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5.7　三角函数的应用(2)
【学习目标】
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题．
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P245～248，思考并完成以下问题
(1)如何利用数据建立拟合三角函数模型？
(2)解三角函数应用题的解题步骤是什么？
二、课前小测
1．函数y＝sin |x|的图象(　　)
A．关于x轴对称
B．关于原点对称
C．关于y轴对称
D．不具有对称性
2．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s 的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．
3．如图所示，有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为θ＝(若θ很小时，可取sin θ≈θ，其中θ用弧度制表示)，则估算该气球的高BC的值约为________ m.
三、新知探究
1. 三角函数模型的建立程序
2. 三角函数模型的应用
（1）根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．
（2）将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
四、题型突破
题型一　三角函数在物理中的应用
[例1] 电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ).
(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
【反思感悟】
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．　
【跟踪训练】
1、如图所示，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为(　　)
A．2 s　　　　　　　　 B．1 s
C. s D. s
题型二 三角函数在实际生活中的应用
【例2】通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈)的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
【反思感悟】
解三角函数应用问题的基本步骤
【跟踪训练】
2. 已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
五、达标检测
1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　)
A．[0,5]　　　　　　　 B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
2．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将传播至(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
3．弹簧上挂的小球上下振动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数曲线，其图象如图所示．
(1)求这条曲线对应的函数解析式．
(2)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
六、本课小结
1．建立三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题；最后将所得结果翻译成实际答案，要注意根据实际作答．
2．解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价．
(1)构建三角函数模型解决具有周期变化现象的实际问题．
(2)对于测量中的问题归结到三角形中去处理，应用三角函数的概念和解三角形知识解决问题．
参考答案
课前小测
1．答案：C
解析：∵f(－x)＝sin |－x|＝sin |x|＝f(x)，
∴y＝sin |x|是偶函数，其图象关于y轴对称．
2．答案：1 s
解析：由题意易知，单摆来回摆动一次所需的时间恰好为一个周期，即T＝＝1 s.
3. 答案：86
解析：∵AC＝＝＝(m)，
∴BC＝AC·sin 30°＝≈86 (m)，
即气球的高约为86 m.
题型突破
【例1】解： (1)由图，可知A＝300.
∵T＝－＝，∴ω＝＝100π，
∴I＝300sin(100πt＋φ)．
将代入解析式，得－＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∵|φ|<，∴φ＝，
∴I＝300sin.
(2)由题意，知≤，∴ω≥200π，
∴正整数ω的最小值为629.
【跟踪训练】
1．解析：选C　由题意，知周期T＝＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为 s.
【例2】解析：(1)由题意知解得
易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，
易知8sin＋6＝－2，
即sin＝－1，
故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝－，
所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sin＋6＝8sin＋6<8sin＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．
【跟踪训练】
2. 解：(1)由表中数据，知周期T＝12.
∴ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为，
∴y＝cos t＋1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，
∴cos t＋1＞1，∴cos t＞0.
∴2kπ－＜t＜2kπ＋.
即12k－3＜t＜12k＋3，①
∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，
得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午3：00.
达标检测
1．答案：C
解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，得4kπ－π≤t≤4kπ＋π，k∈Z.当k＝1时，得t∈[3π，5π]，而[10,15] [3π，5π]，故在[10,15]上是增加的．
2．答案：C
解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.
3．解析：(1)设这条曲线对应的函数解析式为
s＝Asin(ωt＋φ)．
由图象可知：A＝4，周期
T＝2×＝π，
所以ω＝＝2，
此时所求函数的解析式为s＝4sin(2t＋φ)．
以点为“五点法”作图的第二关键点，则有
2×＋φ＝，所以φ＝.
得函数解析式为s＝4sin .
(2)当t＝0时，
s＝4sin ＝4sin ＝4×＝2(cm)，
所以小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 cm.　

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