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2.3抛物线单元检测卷
满分：150 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（2022高三上·鞍山月考）抛物线的焦点坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·广州期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（2022·四川模拟）如图，抛物线的焦点为F，准线与y轴交于点D，O为坐标原点，P是抛物线上一点，且，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·和平模拟）已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·河东模拟）已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别是，若点是抛物线的准线与的渐近线的一个交点，且满足，则双曲线的方程是
A． B． C． D．
6．（2022高二下·贵港期末）设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，为半径的圆交l于M，N两点．若，且的面积为24，则（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2022高二下·焦作期末）上海黄浦江上的卢浦大桥（图1）整体呈优美的弧形对称结构，如图2所示，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，若主拱的顶端P点到桥面的距离等于桥面与江面之间的距离，且米，则CD约为（精确到10米）（　　）
A．410米 B．390米 C．370米 D．350米
8．（2022·莆田三模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若的面积是10，则（　　）
A． B．1 C． D．2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9．（2022·辽宁模拟）下列抛物线中，焦点落在圆内部的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·湖北开学考）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点，分别过两点 作的切线，且相交于点，则（　　）
A． B．点在直线上
C．为直角三角形 D．面积的最小值为16
11．（2022高三上·浙江月考）拋物线的焦点为，过的直线交拋物线于两点，点在拋物线上，则下列结论中正确的是（　　）
A．若，则的最小值为4
B．当时，
C．若，则的取值范围为
D．在直线上存在点，使得
12．（2022高二下·南京期中）已知双曲线（）的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（　　）
A．抛物线的准线方程为：
B．双曲线的实轴长为4
C．双曲线的一条渐近线方程为
D．P为双曲线上一点若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022高二下·徐汇期末）以坐标原点为顶点，以y轴为对称轴，并经过点的抛物线的标准方程为　 　．
14．（2022·广西模拟）已知抛物线的焦点为F，点A，B分别在C及其准线l上，是面积为的正三角形，则　 　.
15．（2022高二下·安康期末）已知点为抛物线：上的动点，抛物线的焦点为，且点，则的最小值为　 　．
16．（2022高三上·湖北月考）已知抛物线的准线与轴的交点为，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，，则　 　；若的中点到准线的距离为，则　 　.
四、解答题，本题共6小题，共70分(共6题；共60分)
17．（10分）已知双曲线 ，抛物线 的焦点与双曲线的一个焦点相同，点 为抛物线上一点.
（1）求双曲线的焦点坐标；
（2）若点 到抛物线的焦点的距离是5，求 的值.
18．（12分）（2021高二上·淮安期中）在①；②；③轴时，这三个条件中任选个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且____.
（1）求抛物线的标准方程.
（2）若直线与抛物线交于两点，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（2022高三上·重庆市月考）如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．
（1）建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．
20．（12分）（2021·安阳模拟）已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点， 为坐标原点，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若线段 的中点为 ， 的中垂线与 的准线交于第二象限内的点 ，且 ，求直线 与 轴的交点坐标.
21．（12分）（2021·攀枝花模拟）已知抛物线 的准线与直线 的距离为4．
（1）求抛物线 的方程；
（2） 、 为抛物线 上的两个不重合的动点，且线段 的中点 在直线 上，设线段 的垂直平分线为直线 ．
①证明： 经过定点 ；
②若 交 轴于点 ，设 的面积为 ，求 的最大值．
22．（2021·长沙模拟）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，该点到原点的距离与到 的准线的距离相等．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过焦点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且与以焦点 为圆心2为半径的圆交于 ， 两点，点 ， 在 轴右侧．
①证明：当直线 与 轴不平行时，
②过点 ， 分别作抛物线 的切线 ， ， 与 相交于点 ，求 与 的面积之积的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标为
故答案为：C
【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可.
2．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为 ，所以抛物线准线为
又 ，所以圆心坐标为 ，半径为2
由已知得：圆心到准线的距离为半径，则 ，所以
故答案为：C.
