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4.3.1　对数的概念
【学习目标】
1. 理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．
2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．
3．理解常用对数、自然对数的概念及记法.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本122～123，思考并完成以下问题
(1)对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？
(2)什么是常用对数和自然对数？
(3)如何进行对数式和指数式的互化？
二、课前小测
1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有(　　)
A．log2M＝a　　　 B．logaM＝2
C．log22＝M D．log2a＝M
2．若log3x＝3，则x＝(　　)
A．1 B．3
C．9 D．27
3．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<0
B．0C．0D．14．ln 1＝________，lg 10＝________.
三、新知探究
1．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
提示：由对数的定义ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
四、题型突破
题型一 指数式与对数式的互化
【例1】　将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
(1)2－7＝；(2) ＝－5；
(3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.
【反思感悟】
指数式与对数式互化的方法
1将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
2将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
【跟踪训练】
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1) 3－2＝；　　　 (2) －2＝16；
(3) ＝－3; (4) ＝－6.
题型二 利用指数式与对数式的关系求值
【例2】　求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－； (2)logx 8＝6；
(3)lg 100＝x； (4)－ln e2＝x.
【反思感悟】
求对数式logaNa>0，且a≠1，N>0的值的步骤
1设logaN＝m；
2将logaN＝m写成指数式am＝N；
3将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.
【跟踪训练】
2．计算：(1)log9 27；(2) ；(3) .
题型三 应用对数的基本性质求值
[探究问题]
1．你能推出对数恒等式＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？
提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得＝N.
2．若方程logaf(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程logaf(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)
提示：若logaf(x)＝0，则f(x)＝1；若logaf(x)＝1，则f(x)＝a.
【例3】(1)设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于(　　)
A．10　　　　　 B．13
C．100 D．±100
(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________．
[思路点拨]　(1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；
(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．
【多维探究】
1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________．
2．在本例(2)条件不变的前提下，计算的值．
【反思感悟】
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质＝N与logaab＝b的作用
(1)＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
五、达标检测
1．思考辨析
(1)logaN是loga与N的乘积．(　　)
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)
(3)对数运算的实质是求幂指数．(　　)
(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．(　　)
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
A．100＝1与lg 1＝0
B．＝与＝－
C．log39＝2与＝3
D．log55＝1与51＝5
3．若log2(logx9)＝1，则x＝________.
4．求下列各式中的x值：
(1)logx27＝；　　(2)log2 x＝－；
(3)x＝log27； (4)x＝.
六、本课小结
1．对数的概念：ab＝N b＝logaN(a>0且a≠1)是解决指数、对数问题的有利工具．
2．指数式、对数式的互化反映了数学上的等价转化思想，在涉及到对数式求值问题时，常转化为指数幂的运算问题．
3．对数恒等式alogaN＝N，其成立的条件是a>0，a≠1，N>0.
参考答案
课前小测
1．B　
∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.
2．D
∵log3x＝3，∴x＝33＝27.
3．B
由对数的定义可知
解得04．0　1　
∵loga1＝0，∴ln 1＝0，又logaa＝1，∴lg 10＝1.
题型突破
【例1】解：
(1)由2－7＝，可得log2＝－7.
(2)由＝－5，可得－5＝32.
(3)由lg 1000＝3，可得103＝1000.
(4)由ln x＝2，可得e2＝x.
【跟踪训练】
1．解：(1)＝－2；(2)；
(3) ；(4) .
【例2】解：
(1) x＝＝＝4－2＝.
(2) x6＝8，所以x＝＝＝＝＝.
(3) 10x＝100＝102，于是x＝2.
(4) 由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，
所以x＝－2.
【跟踪训练】
2．解：(1)设x＝log9 27，则9x＝27，32x＝33，∴x＝.
(2)设x＝，则()x＝81，3＝34，∴x＝16.
(3)令x＝，∴()x＝625，5＝54，∴x＝3.
【例3】(1)B　(2)10　
(1)由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.
(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.
【多维探究】
1．3e　
由ln(log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e.
2．解：∵x＝10，∴＝＝.
五、达标检测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．C　
C不正确，由log39＝2可得32＝9.
3．3
由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．
4．解： (1)由logx27＝，可得＝27，
∴x＝＝＝32＝9.
(2)由log2x＝－，可得x＝，
∴x＝＝＝.
(3)由x＝log27，可得27x＝，
∴33x＝3－2，∴x＝－.
(4)由x＝，可得x＝16，
∴2－x＝24，∴x＝－4.

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