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5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质（1）
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．
3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P201～203，思考并完成以下问题
(1)周期函数的定义是什么？
(2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？
(3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？
二、课前小测
1．函数y＝2sin是(　　)
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
2．函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
3．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为________．
4．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝________.
三、新知探究
1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
四、题型突破
题型一 三角函数的周期问题及简单应用
【例1】　求下列函数的周期：
(1)y＝sin；
(2)y＝|sin x|.
[思路点拨]　
(1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．
法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．
(2)作函数图象，观察出周期．
【反思感悟】
求三角函数周期的方法
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.
【跟踪训练】
1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．
(1)y＝cos 2x，x∈R；
(2)y＝sin，x∈R.
题型二 三角函数奇偶性的判断
【例2】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝.
[思路点拨]　
【反思感悟】
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
【跟踪训练】
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos＋x2sin x；
(2)f(x)＝＋.
题型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[探究问题]
1．试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？
提示：奇函数有y＝2sin x，y＝sin 2x，y＝5sin 2x，y＝sin xcos x等．偶函数有y＝cos 2x＋1，y＝3cos 5x，y＝sin x·sin 2x等．
2．若函数y＝f(x)是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f(2 018)的值是多少？
提示：f(2 018)＝f(0＋1 009×2)＝f(0)＝0.
【例3】　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x|　　 B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
[思路点拨]　
(1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．
(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f；再依据f(x)是偶函数和x∈，f(x)＝sin x求值．
【多维探究】
1．若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“”，其他条件不变，结果如何？
2．若本例(2)中的周期“π”改为“”，其他条件不变，求f.
【反思感悟】
1．三角函数周期性与奇偶性的解题策略
探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
2．与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
五、达标检测
1．思考辨析
(1)若sin＝sin，则是函数y＝sin x的一个周期．(　　)
(2)所有的周期函数都有最小正周期．(　　)
(3)函数y＝是奇函数．(　　)
2．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是(　　)
3．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________.
4．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－2cos 3x；
(2)f(x)＝xsin(x＋π)．
六、本课小结
1．“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，周期函数的图象每隔一个周期重复一次．
2．周期函数定义中的“f(x＋T)＝f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，不能说T是y＝f(x)的周期．
3．在数轴上，定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的一个必要条件．因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于原点对称．若是，再判断f(－x)与f(x)的关系；若不是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数.
参考答案
课前小测
1．答案：B
解析：y＝2sin＝2cos 2x，它是周期为π的偶函数．
2．答案：A
解析：f(x)＝sin 2x的定义域为R，f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
3．答案：4
解析：由已知得f(x)的最小正周期T＝＝4.
4．答案：6
解析：由已知得f(x＋2)＝f(x)，
所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.
题型突破
【例1】解：
(1)法一：(定义法) y＝sin
＝sin＝sin，
所以周期为π.
法二：(公式法) y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π.
(2) 作图如下：
观察图象可知周期为π.
【跟踪训练】
1．解：(1)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.
(2)因为sin＝sin＝sin，
由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.
【例2】解：(1)显然x∈R，f(x)＝cosx，
∵f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由得－1＜sin x＜1，
解得定义域为，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
【跟踪训练】
2．解：
(1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)由得cos x＝，
∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
【例3】答案：(1)D　(2)D
解析：(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
(2)f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.
【多维探究】
1．解：f＝f＝f
＝－f＝－sin＝－.
2．解：∵f(x)的周期为，且为偶函数，
∴f＝f＝f＝f＝.
达标检测
1．提示：
(1)×.因为对任意x，sin与sin x并不一定相等．
(2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数f(x)＝5是周期函数，就不存在最小正周期．
(3)×.函数y＝的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于原点对称，故非奇非偶．
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．答案：D
解析：观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象．
3．答案：－3
解析：由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.
4．解：(1)f(－x)＝－2cos 3(－x)＝－2cos 3x＝f(x)，x∈R，
所以f(x)＝－2cos 3x为偶函数．
(2)f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin x，x∈R，
所以f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数．

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