【分析】由抛物线的方程求出准线的方程，再由圆的方程求出圆心坐标以及半径的取值，结合点到直线的距离公式计算出P的值。
3．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】如图，过P作PH垂直轴于H，过P作PB垂直准线于B，
设，则因为，结合抛物线的基本性质有，，.所以
故答案为：C
【分析】分别过作轴与准线的垂线，再根据结合抛物线的性质计算，即可.
4．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵抛物线的焦点坐标F(1，0)，p=2，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=1，
设P(m，n)，由抛物线定义知：.
∴P点的坐标为.
，解得：.
则渐近线方程为.
故答案为：C.
【分析】首先由抛物线的定义以及简单性质即可取出焦点的坐标以及c的取值，然后设出点的坐标并代入到双曲线的方程，结合双曲线里a、b、c的关系计算出a与b的取值，进而得出渐近线的方程。
5．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】对于，的离心率为，不合题意；
对于，的离心率为，不合题意；
对于，的离心率为，不合题意；
对于，的离心率为，符合题意.
故答案为：C.
【分析】由双曲线和抛物线的简单性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为以F为圆心，为半径的圆交l于M，N两点，
所以，
结合抛物线的定义，可知点A到准线的距离为．
又因为，，
所以的面积为，
解得．
故答案为：C
【分析】根据题意由抛物线的简单性质和定义结合已知条件，整理化简即可得出圆的半径，再把结果代入到三角形的面积公式由此计算出P的取值。
7．【答案】B
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】以为坐标原点，以的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，设主拱抛物线的方程为，
由题意可知，则，因为点到直线的距离等于直线与的距离，所以，
所以，所以米.
故答案为：B.
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意设B的坐标，D的坐标，将B、D的坐标代入抛物线的方程，两式相除可得D的横坐标，进而求出CD的值.
8．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题知抛物线焦点为，AB∥x轴，
将y=2p代入得x=2p，则B为(2p，2p)，
由题可知B、F、C三点共线，BC方程为：，即，
代入抛物线方程消去y得，，
设方程两根为，则，则，
又到BC：的距离为：，
∴由得．
故答案为：D．
【分析】根据AB∥x轴知B点纵坐标为2p，代入抛物线方程可求B点横坐标，利用B和F求出直线BC的方程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求BC长度，利用点到直线距离公式可求A到直线BC的距离d，根据即可求出p．
9．【答案】A,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】若点在圆的内部，则.
对于A：可化为，所以抛物线的焦点为，此焦点落在圆的内部.A符合题意；
对于B：抛物线的焦点为，此焦点在圆外部. B不符合题意；
对于C：可化为，所以抛物线的焦点为，此焦点在圆的外部. C不符合题意；
对于D：抛物线可由抛物线向右平移1个单位长度得到，所以抛物线的焦点为，此焦点落在圆的内部. D符合题意.
故答案为：AD
【分析】首先求出抛物线的焦点坐标，并代入到圆的标准方程，计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点，
显然直线的斜率存在，设直线方程为，，，
联立，消去并整理得，
，，
由得，，，
故切线的方程为：①
故切线的方程为：②
联立①②得
，
对于A，，，不正确，A不正确；
对于B，，显然点在直线上，B符合题意；
对于C，，，，，
将，，且，，代入上式化简得：
，，为直角三角形，C符合题意；
对于D，到直线的距离为：，
，
，当时，，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】根据题意联立直线与抛物线的方程，得到，，再求出切线和的方程，联立求得交点，然后分别对选项判断即可.
11．【答案】B,C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】对A，如图，
由抛物线的定义，的长度为到准线的距离，故的最小值为与到准线距离之和，故的最小值为到准线距离 ，A不符合题意；
对B，不妨设在第一象限，分别过作准线的垂线，垂足，作.则根据抛物线的定义可得，
故.
故，所以.B符合题意；
对C，过作垂直于准线，垂足为，
则，由图易得，故随的增大而增大，当时在点处，此时取最小值1；当与抛物线相切时最大，此时设方程，联立有，，此时解得，不妨设则方程，此时倾斜角为，.
