + y = -2 3m -1 1 1 2 2 1 2 m2+ ,y1y4 2= ,m2+ 4
4 1+m2 4 1+m2所以 PQ = 1+m2 y1- y2 = 1+m2 × m2+ =4 m2+ ．4
联立 x=my, x2 2+ 2= 得 y =
4 ,
4 y 1, m
2+ 4
故 AB = 1+m2 × 4 = 4 1+m
2
,
m2+ 4 m2+ 4
16 1+m2
AB 2 2
所以 = m + 4
PQ 4 1+ 2
= 4,为定值．
m
m2+ 4
2 y2
13.(2022 x届江苏省泰州市高三上学期 12月阶段性测试)已知椭圆C: 2 + 2 = 1 a> b> 0 ,短轴长为 2 2,a b
2
离心率为 2 .过右焦点F且不与坐标轴垂直的直线 l交椭圆于A B两点,AB的中垂线交 x轴于点M ,
交直线 x= 2 2于点N .
(1)求C的方程；
( ) AB 2 求 的大小；
FM
(3)证明：A M B N四点共圆.
2b= 2 2 a= 2 2 2
【解析】(1)由已知得 e=
c 2
a = 2 ,解得 b= ,
y
2 所以椭圆C的方程为：x
= 4
+ 2 = 1.
a2= b2+ c2 c 2
y= k x- 2
(2)由 (1)得F 2，0 ,所以设直线 l的方程为 y= k x- 2 ,与椭圆C方程联立 x2 y2 ,4 + 2 = 1
2
x1+ x2=
4 2k
2
消元得 1+ 2k2 x2- 4 2k2x+ 4k2- 4= 0,设A x1,y1 ，B x2,y2 ,所以 1+ 2k x x = 4k2- ,得AB的中点41 2 1+ 2k2
2 2k2C - 2k1+ , ,2k2 1+ 2k2
2
所以AB的中垂线的方程为：y- - 2k+ 2 =-
1 x- 2 2k+ 2 ,1 2k k 1 2k
令 y= 0,得 x= 2k
2 2
+ 2 ,则M
2k
+ 2 ,0 ,1 2k 1 2k
所以 FM = 2- 2k
2
= 2 1+ k
2
,
1+ 2k2 1+ 2k2
2
又 AB = 1+ k2 x + x 2-
4 1+ k
1 2 4x1x2= ,1+ 2k2
AB = 4 1+ k
2
所以 × 1+ 2k
2
= 2 2.
FM 1+ 2k2 2 1+ k2
2
(3)令AB的中垂线的方程为：y- - 2k =- 1 x- 2 2k+ 2 + 2 中的 x= 2 2,得 y=1 2k k 1 2k
- 1 2 2- 2 2k
2
- 2k 2 2+ 3 2k
2
=-
k 1+ 2k2 1+ 2k2 k 1+
,
2k2
所以N 2 2，- 2 2+ 3 2k
2
,又M 2k
2
k 1+ 2k2 1+ 2k2
,0 ,
2 2+ 5 2k2 2 2+ 3 2k2 2 2 2 2所以MN的中点G ,- ,MN 2=2 1+ 2k2 2k 1+ 2k2 2 2-
2k + 2 2+ 3 2k =1+ 2k2 k 1+ 2k2
2 2+ 3k2 2 1+ k2
k2
,
1+ 2k2
k 2 2+ 5 2k
2

2
+ 2 2+ 3 2k - 2k
2 1+ 2k2 2k 1+ 2k2 2 k2+ 2 1+ k2
则点G到直线 的距离为 l d= = + 2 ,1+ k2 2k 1 2k
AB 2 2 k2+ 2 1+ k2 2 2 1+ k2 2 1+ k2 3k2+ 2 2所以GA2= d2+ = + = 2 ,2k 1+ 2k2 1+ 2k2 2k2 1+ 2k2
所以GA2= 1 24MN ,
故A M B N四点共圆.
