资源简介

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）
【学习目标】
1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程．
2.熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本215～217，思考并完成以下问题
(1)如何用α的三角函数与β的三角函数表示cos(α－β)
(2)两角差的余弦公式是如何推导的？
二、课前小测
1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝(　　)
A.　 B.
C．－ D．－
2．cos(－15°)的值是(　　)
A. B.
C. D.
3．cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝________.
三、新知探究
两角差的余弦公式
公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
适用条件 公式中的角α，β都是任意角
公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反
四、题型突破
题型一 给角求值问题
【例1】　(1)cos的值为(　　)
A.　　 B.
C. D．－
(2)求下列各式的值：
①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；
③cos 15°＋sin 15°.
【反思感悟】
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点
(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．
(2)把所得的积相加．
【跟踪训练】
1．化简下列各式：
(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
题型二 给值(式)求值问题
[探究问题]
1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？
提示：cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.
2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？
提示：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)．
【例2】　(1)已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝(　　)
A．－　　　B．－ C.　　　D.
(2)已知sin＝，α∈，求cos α的值．
[思路点拨]　(1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C(α－β)求cos(α－β)．
(2)由已知角＋α与所求角α的关系即α＝－寻找解题思路．
【多维探究】
1．将例2(2)的条件改为“sin＝，且<α<”，如何解答？
2．将例2(2)的条件改为“sin＝－，α∈”，求cos的值．
【反思感悟】
给值求值问题的解题策略
1已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
2由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：
①α＝α－β＋β；
②
③2α＝α＋β＋α－β；
④2β＝α＋β－α－β.
题型三 给值求角问题
【例3】　已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小．
[思路点拨]　→→
【反思感悟】
已知三角函数值求角的解题步骤
1界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
2求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
3结合三角函数值及角的范围求角.
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
【跟踪训练】
2．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
五、达标检测
1．思考辨析
(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　　)
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　　)
(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(　　)
(4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　　)
2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为(　　)
A．－　　　B．－　　　C.　　　D.
3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.
4．已知sin α＝－，sin β＝，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值．
六、本课小结
1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
参考答案
课前小测
1．答案：B
解析：∵sin 14°＝cos 76°，cos 74°＝sin 16°，
∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝.
2．答案：D
解析：cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝×＋×＝.
3．答案：
解析：cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°)＝cos 45°＝.
题型突破
【例1】(1) 答案：D
解析：cos＝cos＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×＝－.
(2) 解：①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°
＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°)
＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°
＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝.
③cos 15°＋sin 15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
【跟踪训练】
1．解：(1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]＝cos 45°＝.
(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°
＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.
【例2】(1)答案：D
解析：因为sin α－sin β＝1－，
所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝2，　①
因为cos α－cos β＝，所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝2，　②
①，②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋
所以－2cos(α－β)＝－
所以cos(α－β)＝.
(2)解：∵α∈，∴＋α∈，
∴cos＝－
＝－＝－.
∵α＝－，
cos α＝cos
＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
【多维探究】
1．解：∵sin＝，且<α<，
∴<α＋<π，
∴cos＝－＝－，
∴cos α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝－×＋×＝.
2．解：∵＜α＜，∴－＜－α＜，
又sin＝－＜0，
∴－＜－α＜0，cos＝＝，
∴cos＝cos＝cos＝cos＋sin
＝×＋×＝－.
【例3】解：因为sin(π－α)＝，
所以sin α＝.因为0＜α＜，
所以cos α＝＝.
因为cos(α－β)＝，
且0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，
所以sin(α－β)＝＝，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.
因为0＜β＜，所以β＝.
【跟踪训练】
2．解：∵α，β均为锐角，
∴sin α＝，sin β＝，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
又sin α∴0<α<β<，∴－<α－β<0，
故α－β＝－.
达标检测
1．提示：(1)错误．cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°.
(2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β.
(3)正确．结论为两角差的余弦公式．
(4)正确．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0.
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．答案：A
解析：∵α为锐角，cos α＝，∴sin α＝＝，
∵β为第三象限角，sin β＝－，
∴cos β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
3．答案：
解析：原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]
＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
4．解：因为sin α＝－，180°＜α＜270°，
所以cos α＝－.
因为sin β＝，90°＜β＜180°，
所以cos β＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×
＝－＝.

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