故的取值范围为，C符合题意；
对D， 设，中点，故到准线的距离，又，故，故以为直径的圆与准线相切，又满足的所有点在以为直径的圆上，易得此圆与无交点，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】对A，根据抛物线的定义转化求解最小值即可；对B，根据抛物线的定义，结合三角函数关系可得直线AB倾斜角，再根据抛物线焦点弦长公式求解即可；对C，根据抛物线的定义可得，再分析临界条件求解即可；对D，，故以为直径的圆与准线相切，又满足的所有点在以为直径的圆上，易得此圆与无交点.
12．【答案】B,D
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】抛物线的焦点是 ，所以，，，
，（舍去），所以，
抛物线准线方程是，A不符合题意；
双曲线实轴长为，B符合题意；
双曲线的渐近线方程是，即，C不符合题意；
由双曲线定义，即，或（舍去），D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】根据题意由抛物线以及双曲线的定义和性质，结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】由题意设抛物线方程为（），
则，，
所以抛物线方程为．
故答案为：．
【分析】 设抛物线的标准方程为（），代入点P的坐标，求出p的值，即可得抛物线的标准方程 .
14．【答案】3
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】如图所示，
因为是正三角形，所以.
由抛物线的定义可知，，过F作，又知，所以，
所以，则.
由的面积为可知，，所以.
故答案为：3
【分析】根据题意由已知条件结合抛物线的定义即可得出，结合已知条件以及三角形的面积公式代入计算出P的取值即可。
15．【答案】4
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】抛物线的准线为．
设点在准线上的射影为，如图，
则根据抛物线的定义可知，
要求取得最小值，即求取得最小．
当，，三点共线时，最小，为．
故答案为：4．
【分析】 设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知，进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D， P，A三点共线时最小，可得答案.
16．【答案】16；4
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题可知，设直线，代入抛物线方程可得，
，则，
因为，
所以，又，
∴，，
∴，
又的中点到准线的距离为，
∴，即，
∴，即.
故答案为：16；4.
【分析】由题可得，可设直线方程与抛物线联立，可得，根据抛物线方程可得，进而可得，再结合条件即得.
17．【答案】（1）解：因为双曲线的方程为 ，
所以 .
所以 .所以 .
所以双曲线的焦点坐标分别为
（2）解：因为抛物线 的焦点与双曲线的一个焦点相同，
所以抛物线 的焦点坐标是(2，0)，
所以 .
因为点 为抛物线上一点，
所以点 到抛物线的焦点的距离等于点 到抛物线的准线 的距离.
因为点 到拋物线的焦点的距离是5，
即 ，
所以
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【分析】(1)首先由双曲线的方程求出a与b的值再由双曲线里a、b、c的关系计算出c的值由此得出焦点的坐标。
(2)由已知条件抛物线 的焦点与双曲线的一个焦点相同 ，求出抛物线的交点坐标由此计算出p的值由此得到抛物线的方程，再由抛物线的定义把点p的坐标代入计算出的值即可。
18．【答案】（1）解：选择条件①.由抛物线的定义可得 .
因为 ，所以 ，解得 .
故抛物线 的标准方程为 .
选择条件②.因为 ，所以 ， ，
因为点 在抛物线 上，所以 ，即 ，解得 ，
所以抛物线 的标准方程为 .
选择条件③.当 轴时， ，所以 .
故抛物线 的标准方程为 .
（2）解：设 ， ，由（1）可知 .
由 ，消去 得 ，
则 ， ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，
故 .
因为点 到直线 的距离 ，
所以 的面积为 .
