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5.5.2 简单的三角恒等变换
【学习目标】
1.了解半角公式及推导过程．
2.能利用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简及证明．
3.掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P225～228，思考并完成以下问题
(1)半角的正弦、余弦、正切公式是什么？
(2)半角公式的符号是由哪些因素决定的？
二、课前小测
1．已知180°＜α＜360°，则cos的值等于(　　)
A．－　 B.
C．－ D.
2．已知cos α＝，α∈，则sin 等于(　　)
A.　　　B．－ C.　　　D.
3．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－，cos θ＜0，则tan的值等于________．
三、新知探究
半角公式
(1)sin＝± ，
(2)cos＝± ，
(3)tan＝± ，
(4)tan＝＝＝，
tan＝＝＝.
四、题型突破
题型一 化简求值问题
【例1】　(1)设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于(　　)
A.　　　 B.
C．－ D．－
(2)已知π<α<，化简：
＋.
[思路点拨]　(1)先确定的范围，再由sin2＝得算式求值．
(2)1＋cos θ＝2cos2，1－cos α＝2sin2，去根号，确定的范围，化简．
【反思感悟】
1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
2．利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
提醒：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．
【跟踪训练】
1．已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，求tan .
题型二 三角恒等式的证明
【例2】　求证：＝sin 2α.
[思路点拨]　法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；
法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．
【反思感悟】
三角恒等式证明的常用方法
1执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；
4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；
5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
【跟踪训练】
2．求证：
＝.
题型三 恒等变换与三角函数图象性质的综合
【例3】　已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
[思路点拨]　→→
→
【反思感悟】
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.
【跟踪训练】
3．已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
题型三 三角函数在实际问题中的应用
[探究问题]
1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？
提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．
2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？
提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．
【例4】　如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
[思路点拨]　→→
【多维探究】
1．在例4条件下，求长方形面积的最大值．
2．若例4中的木料改为圆心角为的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值．
【反思感悟】
应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
1方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
2注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.
提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.
五、达标检测
1．思考辨析
(1)cos ＝.(　　)
(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　　)
(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　)
(4)若α是第一象限角，则tan ＝.(　　)
2．若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　 D．π
3．函数f(x)＝sin2x的最小正周期为________．
4．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cos 2θ.
六、本课小结
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sin x±cos x＝sin；sin x±cos x＝2sin等.
参考答案
课前小测
1．答案：C
解析：∵180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°，
又cos2＝，∴cos＝－.
2．答案：A
解析：由题知∈，∴sin >0，sin ＝＝.
3．答案：－3
解析：由sin θ＝－，cos θ＜0得cos θ＝－，
∴tan＝＝＝
＝＝－3.
题型突破
【例1】(1)答案：D
解析：∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.
又cos＝a，
∴sin＝－＝－.
(2) 解：原式＝＋.
∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，
∴原式＝＋
＝－＋＝－cos.
【跟踪训练】
1．解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，∴tan <0，
∴tan ＝－＝－＝－2.
法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，
∴sin θ＝－＝－＝－，
∴tan ＝＝＝－2.
【例2】证明：
法一：用正弦、余弦公式．
左边＝＝＝
＝＝sincoscos α
＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，
∴原式成立．
法二：用正切公式．
左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，
∴原式成立．
【跟踪训练】
2．证明：左边＝
＝
＝
＝＝＝＝右边．
所以原等式成立．
【例3】解：(1)f(x)＝cos－2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以T＝＝π.
(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤，
因为y＝sin t在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)≥sin＝－，得证．
【跟踪训练】
3．解：(1)∵f(x)＝sin＋2sin2
＝sin＋1－cos
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，∴T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，
sin＝1，
有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，
∴所求x的集合为.
【例4】解：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
∴l＝OA＋AB＋OB
＝R＋Rsin α＋Rcos α
＝R(sin α＋cos α)＋R
＝Rsin＋R.
∵0<α<，∴<α＋<，
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，
即当α＝时，△OAB的周长最大．
【多维探究】
1．解：如图所示，
设∠AOB＝α，则AB＝Rsin α，OA＝Rcos α.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，
∴S＝2Rcos α·Rsin α＝R2·2sin αcos α＝R2sin 2α.
∵α∈，∴2α∈(0，π)．
因此，当2α＝，
即α＝时，Smax＝R2.
这时点A，D到点O的距离为R，
矩形ABCD的面积最大值为R2.
2．解：如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，
设∠MOE＝α，α∈，在
Rt△MOE中，ME＝Rsin α，OM＝Rcos α，
在Rt△ONH中，＝tan，
得ON＝NH＝Rsin α，
则MN＝OM－ON＝R(cos α－sin α)，
设矩形EFGH的面积为S，
则S＝2ME·MN＝2R2sin α(cos α－sin α)
＝R2(sin 2α＋cos 2α－)＝2R2sin－R2，
由α∈，则＜2α＋＜，
所以当2α＋＝，
即α＝时，Smax＝(2－)R2.
达标检测
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
提示：(1)×.只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos ＝.
(2)√.当cos α＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．
(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．
(4)√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan ＝成立．
2．答案：C
解析：f(x)＝cos x－sin x＝cos(x＋).当x∈[0，a]时，x＋∈[，a＋]，所以结合题意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.
3．答案：π
解析：因为f(x)＝sin2x＝，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
4．解：由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈，
所以cos θ－sin θ＝.
由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，
所以cos θ＋sin θ＝，
所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)
＝.

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