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5.3诱导公式（2）
【学习目标】
1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题．
2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．
3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.【学习过程】
一、课前预习
预习课本191～193，思考并完成以下问题
(1) －α的终边与α的终边有怎样的对称关系？
(2) 诱导公式五、六有哪些结构特征？
二、课前小测
1．下列与sin θ的值相等的是(　　)
A．sin(π＋θ)　　　　 B．sin
C．cos D．cos
2．已知sin 19°55′＝m，则cos(－70°5′)＝________.
3．计算：sin211°＋sin279°＝________.
4．化简sin＝________.
三、新知探究
1．公式五
(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
(2)公式：sin＝cosα，
cos＝sinα.
2．公式六
(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.
(2)公式：sin＝cosα，
cos＝－sinα.
思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
提示：sin＝sin＝sin＝cos α.
cos＝cos＝－cos＝－sin α.
四、题型突破
题型一 利用诱导公式化简求值
【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)
A.　　 B.
C．－ D．－
(2)已知sin＝，则cos的值为________．
【多维探究】
1．将例1(2)的条件中的“－α”改为“＋α”，求cos的值．
2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin的值．
【反思感悟】
解决化简求值问题的策略
1首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
2可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.
提醒：常见的互余关系有：
常见的互补关系有：
题型二 利用诱导公式证明恒等式
【例2】　(1)求证：＝.
(2)求证：＝－tan θ.
【反思感悟】
三角恒等式的证明的策略
1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.
2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法.
【跟踪训练】
1．求证：＝－1.
题型三 诱导公式的综合应用
[探究问题]
1．公式一～四和公式五～六的主要区别是什么？
提示：公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．
2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？
提示：“奇变偶不变、符号看象限”．
【例3】　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
[思路点拨]　→→→
【反思感悟】
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.
【跟踪训练】
2．已知sin·cos＝，且＜α＜，求sin α与cos α的值．
五、达标检测
1．思考辨析
(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角．(　　)
(2)在△ABC中，sin＝cos.(　　)
(3)sin＝sin＝cos(－α)＝cos α.(　　)
2．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)
A．第一象限角　　 B．第二象限角
C．第三角限角 D．第四象限角
3．已知cos α＝，且α为第四象限角，那么cos＝________.
4．化简：－.
六、本课小结
1．公式五反映了终边关于直线y＝x对称的角的正、余弦函数值之间的关系，其中角－α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值．
2．由于＋α＝π－，因此由公式四及公式五可以得到公式六．
3．利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化．在求任意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为0～2π的范围内的角，再将这个范围内的角转化为锐角．也就是“负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)”．
参考答案
课前小测
1．答案：C
解析：sin(π＋θ)＝－sin θ；sin＝cos θ；
cos＝sin θ；cos＝－sin θ.
2．答案：m
解析：cos(－70°5′)＝cos 70°5′＝cos(90°－19°55′)＝sin 19°55′＝m.
3．答案：1
解析：因为11°＋79°＝90°，所以sin 79°＝cos 11°，
所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.
4．答案：－cos α
解析：sin＝sin＝－sin＝－cos α.
题型突破
【例1】答案：(1)B　(2)
解析：(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°
＝＝.
(2)cos＝cos＝sin＝.
【多维探究】
1．解：cos＝cos＝－sin＝－.
2．解：因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角，
又sin＝，所以－α是第二象限角，
所以cos＝－，
所以sin＝sin＝－sin＝－cos＝.
【例2】证明：(1)右边＝
＝
＝
＝＝
＝＝左边，
所以原等式成立．
(2)左边＝
＝＝－tan θ＝右边，
所以原等式成立．
【跟踪训练】
1．证明：因为
＝
＝＝＝－1
＝右边，所以原等式成立．
【例3】解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－.
又α是第三象限角，
所以cos α＝－，tan α＝＝，
所以·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α
＝－tan2α＝－.
【跟踪训练】
2．解：sin＝－cos α，
cos＝cos＝－sin α，
∴sin α·cos α＝，
即2sin α·cos α＝.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝.
又∵α∈，∴sin α＞cos α＞0，
即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0，
∴sin α＋cos α＝，③
sin α－cos α＝，④
(③＋④)÷2得sin α＝，(③－④)÷2得cos α＝.
达标检测
1．提示：(1)错误．公式五和公式六中的角α可以是任意角．
(2)正确．因为＋＝，由公式五可知sin＝cos.
(3)正确．
答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．答案B
解析：由于sin＝cos θ<0，
cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
3．答案：
解析：因为cos α＝，且α为第四象限角，
所以sin α＝－＝－，
所以cos＝－sin α＝.
4．解：原式＝－＝sin α－(－sin α)＝2sin α.

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