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5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
【学习目标】
1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响．
2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.
3.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P231～237，思考并完成以下问题
(1)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？
(2)函数y＝Asin x，x∈R(A＞0且A≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？
(3)函数y＝sin ωx，x∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？
二、课前小测
1．把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(　　)
A．y＝sin x－　　 B．y＝sin x＋
C．y＝sin D．y＝sin
2．为了得到函数y＝4sin，x∈R的图象，只需将函数y＝4sin，x∈R的图象上的所有点(　　)
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝________.
三、新知探究
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
四、题型突破
题型一　三角函数图象之间的变换
【例1】　(1)将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．
(2)将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin(2x＋)＋1的图象？
[思路点拨]　(1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．
(2)法一：y＝sin x→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．
法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．
【反思感悟】
由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
易错提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
【跟踪训练】
1．(1)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
(2)把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝3sin x
C．f(x)＝3cos x＋3 D．f(x)＝sin 3x
题型二 已知函数图象求解析式
【例2】　(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．y＝2cos＋4 B．y＝2cos＋4
C．y＝4cos＋2 D．y＝4cos＋2
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜，且图象如图所示，求其解析式．
[思路点拨]　由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.
【反思感悟】
确定函数y＝Asinωx＋φ的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
1代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω已知或代入图象与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.
2五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”即图象上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝0；“第二点”即图象的“峰点”为ωx＋φ＝；“第三点”即图象下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；“第四点”即图象的“谷点”为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
【跟踪训练】
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f(x)的解析式．
题型三 三角函数图象与性质的综合应用
[探究问题]
1．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程？
提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
2．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心？
提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称；
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．
【例3】　(1)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝(　　)
A. B. C. D.
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
[思路点拨]　(1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．
(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.
【多维探究】
1．将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求ω的最大值．
2．本例(2)中增加条件“ω＞1”，求函数y＝f2(x)＋sin 2x，x∈的最大值．
【反思感悟】
1．正弦余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．
2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
五、达标检测
1．思考辨析
(1)y＝sin 3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是y＝sin.(　　)
(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x.(　　)
(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin x．(　　)
2．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．
3．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．
4．已知函数f(x)＝3sin＋3(x∈R)，用图象变换法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．
六、本课小结
1．准确理解“图象变换法”
(1)由y＝sin x到y＝sin (x＋φ)的图象变换称为相位变换，由y＝sin x到y＝sin ωx图象的变换称为周期变换；由y＝sin x到y＝Asin x图象的变换称为振幅变换．
(2)由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象，其变换途径有两条，注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：①是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．②是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
(3)类似地y＝Acos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可以由y＝cos x的图象变换得到．
2．由y＝Asin (ωx＋φ)的图象性质或部分图象确定解析式的关键在于确定参数A，ω，φ.其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解.
参考答案
课前小测
1．答案：D
解析：根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin的图象．
2．答案：A
解析：函数y＝4sin的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝4sin的图象．
3．答案：4
解析：由已知得A＋1＝5，故A＝4.
题型突破
【例1】　(1) 答案：y＝－cos 2x－3
解析：y＝cos的图象向左平移个单位长度，
得y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos 2x，
再向下平移3个单位长度得y＝－cos 2x－3的图象．
(2) 解：
法一：(先伸缩法)
①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象；
②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin 2x的图象；
③将所得图象沿x轴向左平移个单位，得y＝2sin 2的图象；
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin＋1的图象．
法二：(先平移法)
①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位，得y＝sin的图象；
②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝sin的图象；
③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin的图象；
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin＋1的图象．
【跟踪训练】
1．答案：(1)A　(2)A
解析：(1)因为y＝cos
＝sin＝sin
＝sin 2，
所以将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝cos的图象．
(2) y＝2siny＝3siny＝3siny＝3sin＝3sin＝3cos x．
【例2】(1)答案：A
解析：由函数f(x)的最大值和最小值得A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，
函数f(x)的周期为×4＝4π，又ω＞0，
所以ω＝，又因为点在函数f(x)的图象上
所以6＝2cos＋4，所以cos＝1，
所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜
所以φ＝－，所以f(x)＝2cos＋4.]
(2) 解：
法一：(五点作图原理法)
由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又由点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－×2＋φ＝0得φ＝，
所以f(x)＝3sin.
法二：(方程法)
由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，
又图象过点，
所以f＝3sin＝0，
所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin.
法三：(变换法)
由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin 2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin＝3sin.
【跟踪训练】
2．解：由最低点M，得A＝2.
在x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，即T＝π，ω＝＝＝2.
由点M在图象上得
2sin＝－2，即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，
∴φ＝.故f(x)＝2sin.
【例3】(1)答案：B
解析：因为f＝f，所以直线x＝＝是函数f(x)图象的一条对称轴，
又因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，
所以当x＝时，f(x)取得最小值．
所以ω＋＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝8k－，(k∈Z)
又因为T＝≥－＝，所以ω≤12，又因为ω＞0，
所以k＝1，即ω＝8－＝.
(2) 解：由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.
依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知
sin＝0，即ω＋＝kπ，解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
所以T≥π，即≥π.
∴ω≤2，又ω＞0，
∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
【多维探究】
1．解：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0.
因为f(x)＝sin ωx在上是增函数．
所以 ，
于是，解得0＜ω≤，
所以ω的最大值为.
2．解：由条件知f(x)＝sin＝cos 2x，
由x∈得2x∈，
sin 2x∈
y＝f2(x)＋sin 2x＝cos22x＋sin 2x＝1－sin22x＋sin 2x＝－(sin 2x－)2＋
所以当sin 2x＝时ymax＝.
达标检测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×
提示：(1)错误．y＝sin 3x的图象向左平移个单位得y＝sin＝sin.
(2)错误．y＝sin 2x应改为y＝sinx.
(3)错误．y＝sin x应改为y＝2sin x.
2．答案：
解析：函数y＝cos xy＝cosx.所以ω＝.
3．答案：　
解析：y＝3sin xy＝3siny＝3sin，y＝3sin xy＝3siny＝3sin＝3sin.
4．解：

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