资源简介

4.4对数函数（2）
【学习目标】
1．掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．
2．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．
【学习过程】
题型突破
题型一 比较对数值的大小
【例1】　比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；
(2)与；
(3)log23与log54.
【反思感悟】
比较对数值大小的常用方法
1同底数的利用对数函数的单调性.
2同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
3底数和真数都不同，找中间量.
提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.
【跟踪训练】
1．比较下列各组值的大小：
(1) ，；
(2) log1.51.6，log1.51.4；
(3) log0.57，log0.67；
(4) log3π，log20.8.
题型二 解对数不等式
【例2】已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
[思路点拨]　(1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．
(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．
【反思感悟】
常见的对数不等式的三种类型
1 形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
2 形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解；
3 形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解.
【跟踪训练】
2．(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)题型三 对数函数性质的综合应用
[探究问题]
1．类比y＝af(x)单调性的判断法，你能分析一下y＝的单调性吗？
提示：形如y＝af(x)的单调性满足“同增异减”的原则，由于y＝由函数y＝及t＝2x－1复合而成，且定义域为2x－1>0，即x>，结合“同增异减”可知，y＝的减区间为.
2．如何求形如y＝logaf(x)的值域？
提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此基础上，分a>1和0【例3】　(1) 已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为(　　)
A．(0,1)　　　　 B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
(2) 函数f(x)＝的值域是________．
[思路点拨]　(1)结合对数函数及y＝2－ax的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得．
(2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．
【多维探究】
1．求本例(2)的函数f(x)在[－3,1]上的值域．
2．求本例(2)的单调区间．
【反思感悟】
1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．
达标检测
1．思考辨析
(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(　　)
(2)y＝在(0，＋∞)上为增函数．(　　)
(3)ln x<1的解集为(－∞，e)．(　　)
(4)函数y＝的值域为[0，＋∞)．(　　)
2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a>c>b　　　　 B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
3．函数f(x)＝log2(1＋2x)的单调增区间是______．
4．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式loga(3x＋1)(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．
本课小结
1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和02．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．
参考答案
题型突破
【例1】解：
(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，
所以log5(2)法一(单调性法)：由于＝，＝，
又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
且>，所以0>log2>log2，
所以<，所以< .
法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝及y＝的图象，由图易知： <.
(3) 取中间值1，
因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54.
【跟踪训练】
1．解：(1)因为函数y＝是减函数，且0.5<0.6，所以>.
(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.
(3)因为0>log70.6>log70.5，
所以<，即log0.67(4)因为log3π>log31＝0，log20.8log20.8.
【例2】解：
(1)由解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，
①当a＞1时，不等式等价于
解得1②当0＜a＜1时，不等式等价于
解得≤x<3.
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；
当0＜a＜1时，不等式的解集为.
【跟踪训练】
2．解：(1)由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0所以a的取值范围是.
(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
所以由log0.7(2x)1.
即x的取值范围是(1，＋∞)．
【例3】答案：(1)B　(2)(－∞，－1]
解析：(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，
∴
即∴∴1＜a＜2.
(2) f(x)＝(x2＋2x＋3)＝[(x＋1)2＋2]，
因为(x＋1)2＋2≥2，
所以[(x＋1)2＋2]≤2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．
【多维探究】
1．解：∵x∈[－3,1]，
∴2≤x2＋2x＋3≤6，
∴6≤(x2＋2x＋3)≤2，
即－log26≤f(x)≤－1，
∴f(x)的值域为[－log26，－1]．
2．解：∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，
又y＝t在(0，＋∞)为减函数，
且t＝x2＋2x＋3在(－∞，－1)上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数，故由复合函数单调性可知，y＝(x2＋2x＋3)单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为[－1，＋∞)．
达标检测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．答案：D
a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log523．答案：
易知函数f(x)的定义域为－，＋∞，又因为函数y＝log2x和y＝1＋2x都是增函数，所以f(x)的单调增区间是.
4．解：(1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0,1)．
(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)∴即解得即不等式的解集为.
(3) ∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，
∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，
∴a－2＝＝5，解得a＝.

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