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《全称量词与存在量词》知识探究
探究点1全称量词与全称量词命题
1.全称量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universalquantifier),并用符号“”表示.
2.全称量词命题
含有全称量词的命题,叫做全称量词命题(universalproposition).
【要点辨析】
1.从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的.
2.常见的全称量词有“一切““每一个”“任给”等.
3.一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”.
4.全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要补充出来.
学科素养:用逻辑用语表述具体的实例，提升数学抽象核心素养.
典例1[观察记忆能力](1)下列命题中,是全称量词命题的是_________.(填序号)
①所有的一次函数都是单调函数.
②.
③负数的平方都是正数.
④平行四边形对角线互相平分.
(2)用量词符号表述下列全称量词命题.
①任意一个实数乘都等于它的相反数.
②对任意实数,都有.
点拨：(1)理解全称量词的意义,掌握常见的全称量词是解决此问题的关键,有些隐含的量词要挖掘出来.①含有全称量词“所有的”,所以是全称量词命题.②含有全称量词符号“”所以是全称量词命题.③省略了全称量词“任意一个”,所以是全称量词命题.④在叙述上没有全称量词,但实际上是指“所有的”所以是全称量词命题.
答案：①②③④
(2)掌握全称量词的符号是解题关键.具体解题过程如下:
①.②.
探究点2存在量词与存词量词命题
1.存在量词
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existentialquantifier),并用符号“”表示.
2.存在量词命题
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题(existentialpropostition).
【要点辨析】
1.从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
2.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
3.含有存在量词的命题,不管包括的程度多大,都是存在量词命题.
4.一个存在量词命题可以包含多个变量,如“,使”.
含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
学科素养：用逻辑符号语言表述实例,提升数学抽象核心素养.
典例2[概括理解能力](1)下列命题中,是存在量词命题的是________.(填序号)
①正方形的四条边相等.
②有两个角是的三角形是等腰直角三角形.
③正数的平方根不等于0.
④至少有一个正整数是偶数.
⑤所有正数都是实数吗
(2)(2019-东北师范大学附中高一检测)用符号“”表示下列存在量词命题:
①存在一个,使.
②至少有一个是无理数是无理数.
③有些整数既能被2整除,又能被3整除.
点拨:(1)理解存在量词的意义,掌握常见的存在量词就能解决此问题.
解析:①②③是全称量词命题;④中含有存在量词“至少有一个”是存在量词命题;
⑤是问句,不是命题.
(2)①.
②是无理数,是无理数.
③有些数,既能被2整除,又能被3整除.
答案:(1)④ (2)见解析
探究点3含有一个量词的命题的否定
1.全称量词命题的否定
一般地,对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题,它的否定.
2.存在量词命题的否定
一般地,对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:存在量词命题,它的否定.
【要点辨析】
1.要否定全称量词命题“”,只需在中找到一个,使得不成立,也就是命题“”成立;
2.要否定存在量词命题“”,需要验证对中的每一个,均有不成立,也就是命题“”成立.即在书写这两种命题的否定时,要将相应的将存在量词变为全称量词,全称量词变为存在量词.
3.掌握存在量词的符号是解题关键.
学科素养:对全称量词命题与存在量词命题进行正确否定，提升数学抽象、逻辑推理核心素养.
典例3[推测解释能力](1)(2019-首都师范大学附中月考)命题“对任意,都有”的否定为( )
A.对任意,都有
B.不存在,使得
C.存在,使得
D.存在,使得
(2)(2019-广西南宁二中高一月考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )
A.
B.
C.
D.
(3)(2019-山东威海一中月考)考命题,则为( )
A.
B.
C.
D.
点拨:本题为含有一个量词的命题的否定,解决本题需明确方法“改量词否结论”.
解析:(1)根据定义可知命题的否定为存在,使得.
(2)由词语“有些”知原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词命题,因为命题的否定只否定结论.
(3)全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题的否定为.
答案：(1)D(2)C(3)B
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