资源简介

1.5全称量词与存在量词
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：全称量词和存在量词的意义；使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定.
难点：判定全称量词命题和存在量词命题的真假，正确地写出含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题的否定.
三、教科书编写意图及教学建议
本节的主要内容是全称量词与存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定.通过本节的学习，学生要在理解全称量词与存在量词的意义的基础上，能正确地使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定，认识到全称量词命题的否定是存在量词命题和存在量词命题的否定是全称量词命题的规律.
全称量词和存在量词是数学中经常使用的两类量词，本节通过丰富的数学实例，介绍了这两类量词的意义，探究了全称量词命题和存在量词命题的否定，说明了全称量词命题的否定是存在量词命题和存在量词命题的否定是全称量词命题的规律.这个阶段，只考查含有一个全称量词的命题或含有一个存在量词的命题，不讨论含有多个量词的命题.
本节引入了新的数学符号“”“”“”，以及特定命题的数学符号表示：，；，；，；，.符号的特点是简洁、准确，但是形式化、抽象化程度都比较高，教学时应多选取一些数学实例，多鼓励学生使用符号语言，从而能让学生习惯于运用符号语言表达一些数学内容.
1.5.1全称量词与存在量词
1.通过创设情境，引入基本概念
教科书首先引导学生回顾命题的概念，然后思考、讨论本小节的第一个“思考”.“思考”中选取了四个含有变量的陈述句，其中（3）（4）是在（1）（2）的基础上分别加了一个短语“对所有的”“对任意一个”对变量进行限定.学生根据命题的概念容易判断出，（1）（2）不是命题，而（3）（4）是命题.通过对比，激发学生对这类短语的兴趣，由此引出全称量词的概念、符号以及全称量词命题的概念.
全称量词有许多种表述形式，除了“思考”中出现的两种形式外，在教科书的边空中列举了其他常用的几种表述形式.教学中，教师可引导学生多举一些数学例子，以加深学生对全称量词的认识.
与全称量词和全称量词命题的概念的引入类似，教科书在引入存在量词和存在量词命题的概念时先让学生思考、讨论本小节的第二个“思考”.“思考”中选取了四个含有变量的陈述句，其中（3）（4）是在（1）（2）的基础上分别加了一个短语“存在一个”“至少有一个”.学生根据命题的概念容易判断出，（1）（2）不是命题，因为在（1）（2）中不知道变量代表什么，无法判断真假.而（3）（4）是命题，因为在（3）（4）中对变量的取值范围进行了限定，从而可以判断它们的真假.通过对比，引起学生对“存在一个”“至少有一个”这类短语的兴趣，由此引出存在量词的概念、符号，以及存在量词命题的概念.
存在量词也有许多种表述形式，除了思考中出现的两种表述形式外，教科书的边空中列举了其他常用的几种表述形式“有一个”“有的”“有些”“对某个”等.具体教学时，教师可引导学生寻找其他的数学例子，以加深学生对这些存在量词的认识.
2.全称量词命题和存在量词命题的符号表示
符号语言是数学的基本语言.在数学中，我们经常使用符号语言简洁、准确地表达数学的一些内容.本节中，通过引入符号表述全称量词命题和存在量词命题，可以使学生体会用符号语言表达数学内容的准确性、简洁性.
教科书将含有变量的陈述句用符号，，，…表示，将变量的取值范围用符号表示.这样一来，我们就可以用符号
表示全称量词命题“对中任意一个，有成立”.同样地，可以用符号
表示存在量词命题“存在一个，有成立”.
在教学时，教师应鼓励学生适当使用符号语言来表达数学内容，从而习惯于运用符号语言表达一些数学内容.
3.例题和练习的设计意图与教学分析
例1是通过三个数学实例介绍全称量词命题真假的判断方法，使学生理解全称量词的意义，会判定全称量词命题的真假.通过学生熟悉的数学例子理解全称量词的意义是本节的教学重点之一，而判定全称量词命题的真假则是本节的教学难点之一.教师在介绍完全称量词命题的概念和符号表示之后，可提出如下问题让学生思考：对给定的全称量词命题，如何判断它的真假呢？引导学生阅读例1中的三个全称量词命题，理解全称量词的意义，然后思考回答.教师最好不要先给出判定全称量词命题的真假的一般方法，而是针对具体的全称量词命题进行分析，最后引导学生自主总结出下面的一般方法：
如果对集合中每一个，都成立，那么“”为真命题；
如果在集合中存在一个，使得不成立，那么“”为假命题.教学中注意通过大量的例子引导学生自主归纳总结，并鼓励学生自己举例巩固
加深理解，切忌教师给出方法学生死记硬背.
例2是通过三个数学实例介绍存在量词命题真假的判别方法，通过这个例子使学生理解存在量词的意义，会判定存在量词命题的真假.与前面类似，教师在介绍完存在量词命题的概念和符号表示之后，可提出如下问题让学生思考：对给定的一个存在量词命题，如何判断它的真假呢？教师先引导学生阅读例2中的三个存在量词命题，然后思考回答这三个命题的真假.同样地，教师最好先不要给出判定存在量词命题的真假的一般方法，而是针对具体的存在量词命题进行分析，引导学生总结归纳出一般方法：
如果在集合中存在一个，使得成立，那么“”为真命题；如果对集合中每一个，都不成立，那么“”为假命题.
本小节的练习1，2是为了巩固学生学习的基本知识，可以让学生在课堂上完成.本小节例题和练习中部分全称量词命题和存在量词命题是用符号语言表达出来
的其目的是让学生体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性、引导学生在今后的数学学习中，自觉地运用符号语言表达数学内容.
