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5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（3）
【学习目标】
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本217～220，思考并完成以下问题
1.tan α，sin α，cos α的关系怎样？利用该关系式及两角和的正、余弦公式，能把tan(α＋β)用tan α，tan β表示吗？
2.怎样用tan α，tan β表示tan(α－β)吗？
二、课前小测
1．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　　)
A．2　　　　B．1　　　　C.　　　　D．4
2．求值：tan＝________.
3．已知tan α＝2，则tan＝________.
4.＝________.
三、新知探究
两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
四、题型突破
题型一 两角和与差的正切公式的正用
【例1】　(1)已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝________.
(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
[思路点拨]　(1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.
(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．
【反思感悟】
1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：
(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：
(1)计算待求角的正切值．
(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
(3)根据角的范围及三角函数值确定角．
【跟踪训练】
1．(1)已知tan(α－)＝，则tan α＝________.
(2)已知角α，β均为锐角，且cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝________.
题型二 两角和与差的正切公式的逆用
【例2】　(1)＝________.
(2)＝________.
[思路点拨]　注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．
【反思感悟】
公式Tα±β的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
如
要特别注意
【跟踪训练】
2．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则(　　)
A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)
B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)
C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)
D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)
题型三 两角和与差的正切公式的变形运用
[探究问题]
1．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？
提示：揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．
2．若tan α、tan β是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a、b、c表示tan(α＋β)
提示：tan(α＋β)＝＝＝－.
【例3】　(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.
(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
[思路点拨]　(1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．
(2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．
【多维探究】
1．将例3(1)中的角同时增加1°结果又如何？
2．能否为例3(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．
【反思感悟】
1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
(2)1－tan αtan β＝；
(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
(4)tan α·tan β＝1－.
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
五、达标检测
1．思考辨析
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　)
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)
(3)tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．(　　)
2．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝(　　)
A.　　　　B．－　　　　C．1　　　　D．－1
3．若tan＝3，则tan α的值为________．
4．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值．
六、本课小结
1．公式T(α±β)与S(α±β)、C(α±β)的一个重要区别，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋ (k∈Z)，而后两者α、β∈R，应用时要特别注意这一点．
2．注意公式的变形应用．
如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
1－tan αtan β＝，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，
1＋tan αtan β＝等.
参考答案
课前小测
1．答案：C
解析：∵tan(α＋β)＝＝4，且tan α＋tan β＝2，
∴＝4，解得tan αtan β＝.]
2．答案：－2＋
解析：tan＝－tan＝－tan
＝－＝－
＝－2＋.
3．答案：－3
解析：tan＝＝＝－3.
4. 答案：
解析：原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.
题型突破
【例1】答案：(1)　(2)
解析：(1)∵tan α＝，tan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵α，β均为锐角，
∴α＋β∈(0，π)，
∴α＋β＝.
(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，
∴tan∠BAD＝＝，
tan∠CAD＝＝，
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
＝
＝
＝.
【跟踪训练】
1．答案：(1)　(2)3　
解析：(1)因为tanα－＝，
所以tan α＝tan
＝＝＝.
(2)因为cos α＝，α为锐角，所以sin α＝，tan α＝，
所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.
【例2】答案：(1)　(2)－1
解析：(1)原式＝
＝tan(45°＋15°)
＝tan 60°＝.
(2)原式＝
＝
＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.
【跟踪训练】
2．答案：A
解析：∵sin 2α＝2sin 2β，
∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，
∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)
＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)，
∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，
两边同除以cos(α－β)cos(α＋β)得
tan(α＋β)＝3tan(α－β)．
题型三 两角和与差的正切公式的变形运用
【例3】(1)答案： 1
解析：∵tan 67°－tan 22°
＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)
＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)
＝1＋tan 67°tan 22°，
∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°
＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.
(2) 解：∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1，
∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
∴＝－，∴tan(A＋B)＝－.
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝.
∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，
∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，
∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰钝角三角形．
【多维探究】
1．解：∵tan 45°＝tan(68°－23°)＝，
∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°，
即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.
2．解：一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，则tan α－tan β－tan αtan β＝1.
证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝，
∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β，
即tan α－tan β－tan αtan β＝1.
达标检测
1．提示：
(1)√.当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan 0＋tan ，但一般情况下不成立．
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．
(3)√.当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．
答案：(1)√　(2)×　(3)√
2．答案：A
解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.
3．答案：　
解析：tan α＝tan
＝
＝
＝
＝
＝.
4．解：因为α，β都是锐角，
所以sin α＝＝，
sin β＝＝，
tan α＝＝2，tan β＝＝，
所以tan(α＋β)＝＝－2.

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