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5.2.2　同角三角函数的基本关系
【学习目标】
1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．
2.理解同角三角函数的基本关系式．
3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P182～184，思考并完成以下问题
(1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？
(2)已知sin α，cos α和tan α其中的一个值，如何求其余两个值？
二、课前小测
1．化简的结果是(　　)
A．cos　　　 B．sin
C．－cos D．－sin
2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　)
A．tan α＝－
B．cos α＝－
C．sin α＝－
D．tan α＝
3．若cos α＝，且α为第四象限角，则tan α＝________.
三、新知探究
1．平方关系
(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
2．商数关系
(1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)．
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．
思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．
四、题型突破
题型一　直接应用同角三角函数关系求值
【例1】　(1)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________.
(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
[思路点拨]　(1)根据tan α＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cos α.
(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α.
【反思感悟】
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法
1已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.
2若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.
提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号.
【跟踪训练】
1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．
题型二 灵活应用同角三角函数关系式求值
【例2】　(1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.
(2)已知＝2，计算下列各式的值．
①；
②sin2α－2sin αcos α＋1.
[思路点拨]　(1)法一：→→→
法二：→→
(2)→
【多维探究】
1．将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？
2．将本例(1)的条件“sin α＋cos α＝”改为“sin α·cos α＝－”其他条件不变，求cos α－sin α.
【反思感悟】
1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2．已知tan α＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．
提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
题型三 应用同角三角函数关系式化简
【例3】　(1)化简＝________.
(2)化简·.(其中α是第三象限角)
[思路点拨]　(1)将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．
(2)首先将tan α化为，然后化简根式，最后约分．
【反思感悟】
三角函数式化简的常用方法
1化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
2对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.
【跟踪训练】
2．化简tan α，其中α是第二象限角．
题型四 应用同角三角函数关系式证明
[探究问题]
1．证明三角恒等式常用哪些方法？
提示：(1)从右证到左．
(2)从左证到右．
(3)证明左右归一．
(4)变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等．
2．在证明＝sin α＋cos α时如何巧用“1”的代换．
提示：在求证＝sin α＋cos α时，观察等式左边有2sin αcos α，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，
所以等式左边
＝
＝
＝
＝sin α＋cos α＝右边．
【例4】　求证：＝.
[思路点拨]　解答本题可由关系式tan α＝将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．
【反思感悟】
1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．
2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
提醒：解决此类问题要有整体代换思想．
【跟踪训练】
3．求证：(1)＝；
(2)2(sin6 θ＋cos6 θ)－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1＝0.
五、达标检测
1．思考辨析
(1)对任意角α，＝tan 都成立．(　　)
(2)因为sin2 π＋cos2 ＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．(　　)
(3)对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立．(　　)
2．已知tan α＝－，则的值是(　　)
A.　　　B．3　　　C．－　　　D．－3
3．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________.
4．(1)化简，其中α是第二象限角．
(2)求证：1＋tan2α＝.
六、本课小结
参考答案
课前小测
1．答案：C
解析：因为是第二象限角，
所以cos＜0，
所以＝＝＝－cos.
2．答案：B
解析：由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B正确．
3．答案：－
解析：因为α为第四象限角，且cos α＝，
所以sin α＝－＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
题型突破
【例1】(1)答案：－
解析：由已知得
由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，又α∈，所以cos α＜0，
所以cos α＝－.
(2)解：∵cos α＝－＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tan α＝.
【跟踪训练】
1．解：∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
∴cos α＝±.
又由sin α＝－3cos α，
可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；
当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－.
【例2】(1)答案：－　
法一：(构建方程组)
因为sin α＋cos α＝，①
所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝－.
因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.
所以sin α－cos α＝＝＝.②
由①②解得sin α＝，cos α＝－，
所以tan α＝＝－.
法二：(弦化切)
同法一求出sin αcos α＝－，＝－，＝－，
整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－或tan α＝－.
由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－.
(2) 解：由＝2，化简，得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3.
①法一(换元)原式＝＝＝.
法二(弦化切)原式＝＝＝.
②原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
【多维探究】
1．解：由例(1)求出2sin αcos α＝－，
因为α∈(－π，0)，
所以sin α＜0，cos α＞0，
所以sin α－cos α＝－
＝－＝－.
与sin α＋cos α＝联立解得
sin α＝－，cos α＝，
所以tan α＝＝－.
2．解：因为sin αcos α＝－＜0，所以α∈，所以cos α－sin α＜0，
cos α－sin α＝－＝－＝－.
题型三 应用同角三角函数关系式化简
【例3】(1)答案：1
解析：原式＝＝＝1.
(2) 解：原式＝·
＝·
＝·
＝·.
又因为α是第三象限角，
所以sin α＜0.
所以原式＝·＝－1.
【跟踪训练】
2．解：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0.
故tan α＝tan α＝tan α＝
＝·＝－1.
【例4】 证明：
法一：(切化弦)
左边＝＝，
右边＝＝.
因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，
所以＝，所以左边＝右边．
所以原等式成立．
法二：(由右至左)
因为右边＝
＝
＝
＝＝
＝左边，
所以原等式成立．
【跟踪训练】
3．证明：
(1)左边
＝
＝
＝
＝
＝＝
＝右边，
∴原等式成立．
(2)左边＝2[(sin2 θ)3＋(cos2 θ)3]－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1
＝2(sin2 θ＋cos2 θ)(sin4 θ－sin2 θcos2 θ＋cos4 θ)－3(sin4 θ
＋cos4 θ)＋1
＝(2sin4 θ－2sin2 θcos2 θ＋2cos4 θ)－(3sin4 θ＋3cos4 θ)＋1
＝－(sin4 θ＋2sin2 θcos2 θ＋cos4 θ)＋1
＝－(sin2 θ＋cos2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，
∴原等式成立．
达标检测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．答案：A　
解析：因为tan α＝－，
所以＝＝＝.
3．答案：－
解析：因为＝－，且sin2α＋cos2α＝1，
又因为α是第二象限角，
所以cos α＜0，
所以cos α＝－.
4．解：(1)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，
所以sin αcos α＜0，
所以＝
＝
＝－sin αcos α.
(2)证明：1＋tan2α＝1＋＝＝.

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