1.5.2全称量词与存在量词命题的否定
1.创设情境，引入问题
教科书为了引人本小节要考查的问题，首先陈述了一个基本事实：对一个命题进行否定，可以得到一个新的命题，称其为原来命题的否定，然后给出两个学生熟悉的数学命题的否定，由此引出本小节将要考查的问题：如何正确地写出全称量词命题的否定和存在量词命题的否定.
2.通过问题引导学生思考
全称量词命题和存在量词命题的否定是一个教学难点，教科书以形式化的语言表述为桥梁，通过启发性问题引导学生思考，以降低学生的认知难度。
在引出本节要考查的问题后，教科书分别安排了两个“探究”，通过学生熟悉的数学例子，让学生发现全称量词命题“”的否定是存在量词命题，它的一般形式为“”，而存在量词命题“”的否定是全称量词命题，它的一般形式为“”.
教科书在分析“探究”中全称量词命题和存在量词命题时，并没有直接给出这些命题的否定的最终表述形式，而是根据全称量词和存在量词的含义，直接对原先的命题进行否定，得到这些命题的否定的一种表述形式，但需要强调的是这些表述过于形式化，不自然也不符合日常语言表达的习惯，所以最后进一步将这些表述改写成常用的表述形式.为此，教科书在“探究”后的分析中，先后用了五个“也就是说”，这样处理一方面让学生体会如何用间接、自然的语言表达数学内容；另一方面，通过这些命题的否定的最后表述，学生很容易观察出原先的命题和它们的否定在形式上的变化，从而降低了学生的认知难度.
例如，对第一个“探究”中的全称量词命题（1）“所有的矩形都是平行四边形”，根据全称量词“所有的”的含义，它的否定为“并非所有的矩形是平行四边形”.这种表述有些“绕”，我们换一种说法为“存在一个矩形不是平行四边形”.如果直接从命题（1）到最后它的否定的表述，学生会觉得太突然，理解和接受起来有困难.但最后的表述是很有必要的，由此可以观察出命题（1）的否定是一个存在量词命题，再通过分析其他的全称量词命题的否定，便可归纳出全称量词命题“”的否定的一般形式为
，
它是一个存在量词命题.
又如，对第二个“探究”中的存在量词命题（1）“存在一个实数的绝对值是正数”，根据存在量词“存在一个”的含义，它的否定为“不存在一个实数，它的绝对值是正数”.这种表述不太自然，我们可以换一种说法，改为“所有实数的绝对值都不是正数”.同样地，如果从命题（1）直接给出最后的否定的表述，跨度太大，学生会觉得难以理解，再通过分析其他的存在量词命题的否定，便可归纳出存在量词命题“”的否定的一般形式为
，
它是一个全称量词命题.
3.例题和练习的设计意图与教学分析
例3与例4是让学生通过探究栏目得到的结论，正确地使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定.
例5是对本节所学基础知识的一个巩固，既要求学生写出全称量词命题与存在量词命题的否定，还要求判断真假.由于命题与它的否定只能一真一假，故可以通过判断原命题的真假，从而得到它们的否定的真假.例如，任意两个等边三角形的三边对应成比例，故例5中命题（1）是一个真命题，那么它的否定是一个假命题.
本小节的练习1，2分别选取数学中的一些较简单的全称量词命题和存在量词命题，让学生写出它们的否定，其目的是进一步巩固学生所学的基本知识，教师可以让学生在课堂上完成.
4.教学中需要注意的问题
在探究含有一个量词的命题的否定时，学生常常会出现一些逻辑错误，如认为第一个“探究”中的命题（1）的否定为“所有的矩形都不是平行四边形”.其实，命题（1）陈述的事实是“所有的矩形都是平行四边形”，否定这个事实，也就是说，“并非所有的矩形都是平行四边形”，这包含了两种情形，一是“所有的矩形都不是平行四边形”，二是“有些矩形是平行四边形，有些矩形不是平行四边形”，把这两种情形综合起来就是说“存在一个矩形，它不是平行四边形”.所以，“所有的矩形都不是平行四边形”只是命题（1）的否定中的一种情形，而不能代表全部.
我们还可以从集合的角度理解这个问题.如果用表示所有矩形的集合，表示所有平行四边形的集合，那么命题（1）可以表示为“”，命题“所有的矩形都不是平行四边形”可以表示为“”，其中表示所有平面四边形的集合.否定命题（1）就得到“”，即“”，亦即“”，而不是“”，后者只是前者的一种特殊情形.
学生在写出第二个“探究”中命题的否定时，也会犯类似的错误.如认为第二个探究栏目中命题（2）的否定为“某些平行四边形不是菱形”，这是不对的.我们知道，命题（2）为真命题，而它的否定应为假命题，而命题“某些平行四边形不是菱形”是真命题.
同样地，我们也可以从集合的角度解释这个问题.如果用表示所有平行四边形的集合，表示所有菱形的集合，那么命题（2）可以表示为“”，命题“某些平行四边形不是菱形”可以表示为“”，其中表示所有平面四边形的集合.否定命题（2）得到的是“”，即“”，亦即“”，而不是“”.
总之，要正确地对全称量词命题或存在量词命题进行否定，我们一方面要充分理解全称量词与存在量词的含义，另一方面应充分利用原命题与它的否定在形式上的联系.
另外，教学中要注意区分一个命题的否定与它的否命题之间的差别.注意到，全称量词命题“所有的矩形都是平行四边形”也可以改写为“若，则”形式的命题，即“若一个平面四边形是矩形，则这个四边形是平行四边形”.那么，它的否命题为“若一个平面四边形不是矩形，则这个四边形不是平行四边形”，采用前面集合的记号，它可以表示为“若，则”，即“”，它与“所有的矩形都是平行四边形”的否定“”是两个不同的命题.

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