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4.2　指数函数（1）
【学习目标】
1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．
2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本111～117，思考并完成以下问题
(1)指数函数的概念是什么？
(2)结合指数函数的图象，归纳出指数函数具有哪些性质？
(3)指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？
二、课前小测
1．下列函数一定是指数函数的是(　　)
A．y＝2x＋1　　　 B．y＝x3
C．y＝3·2x D．y＝3－x
2．函数y＝3－x的图象是(　　)
A　 B　 C　　 D
3．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x3　　 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝x D．f(x)＝
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________．
三、新知探究
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2．指数函数的图象和性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
思考1：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
提示：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0思考2：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？
提示：指数函数值随自变量的变化规律如下图
四、题型突破
题型一 指数函数的概念
【例1】　(1)下列函数中，是指数函数的个数是(　　)
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x.
A．1　　　　 B．2
C．3 D．0
(2)已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________.
【反思感悟】
1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1.
2．求指数函数的解析式常用待定系数法．
【跟踪训练】
1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
题型二 指数函数的图象的应用
【例2】　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
【反思感悟】
指数函数图象问题的处理技巧
1 抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.
2 利用图象变换，如函数图象的平移变换左右平移、上下平移.
3 利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.
【跟踪训练】
2．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；
(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
题型三 指数函数的定义域、值域问题
[探究问题]
1．函数y＝的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域什么关系？
提示：定义域相同．
2．如何求y＝的值域？
提示：可先令t＝x2＋1，则易求得t的取值范围为[1，＋∞)，又y＝2t在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t≥2，所以y＝的值域为[2，＋∞)．
【例3】　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；
(2)y＝x2－2x－3；
(3)y＝4x＋2x＋1＋2.
【多维探究】
1．若本例(1)的函数换为“y＝”，求其定义域．
2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．
【反思感悟】
1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)；
(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；
(3)求t＝f(x)的值域t∈M；
(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
五、达标检测
1．思考辨析
(1)y＝x2是指数函数．(　　)
(2)函数y＝2－x不是指数函数．(　　)
(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　)
2．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
3．函数y＝的定义域是________．
4．设f(x)＝3x，g(x)＝x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
六、本课小结
1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式．
2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
3．由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，所以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．
参考答案
二、课前小测
1．D
解析：由指数函数的定义可知D正确．
2．B
解析：∵y＝3－x＝x，∴B选项正确．
3．B
解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得
a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.
4．(1，＋∞)
解析：结合指数函数的性质可知，若y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a>1.
四、题型突破
【例1】(1)D　(2)　
解析：(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，而是x的函数，
所以不是指数函数；
③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝得a－＝，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝.
【跟踪训练】
1．∪(1，＋∞)
解析：由题意可知解得a>，且a≠1，
所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
【例2】(1)D　(2)(3,4)　
解析：(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0又00，b<0，故选D.
(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．
【跟踪训练】
2．解析：
(1) y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．
(2) y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．
(3) y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．
(4) ∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．
(5) ∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．
【例3】解：
(1) 要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，
所以∈[0,1)，即函数y＝的值域为[0,1)．
(2) 定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴x2－2x－3≤－4＝16.
又∵x2－2x－3>0，
∴函数y＝x2－2x－3的值域为(0,16]．
(3) 因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
【多维探究】
1．解：由x－1≥0得x≥0，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]．
2．解：∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.
令2x＝t，则t∈[1,4]，且f(t)＝(t＋1)2＋1，
易知f(t)在[1,4]上单调递增，
∴f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5,26]．
五、达标检测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．B
解析：作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b3．[0，＋∞)　
解析：由1－x≥0得x≤1＝0，∴x≥0，
∴函数y＝的定义域为[0，＋∞)．
4．解：(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3，
f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π，
f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．

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