【知识点】点到直线的距离公式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【分析】(1) 选择条件① ，由抛物线的定义结合已知条件即可求出P的取值，从而得出抛物线的方程。 选择条件② ，根据题意即可得出点的坐标，再把点的坐标代入到抛物线的方程由此计算出P的取值，由此即可得出抛物线的方程。
(2)由已知条件设出点的坐标，然后联立直线与抛物线的方程消元后的得出关于x的方程，结合韦达定理计算出 ，，再把结果代入到弦长公式由此计算出的值，从而即可得出的取值，然后由点到直线的距离公式再结合三角形的面积公式，代入数值计算出结果即可。
19．【答案】（1）解：如图，建立平面直角坐标系，由题意得，，则抛物线．
（2）解：如图，设抛物线C的焦点为F，则，
∵城镇P位于点O的北偏东30°处，，∴，
根据抛物线的定义知，公路总长．
当与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）由抛物线的定义，O为坐标原点可建立平面坐标系，即可求抛物线C的方程；
（2）由抛物线的定义，公路总长，即可求公路总长最小值.
20．【答案】（1）设直线 的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，于是 .
所以 ，即 ，
故抛物线 的方程为 .
（2）由（1）可得 ，显然 .
则 ， ，
所以
，
点 ，即 .
从而直线 的方程为 ，
令 ，可得点 ，
所以 ，
由 ，得 ，
得 ，所以 .
所以 的方程为 ，
因此直线 与 轴的交点坐标为 .
【知识点】数量积的坐标表达式；两点间的距离公式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【分析】(1)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于p的两根之和与两根之积的代数式，再由数量积的坐标公式代入计算出p的值，由此得出抛物线的方程。
(2) 由（1）可得 ，结合韦达定理求出，再由弦长公式代入整理得到，设出点的坐标整理得到点M的坐标，从而得出直线的方程，再令x=-1代入计算出点N的坐标，利用两点间的距离公式代入整理，求解出m的值由此得出直线的方程，以及直线 与 轴的交点坐标。
21．【答案】（1）解：抛物线 的准线方程为 ，
由已知得 ，解得 ，
故抛物线 的方程为
（2）解：设直线 的方程为 ，点 ， ，
①证明：由 消去 得， ，
则 ，
即有 ，且 ， ，
因为线段 的中点 在直线 上，
所以 ，可得 ，
所以线段 的垂直平分线 的方程为 ，
即为 ，
故 经过定点 ．
②由①知l'： ，所以点 ，
则 ，
因为 ，
又因为 到直线 的距离 ，
所以 ，
由 及 ，可知 ，
所以
，
当 时， 取得最大值
【知识点】点到直线的距离公式；抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【分析】(1)利用抛物线的性质结合抛物线的定义即可求出p的值，由此得出抛物线的方程。
(2) 根据题意首先设出直线的方程①联立直线和抛物线的方程，消元得到关于y的方程，结合二次函数的性质以及韦达定理即可求出，，再由中点的坐标公式代入整理得到
，整理得到，结合直线垂直平分的性质即可得到直线的方程，从而得出直线l过的定点。
② 由①知l'： ，所以点 ，结合点到直线的距离公式以及弦长公式整理得到三角形的面积公式，由基本不等式以及二次函数的性质即可求出最大值。
22．【答案】（1）解：由题意可得 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为
（2）解：由（1）知，圆 方程为： ，
由已知可设 ，且 ， ，
由 得 ，
设 是抛物线 上任一点，则 ，
故抛物线与圆相离．
①证明：当直线 与 轴不平行时，有 ，
由抛物线定义知， ， ．
所以
，
所以
②由（1）知抛物线方程为 ．所以 ．
所以过点 的切线 ，即 ．
同理可得，过点 的切线 为 ．
由 ， 方程联立，得 ，
解之，得 ，
又得 ，所以 ．
到 的距离 ，
，
从而
【知识点】直线的点斜式方程；两点间的距离公式；点到直线的距离公式；抛物线的定义
【解析】【分析】（1）由题意联立方程组可求出p进而得到抛物线方程。（2）联立方程组求出点A,B所在方程,设 是抛物线 上任一点,求 可判断抛物线与圆相离，①由抛物线定义可推出 。② 根据导数求出过点A切线斜率进而求过点A出切线方程，同理求出过点B切线方程，联立方程组解出D点坐标，再根据点到直线距离公式求出高d，进而求出 与 DBN 的面积之积大于等于16.

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