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6.4.3 余弦定理、正弦定理（第一课时）余弦定理
学习目标
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系。
2.掌握余弦定理。
3.能用余弦定理解决简单的实际问题。
基础梳理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即 a2=b2+c2－2bccosA，
b2=c2+a2－2accosB，
c2=a2+b2－2abcosC。
2.由余弦定理，可以得到如下推论：
随堂训练
1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)
A．30°　　　　　 B．60°
C．120° D．150°
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A． B．8－4
C．1 D．
5．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　)
A．1C．6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________．
7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________．
8．设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.求a，c的值．
9．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
答案
随堂训练
1.答案：B　[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，∴A＝60°.]
2.答案：C　[由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－.]
3.答案：C　[由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．]
4.答案：A　[由 (a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.]
5.答案：C　[若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<，若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>，故6.答案：0　[∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°
＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.]
7.答案：1　[∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴()2＝a2＋12－2a×1×cos ，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1.]
8.解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)．
又b＝2，a＋c＝6，cos B＝，
所以ac＝9，
解得a＝3，c＝3.
9.解：(1)∵cos A＝2cos2－1，
∴2cos2＝cos A＋1.
又2cos2＋cos A＝0，
∴2cos A＋1＝0，
∴cos A＝－，
∴A＝120°.
(2)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A ，
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去)．
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