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5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
【学习目标】
1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．
2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正、余弦曲线．
3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P196～200页，思考并完成以下问题
(1)如何把y＝sin x，x∈[0,2π]的图象变换为y＝sin x，x∈R的图象？
(2)如何利用诱导公式把y＝sin x的图象变换为y＝cos x的图象？
(3)正、余弦函数图象五个关键点分别是什么？
二、课前小测
1．用五点法画y＝3sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　)
A. 　 B.
C．(π，0) D．(2π，0)
2．函数y＝cos x与函数y＝－cos x的图象(　　)
A．关于直线x＝1对称 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
3．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的列表．
x 0 ① 2π
－sin x ② －1 0 ③ 0
①________；②________；③________.
4．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．
三、新知探究
1．正弦曲线
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
3．余弦曲线
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．
4．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．
(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
思考：y＝cos x(x∈R)的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？
提示：因为cos x＝sin，所以y＝sin x(x∈R)的图象向左平移个单位可得y＝cos x(x∈R)的图象．
四、题型突破
题型一　正弦函数、余弦函数图象的初步认识
【例1】　(1)下列叙述正确的是(　　)
①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0　　　　B．1个　　　　C．2个　　　　D．3个
(2)函数y＝sin|x|的图象是(　　)
【反思感悟】
1．解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线．
2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
3．正、余弦曲线的对称性
对称中心 对称轴
y＝sin x(x∈R) (kπ，0)，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z
y＝cos x(x∈R) ，k∈Z x＝kπ，k∈Z
提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1.
【跟踪训练】
1．关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；
②y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同；
③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是________．
题型二　用“五点法”作三角函数的图象
【例2】　用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π)．
[思路点拨]　→→
【反思感悟】
用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表：
x 0 π 2π
sin x (或cos x) 0(或1) 1(或0) 0(或－1) －1 (或0) 0(或1)
y b (或A＋b) A＋b (或b) b (或－A＋b) －A＋b (或b) b (或A＋b)
(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b(y＝Acos x＋b)(A≠0)的图象．
提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度．
【跟踪训练】
2．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的图象．
题型三　正弦(余弦)函数图象的应用
[探究问题]
1．方程sin x＝x的实根个数有多少个？
提示：在同一坐标系内分别作出y＝sin x，y＝x图象(略)可知在x∈[0,1]内，sin x1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.
2．函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内有多少个零点？
提示：令f(x)＝0，所以＝cos x，分别作出y＝，y＝cos x的图象(略)，可知两函数只有一个交点，所以f(x)在[0，＋∞)内只有一个零点．
【例3】　(1)函数y＝的定义域为________．
(2)在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
【多维探究】
1．本例(1)中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？
2．本例(1)中函数改为y＝lg＋，应如何解答？
【反思感悟】
1．用三角函数的图象解sin x＞a(或cos x＞a)的方法
(1)作出y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集．
2．利用三角函数线解sin x＞a(或cos x＞a)的方法
(1)找出使sin x＝a(或cos x＝a)的两个x值的终边所在的位置．
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
五、达标检测
1．思考辨析
(1)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．(　　)
(2)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称．(　　)
(3)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称．(　　)
2．函数y＝sin x，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.99的交点有(　　)
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
3．不等式组的解集是________．
4．用“五点法”画出y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的简图．
六、本课小结
1．作正、余弦函数的图象可以借助单位圆，用几何法作出，也可以用“五点法”作出简图．
2．“五点法”是一种作图思想或策略，它不只限于画正弦函数、余弦函数的简图，也可用于画复合型正、余弦函数的简图．
3．由三角函数图象求三角不等式的解集，是另一种数形结合的思想方法，它常化归为三角函数图象位于某直线上方(或下方)的问题．结合图象就可以写出其规律.
参考答案
课前小测
1．答案：A
解析：五个关键点的横坐标依次是0，，π，，2π.
2．答案：C
解析：由解析式可知y＝cos x的图象过点(a，b)，则y＝－cos x的图象必过点(a，－b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称．
3．答案：π　0　1
解析：用“五点法”作y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)故①为π，②为0，③为1.
4．答案：2
解析：由图象可知：函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－有两个交点．
题型突破
【例1】答案：(1)D　(2)B
解析：(1)分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．
(2)y＝sin|x|＝结合选项可知选B.
【跟踪训练】
答案：②④
解析：对②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；
对④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．
【例2】解：(1)①取值列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
②描点连线，如图所示.
(2)①取值列表如下：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－1＋cos x 0 －1 －2 －1 0
②描点连线，如图所示．
【跟踪训练】
2．解：取值列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
＋sin x －
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
【例3】(1) 答案：　
解析：由2sin x－1≥0得sin x≥，
画出y＝sin x的图象和直线y＝.
可知sin x≥的解集为.
(2) 解：建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈R的图象．
描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
【多维探究】
1．解：由2cos x－1≥0得cos x≥，画出y＝cos x的图象和直线y＝.
观察图象可知cos x≥的解集是.
2．解：要使原函数解析式有意义，必须满足＜sin x≤.
首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示，
作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0,2π]上，当＜x≤或≤x＜时，不等式＜sin x≤成立，
所以＜sin x≤的解集为
或.
达标检测
1．提示：由y＝sin x(x∈R)图象可知(1)正确，(2)错误；
由y＝cos x(x∈R)图象可知(3)错误．
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．答案：B
解析：观察图象(略)易知：有两个交点．
3．答案：(π，5]
解析：当≤x≤π时0≤sin x≤1，
当π＜x≤5时sin x＜0，
所以原不等式的解集为(π，5]．
4．解：列表：
x 0 π 2π
－2cos x －2 0 2 0 －2
－2cos x＋3 1 3 5 3 1
描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象：

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