资源简介

5.7　三角函数的应用（1）
【学习目标】
1．能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式．
2．整体把握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P242～244，思考并完成以下问题
(1)在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)有哪些性质？
二、课前小测
1．函数y＝sin 的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．3π，，　　　　　 B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
2．函数f(x)＝sin 的图象的一条对称轴是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
3.如图是函数y＝sin(ωx＋φ)(|φ|＜)的图象的一部分，那么(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
三、新知探究
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中参数的物理意义
[易错提醒]　当A＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin的初相不是φ＝－.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的有关性质
定义域 R
值域 [－A，A]
周期性 T＝
对称性 中心 (k∈Z)
对称轴 x＝＋(k∈Z)
奇偶性 当(k∈Z)时是奇函数 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间 由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间
四、题型突破
题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)中参数的物理意义
【例1】指出下列函数的振幅A、最小正周期T、初相φ.
(1)y＝2sin，x∈R；
(2)y＝－6sin，x∈R.
【反思感悟】
首先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的形式，再求振幅、周期、初相．应注意A＞0，ω＞0.　
【跟踪训练】
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．T＝6，φ＝　　　　　　 B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
2．函数y＝－3sin(x≥0)的初相为________．
题型二 由图象确定函数的解析式
【例2】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分，求此函数的解析式．
【反思感悟】
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求φ.
(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．　　
【跟踪训练】
3、已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝________.
题型三 函数y＝Asin(ω x＋φ)的性质的应用
【例3】在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
【多维探究】
1．将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果如何？
2．将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程．
【反思感悟】
三角函数对称轴、对称中心的求法
对称轴 对称中心
y＝Asin(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝Atan(ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标
五、达标检测
1．最大值为，周期为，初相为的函数表达式是(　　)
A．y＝sin 　　 B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
3．利用“五点法”作函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象时，其五点的坐标分别为，，，，，则A＝________，T＝________.
4.函数y＝Asin(ωx＋φ)|φ|<)的图象如图，求函数的表达式．
六、本课小结
1．曲线y＝Asin (ωx＋φ)的应用实质上是物理方面的知识．所以建立该类问题的数学模型一定要结合物理知识进行．
2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的综合应用，往往涉及三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等，在解题时，要熟练掌握和运用三角函数的相关性质．
参考答案
课前小测
1．答案：B
解析：由函数解析式知A＝，T＝＝6π，φ＝.
2．答案：C
解析：函数f(x)＝sin 的图象的对称轴是x－＝kπ＋，k∈Z，
即x＝kπ＋π，k∈Z，当k＝－1时，x＝－π＋π＝－.
3. 答案：A
解析：∵点(0，)在函数图象上，∴sin φ＝.
又∵|φ|＜，∴φ＝，∴y＝sin(ωx＋)．
又∵点(π，0)在y＝sin(ωx＋)上，且该点是“五点”中的第五个点，
∴sin(πω＋)＝0，∴πω＋＝2π，∴ω＝.
题型突破
【例1】解：(1)A＝2，T＝＝4π，φ＝.
(2)将原解析式变形，得y＝6sin＝6sin，
则有A＝6，T＝＝π，φ＝.
【跟踪训练】
1．解析：选A　T＝＝＝6，
∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝.
∵－＜φ＜，∴φ＝.
2．答案：－
解析：由诱导公式可知y＝－3sin＝3sin，故所求的初相为－.
【例2】解：
[法一　逐一定参法]
由图象知A＝3，T＝－＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝.
∴y＝3sin.
[法二　待定系数法]
由图象知A＝3. ∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
[法三　图象变换法]
由A＝3，T＝π，点在图象上，
可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin ，即y＝3sin.
【跟踪训练】
3. 答案：
解析：
法一：
由图可知＝－＝，T＝，
∴ω＝3，∴f(x)＝Acos(3x＋φ)．
又是图象上的点，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z.
∵f＝－，∴Acos＝－，
即Acos＝－，
∴f(0)＝Acos＝－Acos
＝－Acos
＝－Acos＝.
法二：由图可知＝－＝，T＝，∴f(0)＝f，
注意到＝，即和关于对称，于是f(0)＝f＝－f＝.
【例3】答案：
解析：由4x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)
∴函数y＝2sin的图象的对称中心坐标为(k∈Z)．
取k＝1，得满足条件．
【多维探究】
1．解：由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
取k＝0时，x＝－.
则所求对称中心为.
2．解：由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
取k＝0，x＝－满足题意，故离y轴最近的一条对称轴方程为x＝－.
达标检测
1．答案：D
解析：y＝sin 满足最大值为，周期为，初相为.
2．答案：C
解析：因为T＝2×[3－(－1)]＝8，
所以ω＝＝＝，
又因为f(1)＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0≤φ<2π，所以φ＝.
3．答案：　π
解析：由题知A＝，T＝2＝π.
4．解析：由函数图象可知A＝1，
函数周期T＝2×[3－(－1)]＝8，
所以ω＝＝，又sin ＝0，
所以＋φ＝kπ(k∈Z)，
即φ＝kπ－(k∈Z)，
而|φ|<，
所以φ＝－，
所以函数的表达式为y＝sin .

展开更多......

收起↑