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第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学案
一、学习目标
1. 掌握双曲线的简单几何性质.
2. 能够运用双曲线的几何性质解决双曲线的综合问题.
二、基础梳理
双曲线的简单几何性质：
1. 范围：双曲线上点的横坐标的范围是或，纵坐标的范围是.
2. 对称性：关于x轴、y轴和原点对称. 坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
3. 顶点：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
4. 渐近线：.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
5. 离心率：.
三、巩固练习
1.双曲线的焦点坐标是( )
A.， B.， C.， D.，
2.双曲线E与椭圆焦点相同且离心率是椭圆C离心率的倍，则双曲线E的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，以双曲线C的右焦点F为圆心的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线的焦距为( )
A.1 B.2 C. D.
4.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则其虚轴长为( )
A.1 B.4 C.3 D.0
5.已知双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线C的实轴长为( )
A.1 B.2 C.4 D.
6.过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线l与双曲线的两条渐近线围成面积为的正三角形，则双曲线C的实轴长为( )
A.2 B. C.4 D.
7.（多选）已知双曲线，则下列关于双曲线C的结论正确的是( ).
A.实轴长为6 B.焦点坐标为，
C.离心率为 D.渐近线方程为
8. （多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若，且的最小内角为30°，则( )
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为
C.
D.直线与双曲线有两个公共点
答案以及解析
1.答案：B
解析：，，.
又焦点在x轴上，
双曲线的焦点坐标为，.
2.答案：C
解析：由题知，椭圆的焦点坐标为和，离心率为.设双曲线E的标准方程为，则且，解得，所以双曲线E的标准方程为，故选C.
3.答案：D
解析：因为直线的斜率为，所以，则.因为以双曲线C的右焦点F为圆心的圆与双曲线C的渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离，所以，所以，则.
4.答案：B
解析：设双曲线的一个焦点为，且，一条渐近线的方程为，则，故虚轴长为.
5.答案：B
解析：因为双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为，且它的一个焦点为，所以，，可得，解得，所以双曲线C的实轴长为2.
6.答案：B
解析：如图，设双曲线的两条渐近线为，直线l与的交点分别为.直线过双曲线C的右焦点，且是面积为的正三角形，，.又，且，解得，则双曲线C的实轴长为.故选B.
7.答案：AC
解析：根据题意可得，，所以，
所以双曲线的实轴长为，故A正确；
双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，故B错误；
双曲线的离心率，故C正确；
双曲线的渐近线方程为，即，故D错误.故选AC.
8.答案：ABD
解析：依题意得，，又知，，.
又，且，
在中，是最小的边，
，
，
整理得，即，，
，.
双曲线的离心率，A正确.
双曲线的渐近线方程为，B正确.
根据前面的分析可知，为直角三角形，且，
若，则.
又知，，
，C不正确.
直线，即，其斜率为，，
直线与双曲线有两个公共点，D正确.故选ABD.
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