资源简介

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（4）
【学习目标】
1.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．
2.能够灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、求值、证明.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P220～223，思考并完成以下问题
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推导？
(2)S2α，C2α，T2α中角α的取值范围分别是什么？
二、课前小测
1．下列各式中，值为的是(　　)
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215° D．sin215°＋cos215°
2．sin 15°cos 15°＝________.
3.－cos2＝________.
4．若tan θ＝2，则tan 2θ＝________.
三、新知探究
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法 公式
S2α sin 2α＝2sinαcosα
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α
T2α tan 2α＝
2.余弦的二倍角公式的变形
3．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝.
(2)1±sin 2α＝(sinα±cosα)2.
四、题型突破
题型一 给角求值
【例1】　(1)coscoscos的值为(　　)
A.　　　　　 B．－
C. D．－
(2)求下列各式的值：
①cos415°－sin415°； ②1－2sin275°；
③； ④－.
【反思感悟】
对于给角求值问题，一般有两类
1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
【跟踪训练】
1．求下列各式的值
(1)cos 72°cos 36°；
(2)＋.
题型二 给值求值、求角问题
【例2】　(1)已知cos＝，≤α＜，求cos的值；
(2)已知α∈，且sin 2α＝sin，求α.
[思路点拨]　依据以下角的关系设计解题思路求解：
(1)α＋与2α＋，α－与2α－具有2倍关系，用二倍角公式联系；
(2)2α＋与2α差，用诱导公式联系．
【多维探究】
1．在例2(1)的条件下，求sin 4α的值．
2．将例2(1)的条件改为sin＝，0＜x＜，求的值．
【反思感悟】
解决条件求值问题的方法
1有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
2当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.
cos 2x＝
类似的变换还有：
cos 2x＝，
题型三 化简证明问题
[探究问题]
1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？
提示：通常要切化弦后再进行变形．
2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？
提示：由复杂一侧向简单一侧推导．
【例3】　(1)化简：＋＝________.
(2)证明：＝－4.
[思路点拨]　(1)通分变形．
(2)→→
【反思感悟】
证明三角恒等式的原则与步骤
1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
2证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
【跟踪训练】
2．求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B；
(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ.
五、达标检测
1．思考辨析
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　　)
(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．(　　)
2．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
3．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
4．已知＜α＜π，cos α＝－.
(1)求tan α的值；
(2)求sin 2α＋cos 2α的值．
六、本课小结
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝.
参考答案
课前小测
1．答案：B
解析： 2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；cos215°－sin215°＝cos 30°＝；2sin215°＝1－cos 30°＝1－；sin215°＋cos215°＝1，故选B.
2．答案：　
解析：sin 15°cos 15°＝×2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
3.答案：－　
解析：－cos2＝－＝－－×＝－.
4．答案：－
解析：tan 2θ＝＝＝－.
题型突破
【例1】(1)答案：D
解析：∵cos＝－cos，cos＝－cos，
∴coscoscos＝coscoscos＝＝
＝＝＝－.
(2)解：①cos415°－sin415°＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
②1－2sin275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－.
③＝2×＝2×＝－2.
④－＝
＝
＝
＝＝4.
【跟踪训练】
1．解：(1)cos 36°cos 72°＝＝＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝＝4.
【例2】解：(1)∵≤α＜，∴≤α＋＜.
∵cos＞0，∴＜α＋＜，
∴sin＝－＝－＝－，
∴cos 2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，
sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝，
∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝－.
(2)∵sin 2α＝－cos＝－
＝1－2cos2，
sin＝－sin
＝－cos
＝－cos，
∴原式可化为1－2cos2
＝－cos，
解得cos＝1或cos＝－.
∵α∈，
∴α＋∈，
故α＋＝0或α＋＝，
即α＝－或α＝.
【多维探究】
1．解：由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2××＝－.
2．解：∵0＜x＜，∴－x∈.
又sin＝，
∴cos＝.
又cos 2x＝sin
＝2sincos
＝2××＝，
cos
＝sin
＝sin＝，
∴原式＝＝.
【例3】(1)答案：－tan 2θ
解析：原式＝＝＝－＝－tan 2θ.
(2)证明：左边＝
＝
＝
＝
＝－4＝右边，所以原等式成立．
【跟踪训练】
2．证明：(1)左边＝－
＝
＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)
＝cos 2Acos 2B＝右边，
∴等式成立．
(2)法一：左边＝cos2θ
＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．
法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
＝cos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边．
达标检测
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×
提示：
(1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠±＋kπ(k∈Z)，故此说法错误．
(2)√.当α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α.
(3)×.当cos α＝时，cos 2α＝2cos α.
2．答案：B
解析：易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.
3．答案：
解析：∵sin 2α＝－sin α，
∴2sin αcos α＝－sin α.
由α∈知sin α≠0，
∴cos α＝－，∴α＝，
∴tan 2α＝tan＝tan＝.
4．解：(1)因为cos α＝－，＜α＜π，所以sin α＝，
所以tan α＝＝－.
(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝，
所以sin 2α＋cos 2α＝－＋＝－.

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