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4.3.2　对数的运算
【学习目标】
1. 理解对数的运算性质．
2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．
3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本123～126，思考并完成以下问题
(1)对数具有哪三条运算性质？
(2)换底公式是如何表述的？
二、课前小测
1．计算log84＋log82等于(　　)
A．log86　　　 B．8
C．6 D．1
2．计算log510－log52等于(　　)
A．log58 B．lg 5
C．1 D．2
3．log23·log32＝________.
三、新知探究
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
思考：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
提示：不一定．
2．对数的换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，
则有logab＝.
四、题型突破
题型一 对数运算性质的应用
【例1】　计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3).
【反思感悟】
1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；
(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
【跟踪训练】
1．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.
题型二 对数的换底公式
【例2】　(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
【多维探究】
(变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)
【反思感悟】
1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．
2．常用的公式有：logab·logba＝1，＝logab，logab＝等．
【跟踪训练】
2．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
题型三 对数运算性质的综合应用
[探究问题]
1．若2a＝3b，则等于多少？
提示：设2a＝3b＝t，则a＝log2t，b＝log3t，∴＝log23.
2．对数式logab与logba存在怎样的等量关系？
提示：logab·logba＝1，
即logab＝.
【例3】　已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
[思路点拨]　
【多维探究】
1．把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求＋的值．
2．若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．
【反思感悟】
应用换底公式应注意的两个方面
1化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
2题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.
五、达标检测
1．思考辨析
(1)log2x2＝2log2x.(　　)
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．(　　)
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)．(　　)
(4)logx2＝.(　　)
2．计算log92·log43＝(　　)
A．4　　　　　　 B．2
C. D.
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　)
A. B.
C．ab D．a＋b
4．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1.
六、本课小结
1．应用对数的运算法则，可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减、乘)的运算．
2．换底公式反映了数学上的化归思想，其实质是将不同底的对数运算问题转化为同底的对数运算．
3．熟练掌握对数的运算法则，注意同指数运算法则区别记忆．
参考答案
二、课前小测
1．D　
log84＋log82＝log88＝1.
2．C　
log510－log52＝log55＝1.
3．1　
log23·log32＝×＝1.
四、题型突破
【例1】解：(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－·lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5
＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10
＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝
＝
＝
＝.
【跟踪训练】
1．解：(1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1.
(2) lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
【例2】解：(1) (log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.
(2)∵18b＝5，∴b＝log185.
又log189＝a，
∴log3645＝＝＝＝.
【多维探究】
解：∵log189＝a，∴log183＝.又log185＝b，
∴log915＝＝＝＝.
【跟踪训练】
2．解：(1)原式＝··＝＝＝4.
(2)原式＝
＝
＝·
＝.
【例3】解：∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，
∴＋＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，即c＝.
【多维探究】
1．解：∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515，
∴＋＝log153＋log155＝log1515＝1.
2．解：∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴3a－5b＝3log3c－5log5c
＝－＝
＝<0，
∴3a<5b.
五、达标检测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．D　
log92·log43＝·＝·＝.
3．B
∵10a＝2，∴lg 2＝a，
∴log26＝＝＝.
4．解：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2＋log212－log2－log22
＝log2＝log2
＝log22－＝－.

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