2
14.(2022 x届上海市黄浦区高三一模)设常数m> 0且m≠ 1,椭圆Γ： 2 + y2= 1,点P是Γ上的动点．m
(1)若点P的坐标为 2,0 ,求Γ的焦点坐标；
(2)设m= 3,若定点A的坐标为 2,0 ,求 PA 的最大值与最小值；
(3)设m= 12 ,若Γ上的另一动点Q满足OP⊥OQ(O为坐标原点),求证：O到直线PQ的距离是定值．
2
【解析】(1) ∵椭圆Γ：x 2 + y2= 1,点P的坐标为 2,0 ,m
∴m= 2,c= 3,
∴Γ的焦点坐标为 - 3,0 , 3,0 ；
(2)设P x,y ,又A 2,0 ,
2 2
由题知 x 2 2 x9 + y = 1,即 y = 1- 9 ,
2 2
∴ PA 2
2
= x- 2 2+ y2= x- 2 2+ 1- x = 8x9 9 - 4x+ 5=
8
9 x-
9
4 +
1
2 ,
又-3≤ x≤ 3,
∴当 x=-3时, PA 2取得最大值为 25；当 x= 94 时, PA
2取得最小值为 12；
∴ PA 的最大值为 5,最小值为 22 .
(3)当m= 12 时,椭圆Γ：4x
2+ y2= 1,
设P x1,y1 ,Q x2,y2 ,当直线PQ斜率存在时设其方程为 y= kx+ t,则
由 y= kx+ t 2+ 2= ,得 4+ k
2 x2+ 2ktx+ t2- 1= 0,4x y 1
2
∴ x -2kt t - 1 21+ x2= + 2 ,x1x2= + 2 ,Δ= 2kt - 4 4+ k
2 t2- 1 > 0,
4 k 4 k
由OP⊥OQ可知OP OQ= 0,即 x1x2+ y1y2= 0,
∴ x1x2+ kx1+ t kx + t = 0,即 1+ k2 x x + kt x + x + t22 1 2 1 2 = 0,
2
∴ 1+ k2 t - 1 + 2 + kt
-2kt 2 2 2
4 k 4+ 2 + t = 0,可得 1+ k = 5t ,满足Δ> 0,k
∴ t O到直线PQ的距离为 d= = 55 为定值；1+ k2
当直线PQ斜率不存在时,OP⊥OQ,可得直线方程为 x=± 5 ,O到直线PQ的距离为 55 5 .
综上,O到直线PQ的距离是定值．
15.(2022届重庆市巴蜀中学高三上学期月考)已知圆F： x+ 1 2+ y21 = 16,F2 1,0 ,M为圆F1上的动点,若线
段MF2的垂直平分线交MF1于点P.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知T 1,y0 y0> 0 为C上一点,过T作斜率互为相反数且不为 0的两条直线TA,TB分别交曲线C
于A,B,求 AB 的取值范围.
【解析】(1)由题知MP=F2P
故MF1=PF1+PF2.
即PF1+PF2= 4
即P在以F1F2为焦点且长轴为 4的椭圆上
2 y2
则动点P的轨迹C的方程为：x4 + 3 = 1；
2
(2) 14 +
y0
3 = 1
故 y = 30 2
即P 1, 32 .
设AB：y= kx+m,A x1,y1 ，B x2,y2
联立 y= kx+m 3x2+ 4y2= 12
3+ 4k2 x2+ 8kmx+ 4m2- 12= 0(*),(8km)2- 4(4k2+ 3) (4m2- 12)> 0,
2
∴ x1+ x = -8km ,x x = 4m - 12 2 22 + 2 1 2 + 2 ,12k - 3m + 9> 03 4k 3 4k
3 - y 3 3 31 - y2 -m- kx1 1- x2 + -m- kx2 1- x1
又 kTA+ kTB= 21- x +
2 = 2 2 = 0
1 1- x2 1- x1 1- x2
则：2kx1x2- 32 -m+ k x1+ x2 + 3- 2m = 0
3
2k 4m2- 12 2 -m+ k 8km 即 + 2 + + 3- 2m= 03 4k 3+ 4k2
12k2+ 12km- 24k- 6m+ 9= 0
4k2- 8k+ 3+ 4km- 2m= 0
2k+ 2m- 3 2k- 1 = 0
若 2k+ 2m- 3= 0,则AB过T,不符合题意
故 k= 1 22 ,∴m < 4
-48m2 12 2 2 + 144+ 192×
|AB| = 1+ k2 64k m 16m - 48 5 4 1 2
3+ 4k2 2
- + 2 = 4 3+ 1 = 2 60- 15m ,3 4k
故 |AB| ∈ 0,2 15

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