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4.4对数函数（3）
【学习目标】
1. 理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．
2．区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异．
3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P136～138，思考并完成以下问题
1．函数y＝kx(k>0)、y＝ax(a>1)和y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的单调性是怎样的？
2．函数y＝kx(k>0)、y＝ax(a>1)和y＝logax(a>1)的增长速度有什么不同？
二、课前小测
1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是(　　)
A．y减少1个单位
B．y增加1个单位
C．y减少2个单位
D．y增加2个单位
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A．y＝ex　　　　 B．y＝ln x
C．y＝2x D．y＝e－x
3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
三、新知探究
三种函数模型的性质
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度
增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢； ②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
四、题型突破
题型一 几类函数模型的增长差异
【例1】　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A．y＝2 019x　　　 B．y＝2019
C．y＝log2 019x D．y＝2 019x
(2)下面对函数f(x)＝x，g(x)＝x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　)
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
【反思感悟】
常见的函数模型及增长特点
1线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋bk>0的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
2指数函数模型
指数函数模型y＝axa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.
3对数函数模型
对数函数模型y＝logaxa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
【跟踪训练】
1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 37 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
题型二 指数函数、对数函数与一次函数模型的比较
【例2】　函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f与g，f(2 019)与g(2 019)的大小．
【反思感悟】
由图象判断指数函数、一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.
【跟踪训练】
2．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
五、达标检测
1．思考辨析
(1)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．(　　)
(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax(3)函数y＝x衰减的速度越来越慢．(　　)
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　)
A．y＝1　　 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．
4．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
六、本课小结
直线上升、指数爆炸、对数增长
对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变.
参考答案
二、课前小测
1．C
结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．
2．A
结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．
3．②③
结合图象可知②③正确，故填②③.
四、题型突破
【例1】答案：(1)A　(2)C
(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.
(2)观察函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：
函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．
【跟踪训练】
1．y2
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
【例2】解：(1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)
从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，
∴f＜g；
当x＞2时，f(x)＞g(x)，
∴f(2 019)＞g(2 019)．
【跟踪训练】
2．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
五、达标检测
1．答案： (1)×　(2)×　(3)√
2．C
结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.
3．乙、甲、丙
将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．
4．解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x>4时，f(x)

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