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6.4.3 余弦定理、正弦定理（第二课时）正弦定理
学习目标
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系。
2.掌握正弦定理。
3.能用正弦定理解决简单的实际问题。
基础梳理
定义：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
随堂训练
1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝(　　)
A．4∶1∶1 B．2∶1∶1
C.∶1∶1 D.∶1∶1
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，A＝60°，则tanB等于(　　)
A．1 B. C. D.
3．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)
A．a＝7，b＝14，A＝30° B．a＝30，b＝25，A＝150°
C．a＝6，b＝9，A＝45° D．a＝30，b＝40，A＝30°
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于(　　)
A．120° B．105° C．90° D．75°
5．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( )
A.在△ABC中， a:b:c=sinA:sinB:sinC
B.在△ABC中，若sin2A=sin2B，则a=b
C.在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B,若A>B,则sinA>sinB都成立
D.在△ABC中，
6．△ABC中， a=1，b=，A=30°，则B等于( )
A． B． C．或 D．或
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.
8．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.
9．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且＝，则角B的大小为________．
10．(1)在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形；
(2)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC＝，当a＝2，且2sinA＝sinC时，求b的长．
答案
随堂训练
1.答案：D[∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理的变形公式，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝∶∶＝∶1∶1.故选D.]
2.答案：B[由正弦定理，得sinB＝·sinA＝×＝，根据题意，得b3.答案：D[在A中，bsinA＝14sin30°＝7＝a，故△ABC只有一解；在B中，a＝30，b＝25，故a>b，又A＝150°，故△ABC只有一解；在C中，bsinA＝9sin45°＝>6＝a，故△ABC无解；在D中，bsinA＝40sin30°＝20，因bsinA4.答案：A[∵c＝a，
∴sinC＝sinA＝sin(180°－30°－C)
＝sin(30°＋C)＝，
即sinC＝－cosC.
∴tanC＝－.
又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.]
5.答案：B[由正弦定理易知A，C，D正确.
B错误，由sin2A=sin2B，可得A=B，或2A+2B=π，即A=B，或A+B=，∴a=b，或a2+b2= c2]
6.答案：D[由正弦定理可得，.又，∴或，故选D.]
7.答案：[∵cosA＝，cosB＝，∴sinA＝，sinB＝.
∴sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
又∵sin(π－C)＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinC＝，
由正弦定理，得＝，∴c＝＝.]
8.答案：30°[∵b＝2a，∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，
∴sin(A＋60°)＝2sinA，
即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，
化简得sinA＝cosA，∴tanA＝，∴A＝30°.]
9.答案：60°[∵＝，根据正弦定理，得＝＝.
化简为2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．
在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA，∴cosB＝.
∵0°10.解：(1)∵＝＝，
∴b＝＝＝＝4.
∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴c＝＝＝＝2＋2.
(2)a＝2，b＝6，a又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，
所以本题有两解，由正弦定理，得
sinB＝＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
11.解：∵a＝2，sinC＝，2sinA＝sinC，
∴sinA＝，∵在△ABC中，sinC>sinA，∴C>A，
∴cosA＝，cosC＝±，
∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC
＝×＋×＝，
∴sinB＝或sinB＝，
由正弦定理＝，∴b＝2或.
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