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3.3　幂函数
【学习目标】
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．
2．结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象，了解它们的变化情况．
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本89～91，思考并完成以下问题
(1)幂函数是如何定义的？
(2)幂函数的解析式具有什么特点？
(3)常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？
二、课前小测
1．下列函数中不是幂函数的是(　　)
A．y＝　　　 B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
2．已知f(x)＝(m＋1)xm2＋2是幂函数，则m＝(　　)
A．2　　　　B．1 C．3　　　　 D．0
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝________.
三、新知探究
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象如图所示：
3．幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，增函数 x∈(－∞，0] 时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞) 时，减函数 x∈(－∞，0) 时，减函数
四、题型突破
题型一 幂函数的概念
[例1]　已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
【反思感悟】
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2底数为自变量；3系数为1.
【跟踪训练】
1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0　　 B．1
C．2 D．3
题型二 幂函数的图象及应用
[例2]　点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)【反思感悟】
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
1 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴简记为指大图低；在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x轴简记为指大图高.
2 依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3来判断.
【跟踪训练】
2. (1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
(2)函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
A B　　 C　 　D
题型三 幂函数性质的综合应用
[探究问题]
1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
[例3]　比较下列各组中幂值的大小：
(1)0.213，0.233；(2) ，，.
[思路点拨]　构造幂函数，借助其单调性求解．
【多维探究】
把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：
(1) 0.5与0.5；
(2) －1与－1.
【反思感悟】
比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.
五、达标检测
1．思考辨析
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．(　　)
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．(　　)
(3)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数．(　　)
(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．(　　)
2．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是(　　)
A．y＝x－1　　　 B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝x3
3．函数y＝的图象是(　　)
A　 B　 C　 D
4．比较下列各组数的大小：
(1) 与；
(2) ，，.
六、本课小结
1．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．
2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝)图象与性质的关系．
3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题.
参考答案
课前小测
1．C　
只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.
2．D　
由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.
3．　
由f(2)＝可知2α＝，即α＝－，所以f(4)＝ ＝.
题型突破
[例1] 解：　由题意得解得所以m＝－3，n＝.
【跟踪训练】
1．B
∵y＝＝x－2，∴是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
[例2] 解：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)【跟踪训练】
2. (1)B　(2)B　
解析：(1)令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，
所以a>b>c>d.故选B.
(2) y＝的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝－1的图象可看作由y＝的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝－1的图象关于x轴对称后即为选项B.
[例3] 解：
(1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，
∴0.213<0.233.
(2) ＝，＝.
∵1.2>>1.1，且y＝在[0，＋∞)上单调递增，
∴>>，即>>.
【多维探究】
解：(1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，
又>，
所以0.5>0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以－1>－1.
达标检测
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．B　
解析：设f(x)＝xα，则2α＝，
∴α＝，∴f(x)＝. 选B.
3．C
解析：∵函数y＝是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C.
4．解：　
(1)因为函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以>.
(2) >＝1，0<<＝1，而 <0，
所以>>.

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